線形独立性

無限ベクトル集合は、そのすべての有限部分集合が線形独立である場合に線形独立である。この定義は有限ベクトル集合にも適用される。なぜなら、有限集合はそれ自身の有限部分集合であり、線形独立な集合のすべての部分集合もまた線形独立だからである。

逆に、無限のベクトル集合は、その中に線形従属な有限部分集合が含まれている場合、または同等に、集合内のいずれかのベクトルが集合内の他のベクトルの線形結合である場合に、線形従属であると言えます。

添え字付きベクトル族は、同じベクトルを2回含まず、かつそのベクトルの集合自体が線形独立である場合に、線形独立であると言います。そうでない場合、そのベクトル族は線形従属であると言います。

線形独立で、あるベクトル空間を張るベクトルの集合は、そのベクトル空間の基底を形成します。例えば、実数x上のすべての多項式からなるベクトル空間は、(無限) 部分集合{1, x , x ² , ...}を基底とします。

させて${\displaystyle V}$ベクトル空間である。集合${\displaystyle X\subseteq V}$線形独立であるのは、${\displaystyle X}$は最小限の要素です

${\displaystyle \{Y\subseteq V\mid X\subseteq \operatorname {Span} (Y)\}}$

包含順序によって。対照的に、${\displaystyle X}$は、そのスパンが のスーパーセットである真部分集合を持つ場合、線形従属である。${\displaystyle X}$。

ある場所の位置を説明する人は、「ここはここから北に3マイル、東に4マイルのところにある」と言うかもしれません。これは、地理座標系を2次元ベクトル空間とみなせるため（高度や地球表面の曲率を無視すれば）、位置を説明するのに十分な情報です。さらに、「ここはここから北東に5マイルのところにある」と付け加えるかもしれません。この最後の記述は正しいですが、位置を特定するために必要な情報ではありません。

この例では、「北へ3マイル」のベクトルと「東へ4マイル」のベクトルは線形独立です。つまり、北のベクトルを東のベクトルで表すことはできず、その逆も同様です。3つ目の「北東へ5マイル」のベクトルは、他の2つのベクトルの線形結合であり、ベクトルの集合を線形従属にします。つまり、平面上の特定の位置を定義するのに、3つのベクトルのうち1つは不要になります。

また、高度を無視しない場合は、線形独立なベクトルの集合に3つ目のベクトルを追加する必要が生じることに注意してください。一般に、n次元空間内のすべての位置を記述するには、 n個の線形独立なベクトルが必要です。

与えられたベクトル列からの 1 つ以上のベクトル$\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$はゼロベクトルです$\displaystyle \mathbf {0} }$次にベクトル$\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$は必然的に線形従属であり（したがって、線形独立ではない）、その理由を理解するために、${\displaystyle i}$はインデックス（つまり要素）です${\displaystyle \{1,\ldots ,k\}}$) のように${\displaystyle \mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} .}$すると${\displaystyle a_{i}:=1}$（あるいは、${\displaystyle a_{i}}$他のすべての非ゼロスカラーと等しくすることもできます）そして、他のすべてのスカラーを${\displaystyle 0}$（具体的には、任意のインデックスに対して${\displaystyle j}$以外${\displaystyle i}$（つまり、${\displaystyle j\neq i}$）、 させて${\displaystyle a_{j}:=0}$そのため、${\displaystyle a_{j}\mathbf {v} _{j}=0\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} }$) 簡略化${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}}$与える：

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {v} _{k}=\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} +a_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {0} +\cdots +\mathbf {0} =a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{i}\mathbf {0} =\mathbf {0} .}$

すべてのスカラーがゼロではないため（特に、${\displaystyle a_{i}\neq 0}$これは、ベクトルが$\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$線形従属関係にある。

したがって、ゼロベクトルは、線形独立なベクトルの集合に属することは決してない。

次に、次の特殊なケースを考えてみましょう。$\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$長さがあります${\displaystyle 1}$（つまり、${\displaystyle k=1}$）。ちょうど 1 つのベクトルからなるベクトルの集合は、そのベクトルがゼロである場合に限り、線形従属である。具体的には、$\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$が任意のベクトルである場合、シーケンス$\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$（長さのシーケンス）${\displaystyle 1}$) は、以下の場合に限り線形従属である。$\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\mathbf {0} }$あるいは、コレクション$\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$線形独立であるのは、${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\neq \mathbf {0} .}$

この例では、ベクトルがちょうど 2 つ存在する特殊なケースを検討します。${\displaystyle \mathbf {u} }$そして${\displaystyle \mathbf {v} }$ある実数または複素数のベクトル空間から。ベクトル${\displaystyle \mathbf {u} }$そして${\displaystyle \mathbf {v} }$は、以下の少なくとも1つが真である場合に限り、線形従属である。

1. ${\displaystyle \mathbf {u} }$はスカラー倍数です${\displaystyle \mathbf {v} }$（具体的には、これはスカラーが存在することを意味します）${\displaystyle c}$そのため${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$） または
2. ${\displaystyle \mathbf {v} }$はスカラー倍数です${\displaystyle \mathbf {u} }$（具体的には、これはスカラーが存在することを意味します）${\displaystyle c}$そのため${\displaystyle \mathbf {v} =c\mathbf {u} }$)

もし${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$そして設定することで${\displaystyle c:=0}$我々は持っています${\displaystyle c\mathbf {v} =0\mathbf {v} =\mathbf {0} =\mathbf {u} }$（この等式は、${\displaystyle \mathbf {v} }$（である）は、この特定の場合には（1）が真であることを示している。同様に、${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$すると（２）は真となる。${\displaystyle \mathbf {v} =0\mathbf {u} .}$ もし${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$（例えば、両方ともゼロベクトルに等しい場合）${\displaystyle \mathbf {0} }$) ならば、 (1) と (2) の両方が真である (${\displaystyle c:=1}$（両方とも）。

もし${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$それから${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$可能なのは、${\displaystyle c\neq 0}$そして${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$この場合、両辺にを掛けることができます${\textstyle {\frac {1}{c}}}$最後に${\textstyle \mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {u} .}$ これは、${\displaystyle \mathbf {u} \neq \mathbf {0} }$そして${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ then (1) is true if and only if (2) is true; that is, in this particular case either both (1) and (2) are true (and the vectors are linearly dependent) or else both (1) and (2) are false (and the vectors are linearly independent). If ${\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} }$ but instead ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} }$ then at least one of ${\displaystyle c}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ must be zero. Moreover, if exactly one of ${\displaystyle \mathbf {u} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ is ${\displaystyle \mathbf {0} }$ (while the other is non-zero) then exactly one of (1) and (2) is true (with the other being false).

The vectors ${\displaystyle \mathbf {u} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ are linearly independent if and only if ${\displaystyle \mathbf {u} }$ is not a scalar multiple of ${\displaystyle \mathbf {v} }$and${\displaystyle \mathbf {v} }$ is not a scalar multiple of ${\displaystyle \mathbf {u} }$.

Three vectors: Consider the set of vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1),}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4),}$ then the condition for linear dependence seeks a set of non-zero scalars, such that

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}+a_{3}{\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

or

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Row reduce this matrix equation by subtracting the first row from the second to obtain,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Continue the row reduction by (i) dividing the second row by 5, and then (ii) multiplying by 3 and adding to the first row, that is

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

Rearranging this equation allows us to obtain

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}16/5\\2/5\end{bmatrix}}.}$

which shows that non-zero a_i exist such that ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(2,4)}$ can be defined in terms of ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2).}$ Thus, the three vectors are linearly dependent.

Two vectors: Now consider the linear dependence of the two vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2),}$ and check,

${\displaystyle a_{1}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}+a_{2}{\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

or

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

The same row reduction presented above yields,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

This shows that ${\displaystyle a_{i}=0,}$ which means that the vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1)}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(-3,2)}$ are linearly independent.

In order to determine if the three vectors in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4},}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}.}$

are linearly dependent, form the matrix equation,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Row reduce this equation to obtain,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

Rearrange to solve for v₃ and obtain,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}=-a_{3}{\begin{bmatrix}-2\\9\end{bmatrix}}.}$

This equation is easily solved to define non-zero a_i,

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

where ${\displaystyle a_{3}}$ can be chosen arbitrarily. Thus, the vectors ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},}$ and ${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$ are linearly dependent.

An alternative method relies on the fact that ${\displaystyle n}$ vectors in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ are linearly independentif and only if the determinant of the matrix formed by taking the vectors as its columns is non-zero.

In this case, the matrix formed by the vectors is

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

We may write a linear combination of the columns as

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

We are interested in whether AΛ = 0 for some nonzero vector Λ. This depends on the determinant of ${\displaystyle A}$, which is

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

Since the determinant is non-zero, the vectors ${\displaystyle (1,1)}$ and ${\displaystyle (-3,2)}$ are linearly independent.

Otherwise, suppose we have ${\displaystyle m}$ vectors of ${\displaystyle n}$ coordinates, with ${\displaystyle m<n.}$ Then A is an n×m matrix and Λ is a column vector with ${\displaystyle m}$ entries, and we are again interested in AΛ = 0. As we saw previously, this is equivalent to a list of ${\displaystyle n}$ equations. Consider the first ${\displaystyle m}$ rows of ${\displaystyle A}$, the first ${\displaystyle m}$方程式。方程式の完全なリストの解は、縮小されたリストでも真でなければなりません。実際、⟨ i ₁ ,..., i _m ⟩が任意のリストである場合、${\displaystyle m}$行の場合、その行については等式が成り立たなければならない。

${\displaystyle A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

さらに、その逆もまた真である。つまり、${\displaystyle m}$ベクトルが線形従属であるかどうかをテストすることで

${\displaystyle \det A_{\langle i_{1},\dots ,i_{m}\rangle }=0}$

すべての可能なリストに対して${\displaystyle m}$行。（${\displaystyle m=n}$これには上記のように1つの決定因子のみが必要です。${\displaystyle m>n}$（したがって、ベクトルは線形従属でなければならないという定理がある。）この事実は理論上は価値があるが、実際の計算ではより効率的な方法が利用可能である。

ベクトルの数が次元数より多い場合、ベクトルは線形従属になります。これは、上記の3つのベクトルの例で示されています。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

仮定する${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は、

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

上記の式を微分します。

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

すべての値に対して${\displaystyle t.}$私たちはそれを証明する必要がある${\displaystyle a=0}$そして${\displaystyle b=0.}$そのためには、2番目の式から最初の式を引くと、次のようになります。${\displaystyle be^{2t}=0}$。 以来${\displaystyle e^{2t}}$ある場合、ゼロではない${\displaystyle t}$、${\displaystyle b=0.}$したがって、${\displaystyle a=0}$同様です。したがって、線形独立性の定義によれば、${\displaystyle e^{t}}$そして${\displaystyle e^{2t}}$線形独立である。

ベクトルの集合は、その集合内の少なくとも1つのベクトルが他のベクトルのアフィン結合として定義できる場合、アフィン従属であると言われます。そうでない場合、その集合はアフィン独立であると言われます。任意のアフィン結合は線形結合であるため、すべてのアフィン従属集合は線形従属です。逆に、すべての線形独立集合はアフィン独立です。アフィン独立集合が必ずしも線形独立であるとは限らないことに注意してください。

一連の${\displaystyle m}$ベクトル${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}}$サイズの${\displaystyle n}$それぞれ、そして次のセットを考えます。${\displaystyle m}$拡張ベクトル${\textstyle \left(\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{1}\end{smallmatrix}}\right],\ldots ,\left[{\begin{smallmatrix}1\\\mathbf {v} _{m}\end{smallmatrix}}\right]\right)}$サイズの${\displaystyle n+1}$それぞれ。元のベクトルがアフィン独立であるのは、拡張ベクトルが線形独立である場合に限る。^{[ 3 ]： 256}

2つのベクトル部分空間${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$ベクトル空間の${\displaystyle X}$は、次の場合に線形独立であると言われます。${\displaystyle M\cap N=\{0\}.}$^{[ 4 ]} より一般的には、コレクション${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$部分空間の${\displaystyle X}$は、次の場合に線形独立であると言われます。${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$すべてのインデックスについて${\displaystyle i,}$どこ${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}m_{1}+\cdots +m_{i-1}+m_{i+1}+\cdots +m_{d}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \bigcup _{k\in \{1,\ldots ,i-1,i+1,\ldots ,d\}}M_{k}.}$^{[ 4 ]} ベクトル空間${\displaystyle X}$直接和であると言われている${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$これらの部分空間が線形独立で、${\displaystyle M_{1}+\cdots +M_{d}=X.}$