積分変換

数学において、積分変換は、積分によって関数を元の関数空間から別の関数空間にマッピングする変換の一種であり、元の関数のいくつかの特性は、元の関数空間よりも簡単に特徴付けおよび操作できる場合があります。変換された関数は、一般に、逆変換を使用して元の関数空間にマッピングし直すことができます。

積分変換は次の形式の 変換です。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt}$

この変換の入力は関数 であり、出力は別の関数です。積分変換は、特定の種類の数学演算子です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle Tf}$

有用な積分変換は数多くあります。それぞれの変換は、変換の カーネルまたは核と呼ばれる2 つの変数の関数の選択によって指定されます。${\displaystyle K}$

一部のカーネルには、（大まかに言えば）逆変換を生成する 逆カーネルが関連付けられています。 ${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du}$

対称カーネルは、2つの変数を入れ替えても変化しないカーネル関数です。積分方程式の理論では、対称カーネルは自己随伴演算子に対応します。^[1]${\displaystyle K}$${\displaystyle K(t,u)=K(u,t)}$

元の表現のままでは解決が難しい、または少なくとも代数的に扱いにくい問題の種類は数多くあります。積分変換は、方程式を元の「ドメイン」から別のドメインに「マッピング」します。このドメインでは、方程式の操作と解決が元のドメインよりもはるかに簡単になります。その後、積分変換の逆変換を使用して、解を元のドメインにマッピングし直すことができます。

「価格設定カーネル」や確率的割引係数、ロバスト統計から回復されたデータの平滑化など、積分変換に依存する確率のアプリケーションは多数あります。カーネル (統計)を参照してください。

変換の前身は、関数を有限区間で表現するフーリエ級数でした。後に、有限区間の要件を排除するために フーリエ変換が開発されました。

フーリエ級数を使用すると、ほぼすべての実用的な時間関数 (たとえば、電子機器の端子間の電圧) を、それぞれ適切にスケーリング (定数倍)、シフト (時間を進めるまたは遅らせる)、および「圧縮」または「引き伸ばす」 (周波数を増加または減少させる) された正弦と余弦の合計として表すことができます。フーリエ級数の正弦と余弦は、正規直交基底の例です。

積分変換の応用例として、ラプラス変換を考えてみましょう。これは、「時間」領域の微分方程式または積分微分方程式を、 「複素周波数」領域と呼ばれる領域の多項式方程式にマッピングする手法です。(複素周波数は実際の物理的周波数に似ていますが、より一般的です。具体的には、複素周波数s = − σ + iωの虚数成分ωは通常の周波数の概念、つまり正弦波が循環する速度に対応し、複素周波数の実数成分σは「減衰」の度合い、つまり振幅の指数関数的減少に対応します。) 複素周波数で表された方程式は、複素周波数領域で簡単に解くことができ (複素周波数領域の多項式方程式の根は時間領域の固有値に対応します)、周波数領域で定式化された「解」が得られます。逆変換、つまり元のラプラス変換の逆手順を採用すると、時間領域の解が得られます。この例では、複素周波数領域の多項式（通常は分母に出現）は時間領域のべき級数に対応し、複素周波数領域の軸シフトは時間領域での指数関数の減衰による減衰に対応します。

ラプラス変換は物理学、特に電気工学で広く応用されています。電気工学では、複素周波数領域における電気回路の動作を記述する特性方程式が、時間領域における指数的にスケーリングされ、時間シフトされた減衰正弦波の線形結合に対応します。その他の積分変換は、他の科学および数学の分野で特に応用されています。

もう1つの使用例は、経路積分におけるカーネルです。

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.}$

これは、到達すべき全振幅は、点に到達するための全振幅のすべての可能な値の合計（積分）に、点から点への振幅を乗じたもの（すなわち）であることを示しています。^{[2]これは、特定のシステムの}プロパゲーター と呼ばれることがよくあります。この（物理学的）カーネルは、積分変換のカーネルです。ただし、量子システムごとに異なるカーネルが存在します。^[3]${\displaystyle \psi (x,t)}$${\displaystyle (x,t)}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \psi (x',t')}$${\displaystyle (x',t')}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K(x,t;x',t')}$

逆変換の積分限界では、c は変換関数の性質に依存する定数です。たとえば、片側および両側のラプラス変換の場合、c は変換関数のゼロの最大の実数部よりも大きくなければなりません。

フーリエ変換には代替の表記法と規則があることに注意してください。

ここで、積分変換は実数上の関数に対して定義されていますが、より一般的には群上の関数に対して定義できます。

• 代わりに円上の関数（周期関数）を使用する場合、積分カーネルは二重周期関数になります。円上の関数による畳み込みは円畳み込みになります。
• n次の巡回群（C _nまたはZ / n Z）上の関数を使用すると、積分カーネルとしてn × n行列が得られます。畳み込みは巡回行列に対応します。

積分変換の特性は多岐にわたりますが、共通する特性もいくつかあります。たとえば、積分は線形演算子であるため、すべての積分変換は線形演算子です。実際、カーネルが一般化関数であることが許される場合、すべての線形演算子は積分変換になります (このステートメントを適切に定式化したバージョンは、シュワルツカーネル定理です)。

このような積分方程式の一般理論はフレドホルム理論として知られています。この理論では、核は関数のバナッハ空間に作用するコンパクトな演算子であると理解されています。状況に応じて、核はフレドホルム演算子、核演算子、フレドホルム核などさまざまな名前で呼ばれます。

• AD ポリアニンと AV マンジロフ、積分方程式ハンドブック、CRC プレス、ボカラトン、1998 年。ISBN 0-8493-2876-4 
• RKM Thambynayagam、『拡散ハンドブック：エンジニアのための応用ソリューション』、McGraw-Hill、ニューヨーク、2011年。ISBN 978-0-07-175184-1 
• 「積分変換」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• EqWorld: 数学方程式の世界における積分変換の表。