直交補数

数学の分野である線型代数学と関数解析において、双線型形式を備えたベクトル空間の部分空間の直交補空間とは、 内のすべてのベクトルに対して直交する内のすべてのベクトルの集合である。非公式には、これは垂直補空間の略であるperpと呼ばれる。これは の部分空間である。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle W^{\perp}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$

を通常のドット積を備えたベクトル空間（したがって内積空間）とし、 を とすると 、その直交補空間は次の ように定義される。${\displaystyle V=(\mathbb {R} ^{5},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$$${\displaystyle W=\{\mathbf {u} \in V:\mathbf {A} x=\mathbf {u} ,\ x\in \mathbb {R} ^{2}\},}$$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&6\\3&9\\5&3\\\end{pmatrix}}.}$$$${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {u} \in W\}}$$$${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in V:\mathbf {\tilde {A}} y=\mathbf {v} ,\ y\in \mathbb {R} ^{3}\},}$$$${\displaystyle \mathbf {\tilde {A}} ={\begin{pmatrix}-2&-3&-5\\-6&-9&-3\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

のすべての列ベクトルが のすべての列ベクトルと直交するという事実は、直接計算によって確認できます。これらのベクトルのスパンが直交するという事実は、ドット積の双線性からわかります。最後に、これらの空間が直交補空間であるという事実は、以下に示す次元関係からわかります。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {\チルダ {A}} }$

を双線型形式を備えた体上のベクトル空間とする。がに対して左直交し、 が に対して右直交すると 定義する。の 部分集合に対して、左直交補集合をと定義する。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle B.}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0.}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V,}$${\displaystyle W^{\perp}}$$${\displaystyle W^{\perp }=\left\{\mathbf {x} \in V:B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\ \ \forall \ \mathbf {y} \右\右\}にあります。}$$

右直交補集合の対応する定義があります。となる反射双線型形式の場合、左補集合と右補集合は一致します。が対称形式または交代形式の場合、これが当てはまります。 ${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\implies B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0\ \ \forall \ \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$${\displaystyle B}$

定義は可換環上の自由加群上の双線型形式に拡張され、共役を伴う可換環上の任意の自由加群を含むように拡張されたセスクイライン型形式にも拡張される。^[1]

• 直交補空間は の部分空間です。${\displaystyle V}$
• もしそうなら;${\displaystyle X\subseteq Y}$${\displaystyle X^{\perp }\supseteq Y^{\perp }}$
• の根号は すべての直交補空間の部分空間です。${\displaystyle V^{\perp}}$${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle W\subseteq (W^{\perp })^{\perp }}$;
• が非退化で有限次元の場合、 となります。${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \dim(W)+\dim(W^{\perp })=\dim(V)}$
• が有限次元空間の部分空間である場合、となります。${\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{r}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L_{*}=L_{1}\cap \cdots \cap L_{r},}$${\displaystyle L_{*}^{\perp }=L_{1}^{\perp }+\cdots +L_{r}^{\perp }}$

このセクションでは内積空間 における直交補集合について考察する。^[2]${\displaystyle H}$

2つのベクトルと は、のとき直交していると呼ばれ、これはスカラーのときのみ成立します。^[3]${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +s\mathbf {y} \|\ \forall }$${\displaystyle s}$

が内積空間の任意の部分集合である場合、その${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$の直交補集合は、${\displaystyle H}$^[3][証明1] の閉部分集合（したがって、閉ベクトル部分空間）であるベクトル部分空間であり 、次を満たす。 $${\displaystyle {\begin{aligned}C^{\perp }:&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {x} ,\mathbf {c} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\\&=\{\mathbf {x} \in H:\langle \mathbf {c} ,\mathbf {x} \rangle =0\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\}\end{aligned}}}$$${\displaystyle H}$

• ${\displaystyle C^{\bot }=\left(\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\right)^{\bot }}$;
• ${\displaystyle C^{\bot }\cap \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}}$;
• ${\displaystyle C^{\bot }\cap \left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}}$;
• ${\displaystyle C\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }}$;
• ${\displaystyle \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }}$。

が内積空間のベクトル部分空間である場合、 がヒルベルト空間の閉ベクトル部分空間である 場合、^[3 ] は${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$$${\displaystyle C^{\bot }=\left\{\mathbf {x} \in H:\|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} +\mathbf {c} \|\ \ \forall \ \mathbf {c} \in C\right\}.}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }\qquad {\text{ and }}\qquad \left(C^{\bot }\right)^{\bot }=C}$$${\displaystyle H=C\oplus C^{\bot }}$をとに直交分解すると、が補空間を持つ補空間であることがわかる。${\displaystyle H}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{\bot }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle H}$${\displaystyle C^{\bot }.}$

計量位相では、直交補集合は常に閉じている。有限次元空間では、これは単にベクトル空間のすべての部分空間が閉じているという事実の一例にすぎない。無限次元ヒルベルト空間では、一部の部分空間は閉じていないが、すべての直交補集合は閉じている。 が内積空間のベクトル部分空間である場合、の直交補集合の直交補集合はの閉包、つまり、 ${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W,}$$${\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }={\overline {W}}.}$$

常に成り立つその他の有用な特性は次のとおりです。をヒルベルト空間とし、と を線型部分空間とします。すると、 次のようになります。${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

• ${\displaystyle X^{\bot }={\overline {X}}^{\bot }}$;
• もしそうなら;${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle X^{\bot }\subseteq Y^{\bot }}$
• ${\displaystyle X\cap X^{\bot }=\{0\}}$;
• ${\displaystyle X\subseteq (X^{\bot })^{\bot }}$;
• が の閉線形部分空間である場合、である。${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle (X^{\bot })^{\bot }=X}$
• が の閉線形部分空間である場合、（内部）直和 です。${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H=X\oplus X^{\bot },}$

直交補集合は消滅集合に一般化され、内積空間のサブセット上にガロア接続を与え、関連する閉包演算子はスパンの位相閉包となる。

次元の有限次元内積空間の場合、 - 次元部分空間の直交補空間は- 次元部分空間であり、二重直交補空間は元の部分空間である。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (n-k)}$$${\displaystyle \left(W^{\bot }\right)^{\bot }=W.}$$

、、、がそれぞれの行空間、列空間、零空間を指す場合、^[4]${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {M} _{mn}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(\mathbf {A} )}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {A} )}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mathbf {A} )}$${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \left({\mathcal {R}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} )\qquad {\text{ and }}\qquad \left({\mathcal {C}}(\mathbf {A} )\right)^{\bot }={\mathcal {N}}(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }).}$$

この概念の自然な類似は、一般のバナッハ空間にも存在する。この場合、直交補空間を、消滅空間と同様に定義される双対空間の部分空間として定義する。${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$ $${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\right\}.}$$

は常に の閉部分空間です。二重補空間の性質に類似したものも存在します。は の部分空間になります( と同一ではありません)。しかし、反射空間はと の間に自然な同型性を持ちます。この場合、${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle W^{\perp \perp }}$${\displaystyle V^{**}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{**}}$$${\displaystyle i{\overline {W}}=W^{\perp \perp }.}$$

これはハーン・バナッハの定理のかなり直接的な帰結です。

特殊相対論では、直交補関数は世界線の一点での同時超平面を決定するために使用される。ミンコフスキー空間で使用される双線型形式は、イベントの擬ユークリッド空間を決定する。^[5]原点と光円錐上のすべてのイベントは自己直交している。時間イベントと空間イベントが双線型形式でゼロに評価される場合、それらは双曲直交である。この用語は、擬ユークリッド平面での共役双曲線の使用に由来しており、これらの双曲線の共役直径は双曲直交である。 ${\displaystyle \eta }$

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• アドキンス、ウィリアム A.; ワイントラウブ、スティーブン H. (1992)、「代数：モジュール理論によるアプローチ」、Graduate Texts in Mathematics、vol. 136、Springer-Verlag、ISBN 3-540-97839-9、ZBL  0768.00003
• ハルモス、ポール・R.（1974）、有限次元ベクトル空間、Undergraduate Texts in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90093-3、ZBL  0288.15002
• ミルナー、Ｊ． Husemoller, D. (1973)、Symmetric Bilinear Forms、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、vol. 73、シュプリンガー・フェルラーグ、ISBN 3-540-06009-X、ZBL  0292.10016
• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.

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