Loading article…
物理システムの位相空間とは、与えられたパラメータ化によって記述されたシステムのすべての可能な物理状態の集合です。各可能な状態は、位相空間内の点に一意に対応します。機械システムの場合、位相空間は通常、位置パラメータと運動量パラメータのすべての可能な値で構成されます。これは、実空間と逆空間の直積です。位相空間の概念は、19 世紀後半にルートヴィヒ・ボルツマン、アンリ・ポアンカレ、ジョサイア・ウィラード・ギブスによって開発されました。[ 1 ]
位相空間では、システムの自由度またはパラメータはすべて多次元空間の軸として表されます。1次元システムは位相線、2次元システムは位相平面と呼ばれます。システムの可能なすべての状態、またはシステムのパラメータの許容される値の組み合わせごとに、多次元空間に点が含まれます。システムの時間経過に伴う状態変化は、高次元空間を通る経路（システムの位相空間軌跡）を描きます。位相空間軌跡は、任意の初期条件から開始できる状態の集合を表す完全な位相空間内に位置する、特定の初期条件から開始できる状態の集合を表します。全体として、位相図はシステムが取り得るすべての状態を表し、その形状は、そうでなければ明らかにならないかもしれないシステムの特性を容易に解明することができます。位相空間は、非常に多くの次元を含む場合があります。例えば、多数の分子を含む気体の場合、各粒子のx、y、z座標と運動量に対してそれぞれ別の次元が必要になる場合があります (理想化された単原子気体の場合は 6 次元)。また、より複雑な分子系では、分子結合の振動モードや 3 軸周りの回転を記述するために追加の次元が必要になります。位相空間は、回転軸や並進軸の周りや軸に沿った運動に制限された機械システムの挙動を分析する場合に使いやすくなっています。例えば、ロボット工学では、ロボットアームの可動範囲を分析したり、特定の位置/運動量の結果を得るための最適な経路を決定したりする場合などです。
古典力学では、位置に対する一般化座標q i (すなわち、構成空間上の座標)の選択によって、共役な一般化運動量p iが定義され、これらが相空間上の座標を定義します。より抽象的に言えば、古典力学における相空間は構成空間の余接束であり、この解釈では、上記の手順は、構成空間上の局所座標の選択が、余接空間上の標準的なシンプレクティック構造に対する自然な局所ダルブー座標の選択を誘導することを表していると言えます。
この空間におけるシステム群の運動は、古典統計力学によって研究される。このようなシステムにおける点の局所密度はリウヴィルの定理に従うため、定数とみなすことができる。古典力学におけるモデルシステムの文脈では、任意の時点におけるシステムの位相空間座標は、システムのすべての動的変数から構成される。このため、ハミルトンの運動方程式またはラグランジュの運動方程式を積分することにより、未来または過去の任意の時点におけるシステムの状態を計算することが可能となる。
単純なシステムの場合、自由度は1つまたは2つしかない場合があります。自由度が1つというのは、1つの変数に関する自律的な常微分方程式がある場合です。その結果得られる一次元システムは位相線と呼ばれ、システムの定性的な挙動は位相線からすぐに把握できる。最も単純な非自明な例としては、指数関数的成長／減衰モデル（不安定／安定な平衡点が1つ）とロジスティック成長モデル（安定平衡点と不安定平衡点がそれぞれ1つずつ）が挙げられる。
二次元系の位相空間は位相平面と呼ばれ、古典力学では一次元運動する単一粒子の場合に現れ、その2つの変数は位置と速度です。この場合、位相平面の概略図は、図に示されているファンデルポール振動子のリミットサイクルなど、系のダイナミクスに関する定性的な情報を提供することができます。
ここでは、横軸が位置、縦軸が速度を表します。システムが変化するにつれて、その状態は位相図上のいずれかの線（軌跡）に沿って変化します。
位置と運動量の変数を時間の関数としてプロットしたものは、位相図または位相プロットと呼ばれることがあります。ただし、後者の「位相図」という表現は、物理科学において、圧力、温度、組成からなる化学系の熱力学的相のさまざまな安定領域を示す図を指す場合によく用いられます。
数学において、位相図とは、位相平面における力学系の軌道を幾何学的に表現したものである。各初期条件は、それぞれ異なる点または曲線で表される。
位相図は、力学系の研究において非常に貴重なツールです。位相図は、位相空間における典型的な軌跡のプロットで構成されます。これにより、選択したパラメータ値に対してアトラクター、リペラー、またはリミットサイクルが存在するかどうかなどの情報が明らかになります。位相等価性の概念は、2つの異なる位相図が同じ定性的な動的挙動を表す場合を特定することにより、システムの挙動を分類する上で重要です。アトラクターは安定点であり、「シンク」とも呼ばれます。リペラーは不安定点と考えられ、「ソース」とも呼ばれます。
力学系の位相空間図は、位相空間における系の軌跡（矢印）、安定定常状態（点）、不安定定常状態（円）を表します。軸は状態変数です。
古典統計力学（連続エネルギー）では、位相空間の概念は、位相積分として知られる分配関数（状態の総和）の古典的な類似物を提供する。[ 2 ]ボルツマン因子を離散的に間隔を置いたエネルギー状態（各自由度に対して適切な整数量子数で定義される）にわたって総和する代わりに、連続位相空間にわたって積分することができる。このような積分は、本質的に2つの部分から構成される。すなわち、すべての自由度の運動量成分（運動量空間）の積分と、すべての自由度の位置成分（配置空間）の積分である。位相積分がわかれば、単位位相空間あたりの量子エネルギー状態の数を表す正規化定数を乗じることで、古典的な分配関数と関連付けることができる。この正規化定数は、単にプランク定数の逆数をシステムの自由度の数に等しいべき乗した値である。[ 3 ]
カオス理論における位相図の典型的な例は以下のとおりです。
量子力学では、位相空間の座標pとq は通常、ヒルベルト空間のエルミート演算子になります。
しかし、関数が新しい代数的な方法で合成される限り（グローネウォルドの1946年のスター積を通して）、古典的な解釈を維持することもできる。これは量子力学の不確定性原理と一致する。すべての量子力学的観測量は位相空間上の一意の関数または分布に対応し、逆に、ヘルマン・ワイル（1927年）によって規定され、ジョン・フォン・ノイマン（1931年）、ユージン・ウィグナー（1932年）、そしてH.J. グロー ネウォルド（1946年）によって補完されたように、位相空間上の一意の関数または分布に対応する。J.E.モヤル（1949 年）とともに、これらは量子力学の位相空間定式化の基礎を完成させ、量子力学の完全かつ論理的に自律的な再定式化となった。[ 4 ]（その現代的な抽象化には、変形量子化と幾何学的量子化が含まれる。）
位相空間量子化における期待値は、ヒルベルト空間の密度行列を用いたトレース演算子観測量と同型的に得られる。すなわち、観測量の位相空間積分によって得られ、ウィグナー準確率分布が実質的に尺度として機能する。
このように、量子力学を位相空間（古典力学と同じ領域）で表現することで、ワイル写像は量子力学を古典力学の変形（一般化）として認識することを容易にする。変形パラメータはħ / Sであり、Sは関連するプロセスの作用である。（物理学における他のよく知られた変形としては、変形パラメータv / cを用いた古典ニュートン力学から相対論的力学への変形、あるいは変形パラメータシュワルツシルト半径/特性次元を用いたニュートン重力から一般相対性理論への変形などがある。）
古典的な表現、観測量、演算（ポアソン括弧など）は、 ħに依存する量子補正によって修正されます。これは、古典力学で適用される従来の可換乗算が、量子力学を特徴づけ、その不確定性原理の根底にある非可換スター乗算に一般化されるためです。
熱力学および統計力学の文脈では、「位相空間」という用語は2つの意味を持ちます。1つは、古典力学と同じ意味で使用されます。熱力学系がN個の粒子から構成されている場合、 6N次元位相空間内の1点は、その系内のすべての粒子の動的状態を表します。各粒子は3つの位置変数と3つの運動量変数に関連付けられているためです。この意味で、粒子が区別可能である限り、位相空間内の1点は系のミクロ状態であると言われます。（区別不可能な粒子の場合、ミクロ状態はN個の粒子のすべての可能な交換に対応するN !個の点の集合で構成されます。）Nは通常アボガドロ数程度であるため、ミクロレベルで系を記述することはしばしば非現実的です。これが、位相空間を別の意味で使用することにつながります。
位相空間は、圧力や温度など、システムの巨視的な状態によってパラメータ化される空間を指す場合もあります。例えば、圧力-体積図や温度-エントロピー図は、この位相空間の一部を表していると考えることができます。この位相空間内の点は、対応する巨視的状態と呼ばれます。同じ巨視的状態に対して、複数の微視的状態が存在することも容易にあり得ます。例えば、一定の温度であっても、システムは微視的レベルで多くの動的な構成をとる可能性があります。この意味では、位相とは、例えば液相や固相など、問題のシステムが置かれている位相空間の領域を指します。
ミクロ状態はマクロ状態よりもはるかに多いため、前者の意味での位相空間は通常、後者の意味での場合よりもはるかに大きな次元を持つ多様体となる。明らかに、システムの温度や圧力といった単純な値を指定するよりも、分子レベルや原子レベルに至るまでシステムのあらゆる詳細を把握するには、はるかに多くのパラメータが必要となる。
位相空間は、照明に特化した光学の分野である非結像光学で広く使用されています[ 5 ]。また、ハミルトン光学においても重要な概念です。
