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複素解析において、ハーディ空間（またはハーディ類）H ^pは、単位円板または上半平面上の正則関数の特定の空間です。これらは、論文（Hardy 1915）にちなんで、 GH Hardyにちなんでリース（Riesz 1923）によって導入されました。実解析におけるハーディ空間は、実数直線上の超関数の特定の空間であり、（超関数の意味で）複素ハーディ空間の正則関数の境界値であり、関数解析のL ^p空間に関連しています。1 ≤  p  < ∞ の場合、これらの実ハーディ空間H ^{p は}L ^pの特定の部分集合ですが、 p < 1の場合、L ^p空間はいくつかの望ましくない特性を持ち、ハーディ空間の方がはるかに適切に動作します。

複素数の場合のチューブ領域上の特定の正則関数、または実数の場合の R ⁿ上の特定の超関数空間で構成される、より高次元の一般化もあります。

ハーディ空間は、数学的解析自体だけでなく、制御理論（ H ^∞法など）や散乱理論にも数多くの応用があります。

開単位円上の正則関数の空間に対して、ハーディ空間H ²は、半径rの円上の平均二乗値が下から r → 1で有界となる関数fから構成されます。

より一般的には、 0 < p < ∞のハーディ空間H ^pは、開単位円板上の 正則関数fのクラスであり、

${\displaystyle \sup _{0\leqslant r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|^{p}\;\mathrm {d} \theta \right)^{\frac {1}{p}}}\right .}$

このクラスH ^pはベクトル空間です。上記の不等式の左側の数字は、fのハーディ空間pノルムであり、 と表されます。これはp ≥ 1のときはノルムですが、 0 < p < 1のときはノルムではありません 。 ${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}.}$

空間H∞^は円板上の有界正則関数のベクトル空間として定義され、ノルムは

${\displaystyle {\|f\|}_{H^{\infty}}=\sup _{|z|<1}\left|f(z)\right|.}$

0 < p ≤ q ≤ ∞ の場合、クラスH ^qはH ^pのサブセットであり、H ^pノルムはpとともに増加します(確率測度、つまり全質量が 1 の測度に対してL ^pノルムが増加するのは、ヘルダーの不等式の結果です)。

前節で定義したハーディ空間は、単位円上の複素L ^p空間の特定の閉ベクトル部分空間として見ることもできる。この関係は、次の定理によって与えられる（Katznelson 1976, Thm 3.8）： f ∈ H ^p （ p ≥ 1）が与えられたとき、半径極限

${\displaystyle {\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}f\left(re^{i\theta }\right)}$

ほぼすべてのθに対して存在する。関数は単位円のL ^p空間に属し、 ^{[説明が必要]}であり、 ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle {\|{\tilde {f}}\|}_{L^{p}}={\|f\|}_{H^{p}}.}$

単位円をT、すべての極限関数からなるL ^p ( T )のベクトル部分空間をH ^p ( T ) で表すと、f がH ^p内で変化するとき、 p ≥ 1に対して次の式が得られます (Katznelson 1976)。 ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle g\in H^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ }}g\in L^{p}\left(\mathbf {T} \right){\text{ かつ }}{\hat {g}}(n)=0{\text{ }}n<0, に対して }$

ここでĝ ( n )は単位円上で積分可能な 関数gのフーリエ係数であり、

${\displaystyle \forall n\in \mathbf {Z} ,\ \ \ {\hat {g}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\ pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi .}$

空間H ^p ( T ) はL ^p ( T )の閉じた部分空間です。L ^p ( T ) はバナッハ空間(1 ≤ p ≤ ∞) なので、H ^p ( T ) もバナッハ空間です。

上記は逆のことも考えられます。関数 （p ≥ 1）が与えられた場合、ポアソン核 P r を用いて単位円上の（調和）関数_fを再び得ることができます。 ${\displaystyle {\tilde {f}}\in L^{p}(\mathbf {T} )}$

${\displaystyle f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1,}$

そして、f は、がH ^p ( T ) に属するとき、正確にH ^pに属する。がH ^p ( T )に属する、すなわち、フーリエ係数 ( a _n ) _{n ∈ Z}を持ち、 n < 0 のすべてに対してa _n = 0 を持つと仮定すると、H pに関連付けられたハーディ空間H ^pの元f は、正則関数である。 ${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.}$

応用においては、負のフーリエ係数がゼロになる関数は、一般に因果解として解釈される。^{[説明が必要]} したがって、空間H ^{2 は}L ²空間内に自然に存在するとみなされ、Nでインデックス付けされた無限列によって表される。一方、L ^{2 は}Zでインデックス付けされた双無限列で構成される。

1 ≤ p < ∞ の場合、この記事で後ほど説明する^{[説明が必要]}実ハーディ空間 H ^pは、現在の文脈で簡単に記述できます。単位円上の実関数f は、それがH ^p ( T ) 内の関数の実部である場合に実ハーディ空間H ^p ( T ) に属し、複素関数f が実ハーディ空間に属するのは、Re( f ) と Im( f ) がその空間に属する場合のみです (以下の実ハーディ空間のセクションを参照)。したがって、1 ≤ p < ∞ の場合、実ハーディ空間はハーディ空間を含みますが、関数の実部と虚部の間に関係が課されていないため、実ハーディ空間ははるかに大きくなります。

0 < p < 1の場合、フーリエ係数、ポアソン積分、共役関数などのツールはもはや有効ではありません。たとえば、関数

${\displaystyle F(z)={\frac {1+z}{1-z}},\quad |z|<1.}$

すると、0 < p < 1の任意の範囲でFはH ^pに属し、半径方向の極限は

${\displaystyle f(e^{i\theta }):=\lim _{r\to 1}F(re^{i\theta })=i\,\cot({\tfrac {\theta }{2}}).}$

ae θに対して存在し、H ^p ( T ) に存在しますが、Re( f ) はほとんどどこでも 0 なので、 Re( f ) からF を復元することはもはや不可能です。この例の結果として、0 < p < 1 の場合、実数H ^p ( T ) (以下で定義) を上記の簡単な方法で特徴付けることはできず、^{[説明が必要]}最大関数を使用した実際の定義を使用する必要があります。これは、下のどこかでさらに詳しく説明します。

同じ関数Fについて、f _r (e ^iθ ) = F ( re ^iθ ) とします。円上の超関数の意味で、 Re( f _r )のr → 1 のときの極限は、 z = 1におけるディラック分布の非ゼロ倍です。単位円上の点におけるディラック分布は、すべてのp < 1 に対して実数H ^p ( T )に属します (以下を参照)。

0 <  p ≤ ∞ の場合、 H ^p内の すべての非ゼロ関数f は、積f = Ghとして表すことができます。ここで、Gは外部関数、h は内部関数で、以下のように定義されます (Rudin 1987、Thm 17.17)。この「Beurling分解」により、ハーディ空間は内部関数と外部関数の空間によって完全に特徴付けられます。^{[1] [2]}

G ( z ) ^{[明確化が必要]が}外部関数であるとは、次の式で 表される。

${\displaystyle G(z)=c\,\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\log \!\left(\varphi \!\left(e^{i\theta }\right)\right)\,\mathrm {d} \theta \right)}$

は、 | c | = 1 となる複素数cと、円上で積分可能な単位円上の正の可測関数に対して成り立つ。特に、円上で積分可能な場合、G はH ¹に含まれる。なぜなら、上記はポアソン核の形をとるからである(Rudin 1987, Thm 17.16)。これは、 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \log(\varphi )}$${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}\left|G\left(re^{i\theta }\right)\right|=\varphi \left(e^{i\theta }\right)}$

ほぼすべてのθに対して。

h が内部関数であるとは、単位円上で | h | ≤ 1 であり、極限が

${\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}h(re^{i\theta })}$

ほぼすべてのθに対して存在し、その係数は1 ae に等しい。特に、hはH ^∞内にある。^{[説明が必要]内部関数はさらに}Blaschke 積を含む形に因数分解できる。

関数fは、f = Gh ^{[説明が必要]}として分解され、 φ がL ^p ( T )に属する場合にのみH ^pに属します。ここで、 φ は外部関数Gの表現における正関数です。

G を円上の関数 φ から上記のように表される外部関数とします。 φ を φ ^α（α > 0）に置き換えると、次の特性を持つ外部関数の族（G _α）が得られます。

G ₁  = G、G _α+β = G _α  G _β  および | Gα _| ​= | G |円上のほぼどこでも^αです。

したがって、 0 < p、q、r < ∞ かつ 1/ r = 1/ p + 1/ qのときはいつでも、 H ^rのすべての関数f は、 H ^pの関数とH ^qの関数の積として表すことができます。 たとえば、H ^{1のすべての関数は、} H ²の 2 つの関数の積です。H ^p、p < 1 のすべての関数は、いくつかのH ^q、q > 1の複数の関数の積として表すことができます 。

実変数技法は、主にR ⁿ上で定義される実ハーディ空間の研究に関連しますが(下記参照)、円のより単純なフレームワークでも使用されます。これらの「実」空間では、複素関数 (または分布) を許容するのが一般的です。以下の定義では、実数の場合と複素数の場合を区別しません。

P _{r を}単位円T上のポアソン核とする。単位円上の 分布fに対して、

${\displaystyle (Mf)(e^{i\theta })=\sup _{0<r<1}\left|(f*P_{r})\left(e^{i\theta }\right)\right|,}$

ここで星印は分布fと円上の関数e ^iθ → P _r (θ)の畳み込みを表す。つまり、( f ∗ P _r )(e ^iθ )は、単位円上で定義される C ^∞関数に対するfの作用の結果である。

${\displaystyle e^{i\varphi }\rightarrow P_{r}(\theta -\varphi ).}$

0 < p  < ∞の場合、実ハーディ空間 H ^p ( T )は、M fがL ^p ( T )  に含まれるような超関数fから構成されます。

単位円板上でF ( re ^iθ ) = ( f ∗ P _r )(e ^iθ ) によって定義される関数F は調和関数であり、M f はFの動径極大関数  です。M f がL ^p ( T )  に属し、 p  ≥ 1 の場合、分布f   "は" L ^p ( T )内の関数、つまりFの境界値です。p  ≥ 1 の場合、実ハーディ空間H ^p ( T ) はL ^p ( T )のサブセットです。

単位円上のすべての実三角関数多項式uに対して、 u + i vが単位円上の正則関数に拡張される ような実共役多項式 vを関連付けます。

${\displaystyle u(e^{i\theta })={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\cos(k\theta )+b_{k}\sin(k\theta )\longrightarrow v(e^{i\theta })=\sum _{k\geqslant 1}a_{k}\sin(k\theta )-b_{k}\cos(k\theta ).}$

この写像u → vは、 1 < p < ∞ のとき、 L ^p ( T )上の有界線型演算子Hに拡張され (スカラー倍数までは単位円上のヒルベルト変換)、 HはL ¹ ( T ) を弱L ¹ ( T )に写像します。 1 ≤ p < ∞ のとき、単位円上の 実数値の積分可能関数f に対して、次の式は同値です。

• 関数f はある関数g ∈ H ^p ( T )の実部である。
• 関数fとその共役関数H(f)はL ^p ( T )に属する。
• 動径極大関数M f はL ^p ( T )  に属する。

1 < p < ∞のとき、f ∈ L ^p ( T )のときH(f)はL ^p ( T )に属し、したがってこの場合実ハーディ空間H ^p ( T )はL ^p ( T )と一致する。p = 1のとき、実ハーディ空間H ¹ ( T )はL ¹ ( T )の真部分空間である。

p = ∞の場合は、 L ^∞関数  の最大関数M f が常に有界であり、実数値H ^∞がL ^∞に等しいことは望ましくないため、実ハーディ空間の定義から除外されました。ただし、次の2つの特性は、実数値関数fに対しては同等です。

• 関数f はある関数g ∈ H ^∞ ( T )  の実部である。
• 関数f  とその共役関数^H (f)はL∞ ( T )に属する。

0 < p < 1 のとき、 H ^pの関数F は、この場合L ^pの凸性がないため、円上の境界極限関数の実部から再構成することができません。凸性は失われますが、ある種の「複素凸性」、つまりz → | z | ^qがすべてのq > 0に対してサブハーモニックであるという事実は残ります。結果として、

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}z^{n},\quad |z|<1}$

がH ^pに属する場合、 c _n = O( n ^{1/ p –1} )であることが示される。したがって、フーリエ級数は

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}e^{in\theta }}$

は、超関数の意味で単位円上の超関数fに収束し、 F ( re ^iθ ) =( f  ∗  P _r )(θ)となる。関数F ∈ H ^pは、円上の実数超関数Re( f )から再構成することができる。これは、 Fのテイラー係数c _nがRe( f )のフーリエ係数から計算できるからである。

円上の超関数は、p  < 1 のときハーディ空間を扱うのに十分一般的です。関数ではない超関数も発生します。たとえば、関数F ( z ) = (1− z ) ^{− N} (| z | < 1 の場合) は、0 < N p  < 1 (かつNは整数 ≥ 1) のときH ^pに属します。  

円上の実分布は、それが何らかのF ∈ H ^pの実部の境界値である場合に限り、実数H ^p ( T ) に属します。単位円の任意の点xにおけるディラック分布 δ _{x は}、すべてのp < 1 に対して実数H ^p ( T )に属します。p < 1/2 の場合、導関数 δ′ _xが属し、 p < 1/3の場合、 2 次導関数 δ′′ _{x が}属します。

ハーディ空間は円板以外の領域にも定義することができ、多くの応用では複素半平面 (通常は右半平面または上半平面) 上のハーディ空間が使用されます。

上半平面H上のハーディ空間H ^p ( H )は、ノルムが有界であるH上の正則関数fの空間として定義され、ノルムは次のように与えられる。

${\displaystyle \|f\|_{H^{p}}=\sup _{y>0}\left(\int _{-\infty }^{+\infty }|f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.}$

対応するH ^∞ ( H )は有界ノルムの関数として定義され、ノルムは次のように与えられる。

${\displaystyle \|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{z\in \mathbf {H} }|f(z)|.}$

単位円 Dと上半平面H はメビウス変換によって互いに写像できるが、ハーディ空間の領域としては互換性がない^{[明確化が必要] 。この違いは、単位円は有限 (1 次元) の}ルベーグ測度を持ち、実数直線は持たないという事実による。しかし、H ²については次の定理が成り立つ。m :  D → Hがメビウス変換を表す 場合、

${\displaystyle m(z)=i\cdot {\frac {1+z}{1-z}}.}$

すると、線形演算子M  : H2 ( H )→ H2 ( D )は次のように定義さ ^れる。

${\displaystyle (Mf)(z):={\frac {\sqrt {\pi }}{1-z}}f(m(z)).}$

ヒルベルト空間の 等長 同型である。

実ベクトル空間R ⁿ上の解析において、ハーディ空間H ^p (0 <  p  ≤ ∞) は、あるシュワルツ関数Φ に対して ∫Φ = 1 となるような緩和超関数 fから構成される。

${\displaystyle (M_{\Phi }f)(x)=\sup _{t>0}|(f*\Phi _{t})(x)|}$

はL ^p ( R ⁿ )に含まれます。ここで、 ∗ は畳み込み、Φ _t ( x ) = t ^{− n} Φ( x  /  t )です。H ^pの分布fのH ^p準正規分布|| f  || _Hpは、M _Φ fのL ^pノルムとして定義されます(これは Φ の選択に依存しますが、シュワルツ関数 Φ の異なる選択は同等のノルムを与えます)。H p準正規分布は^、 p ≥ 1の場合にはノルムですが、p  < 1 の場合にはノルムではありません。

1 < p  < ∞ の場合、ハーディ空間H ^{p は}L ^pと同じベクトル空間で、ノルムは等価です。p  = 1 の場合、ハーディ空間H ^1はL ¹の適切な部分空間です。 H ^1には、 L ¹では有界だがH ¹では有界でないシーケンスが存在します。たとえば、直線

${\displaystyle f_{k}(x)=\mathbf {1} _{[0,1]}(x-k)-\mathbf {1} _{[0,1]}(x+k),\ \ \ k>0.}$

L ¹ノルムとH ^{1ノルムは}H ¹上で同値ではなく、H ^{1 は}L ¹内で閉じていません。 H ¹の双対は、有界平均振動関数の空間BMOです。 空間BMOには、有界でない関数が含まれます (これもH ^1がL ¹内で閉じていないことを証明しています)。

p < 1の場合 、ハーディ空間H ^pには関数ではない要素があり、その双対はn (1/ p  − 1) 位数の同次リプシッツ空間です。p < 1 の場合、H ^p準正規分布は劣加法ではないため、ノルムではありません。p 乗|| f ||  Hp _p^はp < 1に対して劣加法であるため 、ハーディ空間H ^p上の計量を定義し、それが位相を定義してH ^{p を}完全な計量空間にします。

0 < p ≤ 1のとき、コンパクトな台を持つ有界測定可能関数fがハーディ空間H ^pに含まれるのは、そのすべてのモーメントが

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(x)x_{1}^{i_{1}}\ldots x_{n}^{i_{n}}\,\mathrm {d} x,}$

i ₁ + ... + i _nの位数が最大でn (1/ p − 1)であるものは ゼロになります。たとえば、fの積分は、 f ∈ H ^p、0 < p ≤ 1となるためにゼロになる必要があり、 p  > n  / ( n +1)である限り、これも十分です。

さらにf が何らかの球Bに台を持ち、| B | ^{−1/ p}で制限される場合、f はH ^p原子と呼ばれます(ここで | B | はR ⁿにおけるBのユークリッド体積を表します)。任意のH ^p原子のH ^p準形式は、 pとシュワルツ関数 Φのみに依存する定数で制限されます。

0 < p ≤ 1のとき、 H ^pの任意の元fはH ^p原子の収束する無限の組み合わせとして原子分解を持ち、

${\displaystyle f=\sum c_{j}a_{j},\ \ \ \sum |c_{j}|^{p}<\infty }$

ここで、a _{j は}H ^p原子であり、c _{j は}スカラーです。

たとえば、直線上では、ディラック分布の差f  = δ ₁ −δ _{0 は}、 1/2 < p < 1 のときにH ^p準形に収束するハール関数の級数として表すことができます (円上では、対応する表現は 0 < p < 1 に対して有効ですが、直線上では、ハール関数の最大関数が、あるa ≠ 0 に対して無限大でa x ^{−2と等価であるため、} p ≤ 1/2のときにハール関数はH ^p に属しません )。  

( M _n ) _{n ≥0 を}、ある確率空間 (Ω, Σ,  P ) 上の、σ 体の増加シーケンス (Σ _n ) _{n ≥0}に関するマルチンゲールとします。簡単のため、Σ はシーケンス (Σ _n ) _{n ≥0}によって生成される σ 体に等しいと仮定します。マルチンゲールの 最大関数は次のように定義されます。

${\displaystyle M^{*}=\sup _{n\geq 0}\,|M_{n}|.}$

1 ≤ p < ∞とします。M * ∈ L ^pのとき、マルチンゲール( M _n ) _{n ≥0は}マルチンゲール-H ^pに属します。

M* ∈ L ^pの場合、マルチンゲール ( M _n ) _{n ≥0 は}L ^pで有界であるため、マルチンゲール収束定理により、ほぼ確実に何らかの関数fに収束します。さらに、優勢収束定理により、 M _{n は}L ^pノルムでfに収束するため、M _{n は}Σ _n上のf^の条件付き期待値として表すことができます。したがって、マルチンゲールH ^{p を}、 マル チンゲールが

${\displaystyle M_{n}=\operatorname {E} {\bigl (}f|\Sigma _{n}{\bigr )}}$

マルチンゲール-H ^pに属します。

Doob の最大不等式は、1 < p < ∞ のとき、マルチンゲールH ^{p が}L ^p (Ω, Σ,  P )と一致することを意味します。興味深い空間はマルチンゲールH ¹であり、その双対はマルチンゲール BMO (Garsia 1973) です。

バークホルダー・ガンディ不等式（p  > 1の場合）とバージェス・デイビス不等式（p = 1の場合）は、最大関数のL p ノルムとマルチンゲールの 2乗関数のL ^{pノルムを関連付けます。}

${\displaystyle S(f)=\left(|M_{0}|^{2}+\sum _{n=0}^{\infty }|M_{n+1}-M_{n}|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}$

マルチンゲール^Hpは^S ( f ) ∈Lpと定義できる(Garsia 1973)。

連続時間パラメータを持つマルチンゲールも考えられます。古典理論との直接的なリンクは、複素平面上の複素ブラウン運動( B _t ) を介して得られ、時刻t = 0 の点z = 0 から開始します。τ は単位円の到達時間を表します。単位円内の 任意の正則関数Fについて、

${\displaystyle M_{t}=F(B_{t\wedge \tau })}$

はマルチンゲールであり、F  ∈  H ^pの場合に限りマルチンゲール-H ^pに属します(Burkholder、Gundy、Silverstein 1971)。

この例では、Ω = [0, 1]であり、Σ _nは[0, 1]を長さ2 ^{− nの2 n 個}の区間に2項分割することによって生成される有限体であり、 n ≥ 0である。 [0, 1]上の関数fがハール系( h _k ) への展開で表される場合、

${\displaystyle f=\sum c_{k}h_{k},}$

すると、 fのマルチンゲールH ¹ノルムは、平方関数の L ¹ノルムによって定義される。

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\Bigl (}\sum |c_{k}h_{k}(x)|^{2}{\Bigr )}^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} x.}$

この空間は、H ¹ (δ) と表記されることもあり、円上の古典的な実H ¹空間と同型です(Müller 2005)。ハール系は、 H ¹ (δ)の無条件基底です。

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