非可換調和解析

数学において、非可換調和解析は、フーリエ解析の結果を非可換な位相群に拡張する分野である。^{[ 1 ]}局所コンパクトアーベル群は、フーリエ級数とフーリエ変換の基本構造を含む、よく理解された理論であるポントリャーギン双対性を持っているため、非可換調和解析の主な仕事は、通常、その理論を局所コンパクトであるすべての群Gに拡張することであると考えられている。コンパクト群の場合は、定性的に、そして1920 年代のピーター・ワイルの定理以降、一般的に有限群とその指標理論に類似していると理解されている。

したがって、主な課題は、局所コンパクト、非コンパクト、非可換な群Gの場合である。興味深い例としては、多くのリー群やp進体上の代数群などが挙げられる。これらの例は、数理物理学や現代の数論、特に保型表現において興味深く、頻繁に応用されている。

期待される結果は、ジョン・フォン・ノイマンの基礎研究の成果として知られています。彼は、Gのフォン・ノイマン群環がタイプ I である場合、Gのユニタリ表現としてのL ² ( G )は既約表現の直積分であることを示しました。したがって、L 2 ( G ) は、そのような表現の同型類の集合であるユニタリ双対によってパラメータ化され、この双対にはハル・カーネル位相が与えられます。プランシュレル定理の類似物は、ユニタリ双対上の測度、すなわちプランシュレル測度を同一視することによって抽象的に与えられ、この測度に関して直積分が取られます。 (ポントリャーギン双対性の場合、プランシュレル測度はGの双対群上の何らかのハール測度であり、したがって唯一の問題はその正規化である。) 一般的な局所コンパクト群、あるいは可算離散群の場合、フォン・ノイマン群環はタイプ I である必要はなく、Gの正則表現は、ユニタリかつ完全に可約であるにもかかわらず、既約表現で表すことはできない。このような例が無限対称群であり、フォン・ノイマン群環は超有限タイプ II ₁因子である。さらに理論では、プランシュレル測度を離散部分と連続部分に分割する。半単純群、および可解リー群のクラスについては、非常に詳細な理論が利用可能である。^{[ 2 ]}

• セルバーグトレース式
• ラングランズ・プログラム
• キリロフ軌道理論
• 離散系列表現
• ゾーン球面関数

• 「非可換調和解析: ジャック カルモナに敬意を表して」、ジャック カルモナ、パトリック デロールム、ミシェル ベルニュ。出版社 Springer、2004 ISBN 0-8176-3207-7^{[ 3 ]}
• ユーリー・I・リュビッチ著『群のバナッハ表現論入門』。1985年ロシア語版（ウクライナ、ハリコフ）からの翻訳。ビルクハウザー出版。1988年。