カーネル（線形代数）

数学において、線形写像の核（ヌル空間とも呼ばれる）は、領域のうち、共領域のゼロベクトルに写像される部分であり、核は常に領域の線形部分空間である。 ^{[ 1 ]}つまり、 2つのベクトル空間VとWの間の線形写像L : V → Wが与えられたとき、 Lの核は、L ( v )= 0となるVのすべての要素vからなるベクトル空間であり、0はWのゼロベクトルを表す。 [ ^{2 ]あるいは、より記号的に表すと次のようになる}。  $${\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(\mathbf {0} ).}$$

Lの核は領域Vの線形部分空間である。^{[ 3 ] [ 2 ]}

線形マップでは${\displaystyle L:V\to W,}$Vの 2 つの要素がWにおいて同じ像を持つのは、それらの差がLの核にある場合のみである。つまり、

$$\displaystyle L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad \iff \quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .}$$

このことから、第一同型定理により、 Lの像はVを核で 割った商空間と同型であることが導かれる。$${\displaystyle \operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).}$$Vが有限次元の場合、これはランク・ヌル性定理を意味する。 $${\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).}$$ 用語ランクとは、 Lの画像の次元を指します。${\displaystyle \dim(\operatorname {im} L),}$その間ヌル性とは、 Lの核の次元を指します。${\displaystyle \dim(\ker L).}$^{[ 4 ]} つまり、 $${\displaystyle \operatorname {Rank} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ および }}\qquad \operatorname {Nullity} (L)=\dim(\ker L),}$$ したがって、ランク・ヌル性定理は次のように言い換えることができる。 $${\displaystyle \operatorname {ランク} (L)+\operatorname {ヌル性} (L)=\dim \left(\operatorname {ドメイン} L\right).}$$

Vが内積空間である場合、商空間${\displaystyle V/\ker(L)}$Vの直交補空間と同一視できる${\displaystyle \ker(L)}$これは、行列の行空間、または共像を線形演算子に一般化したものです。

カーネルの概念は、スカラーが体ではなく環の要素であるベクトル空間の一般化である加群の準同型写像にも当てはまります。写像の定義域は加群であり、カーネルは部分加群を構成します。ここでは、階数と零空間の概念は必ずしも適用されません。

VとWが位相ベクトル空間であり、 Wが有限次元である場合、線形作用素L : V → Wは、 Lの核がVの閉部分空間である場合に限り連続である。

線形写像を、体Kの係数を持つm × n行列Aとして表すとします(通常、${\displaystyle \mathbb {R} }$または${\displaystyle \mathbb {C} }$)、これはK上のn個の成分を持つ列ベクトルxに対して作用する。この線形写像の核は方程式A x = 0の解の集合であり、0 は零ベクトルとして理解される。Aの核の次元はAの零性と呼ばれる。集合構成記法では、 $${\displaystyle \operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}$$ 行列方程式は、同次線形方程式系と等価である。 $${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}}$$したがって、 A の核は上記の同次方程式の解集合と同じである。

以下は、行列の核を計算する簡単な例です（より複雑な計算に適した方法については、後述の「 ガウス消去法による計算」を参照してください）。この例では、行空間と核の関係についても触れています。

行列を考える $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}$$ この行列の核は、以下の条件を満たす すべてのベクトル( x , y , z ) ∈ R ^{3から構成される。}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$$これは、 x、y、zを含む同次線形方程式系 として表現できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}}$$

同じ線形方程式は、行列形式で次のように表すこともできます。 $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}$$

ガウス・ジョルダン消去法を用いると、行列は以下のように簡略化できる。 $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}$$

行列を方程式の形で書き直すと次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}}$$

カーネルの要素は、以下のようにパラメトリックベクトル形式でさらに表現できます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )}$$

cはすべての実数にわたる 自由変数であるため、これは次のように表現することもできます。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}$$A の核は、まさにこれらの方程式の解集合（この場合、R ³の原点を通る直線）です。ここで、ベクトル(−1,−26,16) ^TはAの核の基底を構成します。したがって、A は単一のベクトルによって張られるため、Aの零空間は 1 です。

以下の内積はゼロになります。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0,}$$これは、 A の核内のベクトルがAの各行ベクトルと直交することを示している。

これら 2 つの (線形独立な) 行ベクトルは、ベクトル(−1,−26,16) ^Tに直交する平面であるAの行空間を張ります。

Aのランクが2 、 Aの零空間が1 、 Aの次元が3であることから、ランク零空間定理の例が得られます。

• L : R ^m → R ⁿの場合、 Lの核は同次線形方程式系の解集合です。上記の図のように、Lが演算子である場合：$${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})}$$すると、 Lの核は方程式の解の集合となる。$${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}$$
• C [0,1]を区間 [0,1] 上のすべての連続実数値関数のベクトル空間とし、 L : C [0,1] → Rを次の規則で定義する。$${\displaystyle L(f)=f(0.3).}$$すると、 Lの核は、f (0.3) = 0となるすべての関数f ∈ C [0,1]から構成される。
• C ^∞ ( R )をR → Rのすべての無限回微分可能な関数のベクトル空間とし、D : C ∞ ⁽ R ) → C ^∞ ( R )を微分演算子とする。$${\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}.}$$すると、 Dの核は、導関数がゼロであるC ^∞ ( R )のすべての関数、つまりすべての定数関数の集合から構成される。
• R ^{∞ を}Rの無限個のコピーの直積とし、 s : R ∞ → ^R ∞を^シフト演算子とする。$${\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).}$$すると、 sの核は、すべてのベクトル( x ₁ , 0, 0, 0, ...)からなる 1 次元部分空間になります。
• V が内積空間でW が部分空間である場合、直交射影V → Wの核は、VにおけるWの直交補空間である。

行列の核の基底は、ガウス消去法によって計算できる。

この目的のために、m × n行列Aが与えられた場合、まず行拡張行列を構築します。${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},}$ここで、Iはn × nの単位行列である。

ガウス消去法（またはその他の適切な方法）で列階段形を計算すると、次の行列が得られます。${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.}$Aの核の基底は、Cの非ゼロ列であって、 Bの対応する列がゼロ列となるような列から成る。

実際、上側の行列が列階段形になった時点で計算を停止しても構いません。残りの計算は、上側がゼロである列によって生成されるベクトル空間の基底を変更することにあります。

例えば、 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$$ それから $${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

上部を列操作によって列階段形にすると、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

Bの最後の 3 列はゼロ列です。したがって、 Cの最後の 3 つのベクトルは、 $${\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]}$$これらはA の核の基底である。

この方法がカーネルを計算することの証明: 列演算は可逆行列による後乗算に対応するため、${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}}$に縮小${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}}$可逆行列が存在することを意味する${\displaystyle P}$そのため${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},}$と${\displaystyle B}$列階段形。したがって${\displaystyle AP=B}$、${\displaystyle IP=C}$、そして${\displaystyle AC=B}$列ベクトル${\displaystyle \mathbf {v} }$核に属する${\displaystyle A}$（つまり${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {0} }$) の場合に限り${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}$どこ${\displaystyle \mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v} }$。として${\displaystyle B}$列階段形です。${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} }$、非ゼロのエントリが${\displaystyle \mathbf {w} }$ゼロ列に対応する${\displaystyle B}$を掛けることで${\displaystyle C}$、これは以下の場合に限ると推測できる。${\displaystyle \mathbf {v} =C\mathbf {w} }$は、対応する列の線形結合です。${\displaystyle C}$。

コンピュータ上でカーネルを計算する問題は、係数の性質に依存する。

• 「行列の核」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• カーンアカデミー、行列の零空間入門