コーシーの収束テスト

コーシー収束検定は、無限級数の収束を検定するために使用される方法である。級数内の項の上限和に依存する。この収束基準は、 1821年に教科書Cours d'Analyseに掲載されたオーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられた。^[1]

級数が収束するとは、任意の自然数に対して、 ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

すべてとすべてに当てはまります。^[2]${\displaystyle n>N}$${\displaystyle p\geq 1}$

このテストは、実数の空間と複素数の空間（絶対値によって与えられた計量を持つ）が両方とも完全であるため有効である。ここから、級数が収束するのは、部分和が${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$

はコーシー列です。

コーシーの収束テストは、すべてのコーシー列が収束する空間である完全な計量空間（やなど）でのみ使用できます。これは、数列が収束することを証明するために、数列の有限進行の後にその要素が互いに任意に近づくことを示すだけでよいためです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

無限級数の部分和の列の収束に関する結果を、無限級数自体の収束に適用することができます。コーシー基準テストはそのような応用の1つです。任意の実数列に対して、上記の収束に関する結果は、無限級数が${\displaystyle a_{k}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$

収束するには、任意の数Nが存在し、m ≥ n ≥ Nである必要がある。 ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|=\left|\sum _{k=n+1}^{m}a_{k}\right|<\varepsilon .}$^{[3] : 188}

おそらくこの定理の最も興味深い部分は、コーシー条件が極限の存在を意味するという点です。これは実数の完全性と関連しています。コーシー基準はさまざまな状況に一般化することができ、すべて「振動条件が消えることは収束に等しい」と大まかに要約できます。^[4]

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