対称行列

• 2つの対称行列の和と差は対称行列である。
• これは、積については必ずしも当てはまりません。対称行列が与えられた場合${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$、製品${\displaystyle AB}$対称であるのは、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$通勤、つまり、${\displaystyle AB=BA}$。
• もし${\displaystyle A}$対称である場合、任意の整数に対して${\displaystyle k\geq 0}$、${\displaystyle \,}$${\displaystyle A^{k}}$対称性も備えている。
• もし${\displaystyle A^{-1}}$が存在する場合、それは対称であるのは、${\displaystyle A}$対称である。
• 対称行列のランク${\displaystyle A}$は、の非ゼロ固有値の数に等しい。${\displaystyle A}$。

任意の正方行列は、対称行列と歪対称行列の和として一意に表すことができる。この分解はトープレッツ分解として知られている。${\displaystyle {\mbox{M​​at}}_{n}}$空間を表す${\displaystyle n\times n}$行列。${\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}$空間を表す${\displaystyle n\times n}$対称行列と${\displaystyle {\mbox{Skew}}_{n}}$空間${\displaystyle n\times n}$歪対称行列の場合、

$${\displaystyle {\mbox{M​​at}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\},}$$

つまり

$${\displaystyle {\mbox{M​​at}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}$$

どこ${\displaystyle \oplus }$は直和を表す。${\displaystyle M\in {\mbox{M​​at}}_{n}}$、 それから

$${\displaystyle M={\frac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(MM^{\mathsf {T}}\right).}$$

注目してください${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}$そして${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(MM^{\mathsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}$これはすべての正方行列に当てはまります。${\displaystyle M}$特性が異なる任意のフィールドからのエントリを含む${\displaystyle 2}$⁠ .

対称${\displaystyle n\times n}$行列は以下によって決定されます${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}$スカラー（主対角線上またはそれより上の要素の数）。同様に、歪対称行列は次のように決定されます。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}$スカラー値（主対角線より上の要素の数）。

対称行列と合同な行列は、対称行列でもある。${\displaystyle A}$は対称行列なので、${\displaystyle PAP^{\mathsf {T}}}$任意の行列に対して${\displaystyle P}$。

対称な実数行列は必ず正規行列である。^{[ 2 ]}

で表す${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$標準内積​$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$本当の${\displaystyle n\times n}$マトリックス${\displaystyle A}$対称であるのは、 $${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$$

この定義は基底の選択に依存しないため、対称性は線形演算子のみに依存する性質である。${\displaystyle A}$そして内積の選択。この対称性の特徴付けは、例えば微分幾何学において有用であり、多様体への各接空間に内積を与えることができ、それによってリーマン多様体と呼ばれるものが生じる。この定式化が用いられるもう一つの分野はヒルベルト空間である。

有限次元スペクトル定理によれば、要素が実数である任意の対称行列は直交行列によって対角化できる。より具体的には、すべての実対称行列に対して、${\displaystyle A}$実直交行列が存在する${\displaystyle Q}$そのため${\displaystyle D=Q^{\mathsf {T}}AQ}$は対角行列である。したがって、正規直交基底の選択を除けば、すべての実対称行列は対角行列である。

もし${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は${\displaystyle n\times n}$可換な実対称行列の場合、直交行列によって同時に対角化できます。^{[ 3 ]}基底が存在します$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$基底のすべての要素が両方の固有ベクトルとなるように${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$。

すべての実対称行列はエルミート行列であり、したがってその固有値はすべて実数である。（実際には、固有値は対角行列の要素である。）${\displaystyle D}$（上記）したがって${\displaystyle D}$は、${\displaystyle A}$（要素の次数まで。）本質的に、実数行列の対称性という性質は、複素数行列のエルミート性という性質に対応します。

複素対称行列はユニタリ行列を用いて「対角化」することができる。したがって、${\displaystyle A}$は複素対称行列であり、ユニタリ行列が存在する。${\displaystyle U}$そのため${\displaystyle UAU^{\mathsf {T}}}$は非負の要素を持つ実対角行列です。この結果は、オートヌ・タカギ分解と呼ばれています。これは元々レオン・オートヌ（1915年）と高木貞治（1925年）によって証明され、その後、他の数人の数学者によって異なる証明で再発見されました。^{[ 4 ] [ 5 ]}

実際、マトリックス${\displaystyle B=A^{\dagger }A}$はエルミート行列であり、半正定値行列であるため、ユニタリ行列が存在する。${\displaystyle V}$そのため${\displaystyle V^{\ダガー }BV}$は非負の実数要素を持つ対角行列である。したがって${\displaystyle C=V^{\mathsf {T}}AV}$は複素対称で${\displaystyle C^{\dagger }C}$現実。執筆${\displaystyle C=X+iY}$と${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$実対称行列、${\displaystyle C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)}$。 したがって${\displaystyle XY=YX}$。 以来${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$通勤には、実直交行列があります${\displaystyle W}$両方とも${\displaystyle WXW^{\mathsf {T}}}$そして${\displaystyle WYW^{\mathsf {T}}}$斜めです。${\displaystyle U=WV^{\mathsf {T}}}$（ユニタリ行列）行列${\displaystyle UAU^{\mathsf {T}}}$複素対角線です。前乗算${\displaystyle U}$適切な対角ユニタリ行列によって（ユニタリ性を保持する）${\displaystyle U}$)、対角線上のエントリ${\displaystyle UAU^{\mathsf {T}}}$必要に応じて、実数かつ非負にすることができます。この行列を構築するために、対角行列を次のように表します。${\displaystyle UAU^{\mathsf {T}}=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})}$我々が求める行列は単純に次のように与えられる。${\displaystyle D=\operatorname {diag} (e^{-i{\theta _{1}}/2},e^{-i{\theta _{2}}/2},\dots ,e^{-i{\theta _{n}}/2})}$。 明らかに${\displaystyle DUAU^{\mathsf {T}}D=\演算子名 {diag} (r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})}$ご希望どおりに修正します${\displaystyle U'=DU}$それらの二乗は、${\displaystyle A^{\dagger }A}$それらは、${\displaystyle A}$（複素対称行列の固有値分解に関する注記）${\displaystyle A}$ジョルダン標準形${\displaystyle A}$斜めではない可能性があるので、${\displaystyle A}$（いかなる類似変換によっても対角化されない可能性がある。）