特定の種類の代数構造
数学 、特に 関数解析学 において 、 シュテファン・バナッハ にちなんで名付けられた バナッハ代数は、 実数 または 複素数 上 （または 非アルキメデス 完備 ノルム体上）の 結合代数 であり 、同時に バナッハ空間 、つまりノルムによって誘導される 計量 において 完備 な ノルム空間 でもある。ノルムは、
あ
{\displaystyle A}
‖ x ええ ‖
≤ ‖ x ‖ ‖ ええ ‖
全ての
x 、 ええ ∈ あ 。
{\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad {\text{ A 内のすべての }}x,y\ について}
これにより、乗算演算が メトリック トポロジに関して
連続的であることが保証されます。
バナッハ代数は、 ノルムが である乗法の 単位元 を持つ場合 、 単位元 と呼ばれます 。 また、 乗法が 可換 である場合、可換 と呼ばれます。任意のバナッハ代数(単位元であるかどうかに関係なく)は、 単位元バナッハ代数に 等長的に 埋め込むことができ、の 閉じた イデアル を形成できます。多くの場合、検討中の代数は単位元であると 事前に 想定されます。これは、元の代数で結果を検討して適用することで、理論の多くを展開できるためです 。ただし、常にそうであるとは限りません。たとえば、バナッハ代数のすべての 三角関数を 単位元なしで定義することはできません。
1 、
{\displaystyle 1,}
あ
{\displaystyle A}
あ
e
{\displaystyle A_{e}}
あ
e
{\displaystyle A_{e}}
あ
e
{\displaystyle A_{e}}
実バナッハ代数の理論は、複素バナッハ代数の理論とは大きく異なる場合があります。たとえば、非自明な複素バナッハ代数の要素の スペクトルが 空になることは決してありませんが、実バナッハ代数では一部の要素が空になることがあります。
バナッハ代数は - 進数の体上でも定義できます。これは - 進解析 の一部です 。
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
例 バナッハ代数の典型的な例は であり、これは 局所コンパクト ハウスドルフ空間 上で定義され、 無限大 で消える (複素数値) 連続関数の空間です 。が単位関数となるのは、 が コンパクトで ある場合に限ります 。 複素共役 は 反転 であるため 、 実際には C*-代数 です。より一般的には、すべての C*-代数は定義によりバナッハ代数です。
Ｃ
0
（ バツ ）
{\displaystyle C_{0}(X)}
バツ
{\displaystyle X}
Ｃ
0
（ バツ ）
{\displaystyle C_{0}(X)}
バツ
{\displaystyle X}
Ｃ
0
（ バツ ）
{\displaystyle C_{0}(X)}
実数（または複素数）の集合は、 絶対値 によって与えられるノルムを持つバナッハ代数です。 すべての実数または複素数- 行 - 列行列 の集合は 、それに部分乗法 行列ノルムを装備すると、 単位 バナッハ代数になります 。
ん
{\displaystyle n}
ん
{\displaystyle n}
ノルムを持つ バナッハ空間 （または）を取り 、成分ごとに乗算を定義します。
R
ん
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
Ｃ
ん
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
‖ x ‖ =
最大
|
x
私
|
{\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|}
(
x
1
,
…
,
x
n
)
(
y
1
,
…
,
y
n
)
=
(
x
1
y
1
,
…
,
x
n
y
n
)
.
{\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).}
四元 数は 4 次元の実バナッハ代数を形成し、ノルムは四元数の絶対値によって与えられます。 ある集合（点ごとの乗算と上限 ノルムを持つ）上で定義されたすべての有界実数値関数または複素数値関数の代数は、 単位バナッハ代数です。 ある局所コンパクト空間上のすべての有界 連続 実数値または複素数値関数 の代数 （これも点ごとの演算と上限ノルムを含む）はバナッハ代数です。 バナッハ空間上の 連続 線型 作用素の全体 （関数合成を乗算、 作用素ノルム をノルムとする）は単位バナッハ代数である。上の コンパクト作用素 の全体は バナッハ代数であり、閉じたイデアルである。 [1]
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
dim
E
=
∞
.
{\displaystyle \dim E=\infty .}
が局所コンパクト ハウス ドルフ位相群 であり 、が その ハール測度 である場合、 上のすべての -積分可能関数 の バナッハ空間は、 畳み込み の 下でバナッハ代数になる [2]
G
{\displaystyle G}
μ
{\displaystyle \mu }
L
1
(
G
)
{\displaystyle L^{1}(G)}
μ
{\displaystyle \mu }
G
{\displaystyle G}
x
y
(
g
)
=
∫
x
(
h
)
y
(
h
−
1
g
)
d
μ
(
h
)
{\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h)}
x
,
y
∈
L
1
(
G
)
.
{\displaystyle x,y\in L^{1}(G).}
均一代数 : 上限ノルムを持つ複素代数の部分代数であり、定数を含み、 (コンパクトなハウスドルフ空間でなければならない) の点を分離するバナッハ代数。
C
(
X
)
{\displaystyle C(X)}
X
{\displaystyle X}
自然バナッハ関数代数 ：すべての特徴が点における評価である一様代数。
X
.
{\displaystyle X.}
C*-代数: ある ヒルベルト空間 上の有界作用素の代数の閉じた*-部分代数であるバナッハ代数 。 測度代数 :ある 局所コンパクト群上のすべての ラドン測度 からなるバナッハ代数 。2つの測度の積は 測度の畳み込み によって与えられる。 [2] 四元数 の代数は 実バナッハ代数ですが、四元数の中心が実数であり、実数に複素数のコピーを含めることができないという単純な理由により、複素代数ではありません (したがって、複素バナッハ代数でもありません)。
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
アフィノイド 代数は、 非アルキメデス体上のある種のバナッハ代数です。アフィノイド代数は、 剛性解析幾何学 の基本的な構成要素です。
プロパティ べき級数 によって定義される いくつかの 基本関数は 、任意の単位バナッハ代数で定義できます。例としては、 指数関数 や 三角関数 、より一般的には任意の 整関数などがあります。(特に、指数写像は 抽象指数群 を 定義するために使用できます。) 等比級数 の式は、 一般的な単位バナッハ代数でも有効です。 二項定理は、 バナッハ代数の 2 つの可換な要素に対しても成り立ちます。
任意の単位バナッハ代数における 可逆な元 の集合は 開集合 であり、この集合上の反転演算は連続的（したがって同相）であるため、乗法に関して 位相群を 形成する。 [3]
バナッハ代数が単位を持つ場合 、 は 交換子 にはなり得ない 。つまり、任意 の に対してとなる。 これは、 と が、 可能性を除いて 同じ スペクトル を持つためである。
1
,
{\displaystyle \mathbf {1} ,}
1
{\displaystyle \mathbf {1} }
x
y
−
y
x
≠
1
{\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} }
x
,
y
∈
A
.
{\displaystyle x,y\in A.}
x
y
{\displaystyle xy}
y
x
{\displaystyle yx}
0.
{\displaystyle 0.}
上記の例で示したさまざまな関数の代数は、実数などの標準的な代数の例とは非常に異なる特性を持っています。たとえば、
除算代数 であるすべての実バナッハ代数は、実数、複素数、または四元数と同型です。したがって、除算代数である唯一の複素バナッハ代数は複素数です。(これは ゲルファント・マズールの定理 として知られています 。) 零因子 を持たず、すべての 主イデアルが 閉じている すべて の単位実バナッハ代数は、 実数、複素数、または四元数と同型である。 [4] 零因子を持たないすべての可換実単位 ネーター バナッハ代数は、実数または複素数と同型です。 すべての可換な実単位ネーターバナッハ代数（ゼロ因子を持つ可能性あり）は有限次元です。 バナッハ代数の永久特異元は ゼロの位相因子 である。つまり、 バナッハ代数の拡大を考慮すると 、与えられた代数で特異ないくつかの元は、 バナッハ代数拡大で逆元を持つ。 のゼロの位相因子は、の任意の バナッハ拡大で永久に特異である 。
B
{\displaystyle B}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
B
.
{\displaystyle B.}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
A
.
{\displaystyle A.}
スペクトル理論 複素体上の単位バナッハ代数は、スペクトル理論を展開するための一般的な設定を提供します。 で表される 要素の スペクトルは 、が で逆でない すべての複素 スカラー で構成されます。任意の 要素のスペクトルは、 の 半径 と中心を 持つ の閉円の閉部分集合である ため、 コンパクト です。さらに、要素の スペクトルは空で は なく、 スペクトル半径 の公式を満たします 。
x
∈
A
,
{\displaystyle x\in A,}
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (x)}
λ
{\displaystyle \lambda }
x
−
λ
1
{\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} }
A
.
{\displaystyle A.}
x
{\displaystyle x}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
‖
x
‖
{\displaystyle \|x\|}
0
,
{\displaystyle 0,}
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (x)}
x
{\displaystyle x}
sup
{
|
λ
|
:
λ
∈
σ
(
x
)
}
=
lim
n
→
∞
‖
x
n
‖
1
/
n
.
{\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}
正則 関数計算 により、 近傍の任意の 関数に対して 正則関数 を定義することができる 。さらに、スペクトル写像定理が成り立つ： [5]
x
∈
A
,
{\displaystyle x\in A,}
f
(
x
)
∈
A
{\displaystyle f(x)\in A}
f
{\displaystyle f}
σ
(
x
)
.
{\displaystyle \sigma (x).}
σ
(
f
(
x
)
)
=
f
(
σ
(
x
)
)
.
{\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).}
バナッハ代数が 複素バナッハ空間上の有界線型作用素の 代数である場合 （例えば、正方行列の代数）、 におけるスペクトルの概念は、 作用素理論 における通常のスペクトルの概念と一致する。 （コンパクトなハウスドルフ空間） の場合 、次の式が成り立つことがわかる。
A
{\displaystyle A}
L
(
X
)
{\displaystyle L(X)}
X
{\displaystyle X}
A
{\displaystyle A}
f
∈
C
(
X
)
{\displaystyle f\in C(X)}
X
{\displaystyle X}
σ
(
f
)
=
{
f
(
t
)
:
t
∈
X
}
.
{\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.}
C* 代数の正規元のノルムは、 そのスペクトル半径と一致します。これは、正規演算子に対しても同様の事実を一般化します。
x
{\displaystyle x}
を、すべての非ゼロ元が 可逆な複素単位バナッハ代数 (除算代数)と します。任意の に対して、可逆でない が
存在する ( のスペクトルが 空でないため) ため、 この代数は 自然に と同型です (ゲルファント・マズールの定理の複素ケース)。
A
{\displaystyle A}
x
{\displaystyle x}
a
∈
A
,
{\displaystyle a\in A,}
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
a
−
λ
1
{\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} }
a
{\displaystyle a}
a
=
λ
1
:
{\displaystyle a=\lambda \mathbf {1} :}
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
理想と性格 を 上の単位 可換 バナッハ代数と します 。 は を持つ可換環なので、 のすべての非可逆元は の 何らかの 極大 イデアル に属します。 内の 極大イデアルは 閉じているので、 は体であるバナッハ代数であり、ゲルファント・マズールの定理から、 のすべての極大イデアルの集合と から へ のすべての非ゼロ準同型 集合の間には一対一が存在することが分かります。 集合はの 「 構造空間 」または「指標空間」と呼ばれ 、その要素は「指標」と呼ばれます。
A
{\displaystyle A}
C
.
{\displaystyle \mathbb {C} .}
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
A
.
{\displaystyle A.}
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
A
{\displaystyle A}
A
/
m
{\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}
A
{\displaystyle A}
Δ
(
A
)
{\displaystyle \Delta (A)}
A
{\displaystyle A}
C
.
{\displaystyle \mathbb {C} .}
Δ
(
A
)
{\displaystyle \Delta (A)}
A
,
{\displaystyle A,}
キャラクタ は、 上の線型汎関数 であり、同時に乗法的であり 、 を満たします 。キャラクタの核は最大イデアルであり、閉じているため、すべてのキャラクタは から まで自動的に連続です。さらに、キャラクタのノルム（つまり、演算子ノルム）は 1 です。 上の点ごとの収束の位相（つまり、 の弱*位相によって誘導される位相）を備えた キャラクタ 空間 は 、 ハウスドルフコンパクト空間です。
χ
{\displaystyle \chi }
A
{\displaystyle A}
χ
(
a
b
)
=
χ
(
a
)
χ
(
b
)
,
{\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b),}
χ
(
1
)
=
1.
{\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1.}
A
{\displaystyle A}
C
,
{\displaystyle \mathbb {C} ,}
A
{\displaystyle A}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
Δ
(
A
)
,
{\displaystyle \Delta (A),}
任意の に対して、 のゲルファンド表現は 次 の ように定義されます。
は から への連続関数で、 によって 与えられます 。 上記の式の のスペクトルは、 コンパクト 空間上の複素連続関数の代数の要素としてのスペクトルです 。 明示的には、
x
∈
A
,
{\displaystyle x\in A,}
σ
(
x
)
=
σ
(
x
^
)
{\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
x
{\displaystyle x}
x
^
{\displaystyle {\hat {x}}}
Δ
(
A
)
{\displaystyle \Delta (A)}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
x
^
(
χ
)
=
χ
(
x
)
.
{\displaystyle {\hat {x}}(\chi )=\chi (x).}
x
^
,
{\displaystyle {\hat {x}},}
C
(
Δ
(
A
)
)
{\displaystyle C(\Delta (A))}
Δ
(
A
)
.
{\displaystyle \Delta (A).}
σ
(
x
^
)
=
{
χ
(
x
)
:
χ
∈
Δ
(
A
)
}
.
{\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.}
代数として、単位可換バナッハ代数は 半単純 （つまり、その ヤコブソン根号 がゼロ）であるためには、そのゲルファンド表現が自明な核を持つ必要がある。そのような代数の重要な例として、可換C*-代数が挙げられる。実際、が可換単位C*-代数であるとき、ゲルファンド表現は、 と [a] の間の等長*-同型となる。
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
C
(
Δ
(
A
)
)
.
{\displaystyle C(\Delta (A)).}
バナッハ*-代数 バナッハ*-代数は、 複素数 体上のバナッハ代数であり、 次の特性を持つ
写像を持ちます。
A
{\displaystyle A}
∗
:
A
→
A
{\displaystyle {}^{*}:A\to A}
(
x
∗
)
∗
=
x
{\displaystyle \left(x^{*}\right)^{*}=x}
すべてに対して (したがって、マップは 反転 です)。
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
(
x
+
y
)
∗
=
x
∗
+
y
∗
{\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}
全ての
x
,
y
∈
A
.
{\displaystyle x,y\in A.}
(
λ
x
)
∗
=
λ
¯
x
∗
{\displaystyle (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}}
ここで、 すべて の および は、 複素共役 を表す 。
λ
∈
C
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }
x
∈
A
;
{\displaystyle x\in A;}
λ
¯
{\displaystyle {\bar {\lambda }}}
λ
.
{\displaystyle \lambda .}
(
x
y
)
∗
=
y
∗
x
∗
{\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}
全ての
x
,
y
∈
A
.
{\displaystyle x,y\in A.}
言い換えれば、バナッハ *-代数は、 上のバナッハ代数であり、これもまた *-代数 です 。
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
ほとんどの自然な例では、反転は 等長で あることもわかります。つまり、
一部の著者は、この等長特性をバナッハ*-代数の定義に含めています。
‖
x
∗
‖
=
‖
x
‖
for all
x
∈
A
.
{\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.}
を満たすバナッハ*-代数は C*-代数 です 。
‖
x
∗
x
‖
=
‖
x
∗
‖
‖
x
‖
{\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|}
参照 近似恒等元 - 恒等元の代わりになるノルム代数におけるネット Pages displaying wikidata descriptions as a fallback カプランスキーの予想 – 数学者アーヴィング・カプランスキーによる数多くの予想 Pages displaying short descriptions of redirect targets 作用素代数 – 関数解析の分野 シロフ境界
注記
^ 証明: 可換 C*-代数のすべての要素は正規なので、ゲルファント表現は等長です。特に、ゲルファント表現は単射であり、その像は閉じています。しかし、 ストーン-ワイエルシュトラス の定理により、ゲルファント表現の像は稠密です。
参考文献
^ Conway 1990、例VII.1.8。 ^ ab Conway 1990、例VII.1.9。 ^ Conway 1990、定理VII.2.2。 ^ García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez (1995). 「ゲルファント・マズール・カプランスキー定理の新しい簡単な証明」. Proceedings of the American Mathematical Society . 123 (9): 2663–2666. doi :10.2307/2160559. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160559. ^ 竹崎 1979、命題 2.8.
Bollobás, B (1990). 線型解析 . ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-38729-9 。 Bonsall, FF ; Duncan, J. (1973). Complete Normed Algebras . ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2 。 コンウェイ、JB (1990)。 関数解析コース 。 数学大学院テキスト。第96巻 。Springer Verlag。ISBN 0-387-97245-5 。 Dales, HG; Aeina, P.; Eschmeier, J; Laursen, K.; Willis, GA (2003). バナッハ代数、演算子、調和解析入門 . ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/CBO9780511615429. ISBN 0-521-53584-0 。 モサック、RD (1975)。 バナッハ代数。シカゴ数学 講義 。シカゴ大学出版局。ISBN 0-226-54203-3 。 竹崎正之 (1979)。 作用素環論 I 。数学百科事典。第 124 巻 (第 1 版)。ベルリン ハイデルベルク: Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-42248-8 . ISSN 0938-0396.
