反線形マップ

数学では、 2つの複素ベクトル空間間の関数は 、 すべてのベクトルとすべての複素数に対して成り立つ場合、 反線型または共役線型であると言われます。ここで、は${\displaystyle f:V\to W}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(x+y)&=f(x)+f(y)&&\qquad {\text{ (additivity) }}\\f(sx)&={\overline {s}}f(x)&&\qquad {\text{ (conjugate homogeneity) }}\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle x,y\in V}$ ${\displaystyle s,}$${\displaystyle {\overline {s}}}$${\displaystyle s.}$

反線型写像は、共役同次写像ではなく同次加法写像である線型写像とは対照的です。ベクトル空間が実数の場合、反線型性は線型性と同じです。

反線型写像は量子力学における時間反転の研究やスピノル計​​算で出現し、基底ベクトルや幾何学的オブジェクトの成分の上のバーをインデックスの上のドットに置き換えるのが通例となっている。スカラー値の反線型写像は、複素 内積やヒルベルト空間を扱うときによく出現する。

関数が加法的かつ共役同次である場合、その関数は反線型または共役線型と呼ばれます。ベクトル空間上の反線型関数は、スカラー値の反線型マップです。 ${\displaystyle V}$

関数が加法的であるとは、 の場合に加法的であるといい、共役同次であると は、 の場合に共役同次であるといいます。 対照的に、線型写像は加法的かつ同次である関数であり、が同次であるとは、 ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ for all vectors }}x,y}$$$${\displaystyle f(ax)={\overline {a}}f(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(ax)=af(x)\quad {\text{ for all vectors }}x{\text{ and all scalars }}a.}$$

反線型写像は、複素共役ベクトル空間からへの線型写像によって同等に記述することができる。${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:V\to {\overline {W}}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\overline {W}}.}$

階数1の複素ベクトル空間が与えられたとき、反線型双対写像を構成することができる。これは、の元をいくつかの固定された実数に写す反線型写像である。これを任意の有限次元複素ベクトル空間に拡張することができ、標準基底と各標準基底元を と書き表すと、への反線型複素写像はの形式になる。${\displaystyle V}$$${\displaystyle l:V\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle x_{1}+iy_{1}}$${\displaystyle x_{1},y_{1}\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle x_{1}+iy_{1}\mapsto a_{1}x_{1}-ib_{1}y_{1}}$$${\displaystyle a_{1},b_{1}.}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$$${\displaystyle e_{k}=x_{k}+iy_{k}}$$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle \sum _{k}x_{k}+iy_{k}\mapsto \sum _{k}a_{k}x_{k}-ib_{k}y_{k}}$$${\displaystyle a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} .}$

複素ベクトル空間の反線型双対^{[1] pg 36 は}、基礎となる実ベクトル空間の実双対と同型であるため、特別な例です。これは、反線型写像を に送る写像によって与えられます。反対方向には、実双対ベクトルを に送る逆写像があり、目的の写像が得られます。 ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\overline {\mathbb {C} }}(V,\mathbb {C} )}$$${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {R} }(V,\mathbb {R} ).}$$${\displaystyle \ell :V\to \mathbb {C} }$$$${\displaystyle \operatorname {Im} (\ell ):V\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle \lambda :V\to \mathbb {R} }$$$${\displaystyle \ell (v)=-\lambda (iv)+i\lambda (v)}$$

2 つの反線型写像の合成は線型写像です。半線型写像のクラスは反線型写像のクラスを一般化します。

ベクトル空間上のすべての反線型形式の成すベクトル空間は、の代数的反双対空間と呼ばれます。 が位相ベクトル空間である場合、によって表記される上のすべての連続反線型関数の成すベクトル空間は、連続反双対空間、または混乱が生じない場合は 単にの反双対空間と呼ばれます^{[2] 。}${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$${\displaystyle X}$

がノルム空間であるとき、 で表される（連続）反双対空間上の標準ノルムは、同じ式を使用して定義されます。^[2]${\displaystyle H}$${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$${\textstyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }},}$ $${\displaystyle \|f\|_{{\overline {X}}^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

^{この式は、[2]}で定義される連続双対空間上の双対ノルムの式と同一である。 ${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in X^{\prime }.}$$

双対と反双対の間の標準的な等長性

関数の複素共役は 、をに送ることで定義されます。これは、すべての およびすべての に対してを満たし ます。これは、によって定義される 標準的な反線型一対一変換とその逆が反線型等 長変換であり、したがって同相写像でもあることを正確に示しています。 ${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}$${\textstyle {\overline {f(x)}}.}$$${\displaystyle \|f\|_{X^{\prime }}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {X}}^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{X^{\prime }}~=~\|g\|_{{\overline {X}}^{\prime }}}$$${\displaystyle f\in X^{\prime }}$${\textstyle g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$${\displaystyle \operatorname {Cong} ~:~X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }\quad {\text{ where }}\quad \operatorname {Cong} (f):={\overline {f}}}$$${\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {X}}^{\prime }\to X^{\prime }}$

すると、この標準マップは恒等マップに簡約されます。 ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle X^{\prime }={\overline {X}}^{\prime }}$${\displaystyle \operatorname {Cong} :X^{\prime }\to {\overline {X}}^{\prime }}$

内積空間

が内積空間である場合、および 上の正準ノルムはともに平行四辺形法則を満たす。つまり、分極恒等式はおよび上の正準内積を定義するために使用できる。また、この記事では という表記で表す 。この内積はおよび をヒルベルト空間に 作る。内積とはその第 2 引数において反線型である。さらに、この内積によって誘導される正準ノルム (つまり によって定義されるノルム) は、双対ノルム (つまり、上で単位球上の上限によって定義される) と整合している。これは明示的に、任意の に対して以下が成立することを意味する。${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime },}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{X^{\prime }}\quad {\text{ and }}\quad \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}:=\langle g\mid f\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\overline {X}}^{\prime }}$${\textstyle \langle f,g\rangle _{X^{\prime }}}$${\textstyle \langle f,g\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}$${\textstyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{X^{\prime }}}}}$${\displaystyle f\in X^{\prime }:}$ $${\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in X}|f(x)|=\|f\|_{X^{\prime }}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{X^{\prime }}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{X^{\prime }}}}.}$$

が内積空間である場合、それぞれおよびで表される双対空間と反双対空間上の内積は、およびによって関連付けられる 。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\textstyle {\overline {X}}^{\prime },}$${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{X^{\prime }}}$${\textstyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }},}$$${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{X^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{X^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in X^{\prime }}$$$${\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{X^{\prime }}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {X}}^{\prime }}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {X}}^{\prime }.}$$

• コーシーの関数方程式 – 関数方程式
• 複素共役 – 複素数の基本演算
• 複素共役ベクトル空間 – 数学の概念Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ヒルベルト空間の基本定理
• 内積空間 – 内積の一般化。ヒルベルト空間の定義に使用される。
• 線形写像 – 線形代数における数学関数
• 行列の類似性
• リース表現定理 – ヒルベルト空間の双対に関する定理
• セスクイリニア形式 – 双線形形式の一般化
• 時間反転 – 物理学における時間反転対称性

• Budinich, P. および Trautman, A. The Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (反線型写像についてはセクション 3.3 で説明します)。 
• Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 . (反線型写像についてはセクション 4.6 で説明します)。 
• トレヴス、フランソワ(2006) [1967].位相ベクトル空間、分布、カーネル. ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.