カーネル（代数学）

グループとは集合のことである${\displaystyle G}$二項演算${\displaystyle \cdot }$すべての${\displaystyle a,b,c\in G}$: ^{[ 7 ]}

1. 連想的：${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
2. アイデンティティ：${\displaystyle e\in G}$そのため${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$
3. 逆:${\displaystyle a'\in G}$各${\displaystyle a\in G}$そのため${\displaystyle a\cdot a'=a'\cdot a=e}$

群が以下の条件も満たす場合、アーベル群とも呼ばれる。${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$[ ^{7 ]​}

させて${\displaystyle G}$そして${\displaystyle H}$群である。群準同型は${\displaystyle G}$に${\displaystyle H}$関数です${\displaystyle f:G\to H}$そのため${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$すべての人々のために${\displaystyle a,b\in G}$[ ^{8 ]}（簡略化のため、演算記号^は${\displaystyle \cdot }$（省略されています。）${\displaystyle e_{H}}$アイデンティティ要素である${\displaystyle H}$すると、​${\displaystyle f}$は、単一集合の逆像である。${\displaystyle \{e_{H}\}}$;つまり、${\displaystyle G}$それらの要素すべてから構成される${\displaystyle G}$マッピングされたもの${\displaystyle f}$要素へ${\displaystyle e_{H}}$[ ^{2 ] [ 9 ]​}

カーネルは通常、${\displaystyle \ker {f}}$（またはその変形）。^{[ 2 ]}記号で表すと：

${\displaystyle \ker f=\{g\in G:f(g)=e_{H}\}.}$

群準同型は恒等要素を保存するので、恒等要素${\displaystyle e_{G}}$の${\displaystyle G}$核に属していなければならない。^{[ 2 ]}準同型${\displaystyle f}$は、その核が単一集合のみである場合に限り単射である。${\displaystyle \{e_{G}\}}$[ ^{10 ]​}

${\displaystyle \ker {f}}$は、​${\displaystyle G}$さらに、それは正規部分群である。したがって、対応する商群が存在する。${\displaystyle G/\ker {f}}$これは以下と同型です${\displaystyle f(G)}$、イメージ${\displaystyle G}$下${\displaystyle f}$（これは、${\displaystyle H}$また、群の第一同型定理によっても示される。^{[ 4 ]}

同一性（または単位性）を持つ環は、${\displaystyle R}$2つの二項演算${\displaystyle +}$そして${\displaystyle \cdot }$満足: ^{[ 11 ] [ 12 ]}

1. ${\displaystyle R}$と${\displaystyle +}$は単位元を持つアーベル群である${\displaystyle 0}$。
2. 乗算${\displaystyle \cdot }$結合的である。
3. 分配法則：${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$そして${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$すべての人々のために${\displaystyle a,b,c\in R}$
4. 乗算${\displaystyle \cdot }$アイデンティティ要素を持つ${\displaystyle 1}$[ ^{a ]​}

環は、乗法が可換である場合に可換であり、そのような環は、すべての乗法が可換である場合に体である。${\displaystyle 0\neq a\in R}$乗法逆元を持つ、つまり、${\displaystyle b\in R}$どこ${\displaystyle ab=1}$[ ^{12 ]​}​${\displaystyle R}$そして${\displaystyle S}$環である。${\displaystyle R}$に${\displaystyle S}$関数です${\displaystyle f:R\to S}$全ての人にとって満足のいくもの${\displaystyle a,b\in R}$: ^{[ 13 ]}

1. ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$
2. ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$

核​​${\displaystyle f}$は加法群としての核である。^{[ 14 ]}これは零イデアルの逆像である。${\displaystyle \{0_{S}\}}$つまり、${\displaystyle R}$それらの要素すべてから構成される${\displaystyle R}$マッピングされたもの${\displaystyle f}$要素へ${\displaystyle 0_{S}}$カーネルは通常、${\displaystyle \ker {f}}$（またはその変形）。記号で表すと：

${\displaystyle \operatorname {ker} f=\{r\in R:f(r)=0_{S}\}.}$

環準同型は零元を保存するので、零元は${\displaystyle 0_{R}}$の${\displaystyle R}$核に属していなければならない。準同型写像${\displaystyle f}$は、その核が単一集合のみである場合に限り単射である。${\displaystyle \{0_{R}\}}$これは常に次の場合に当てはまります${\displaystyle R}$はフィールドであり、${\displaystyle S}$ゼロリングではない。^{[ 6 ]}

以来${\displaystyle \ker {f}}$乗法単位元を含むのは、${\displaystyle S}$はゼロ環であり、核は一般に部分環ではないことが判明する${\displaystyle R}$カーネルは部分乱数生成器であり、より正確には、両側イデアルである。${\displaystyle R}$したがって、商環について語ることは理にかなっている。${\displaystyle R/\ker {f}}$環の第一同型定理によれば、この商環は自然に次の環の像と同型である。${\displaystyle f}$（これは、${\displaystyle S}$[ ^{6 ]​}

与えられたフィールド${\displaystyle F}$ベクトル空間（上）${\displaystyle F}$) はアーベル群である${\displaystyle V}$（二項演算付き）${\displaystyle +}$そしてアイデンティティ${\displaystyle 0}$)スカラー乗算による${\displaystyle F}$全ての人にとって満足のいくもの${\displaystyle a,b\in F}$そして${\displaystyle \alpha ,\beta \in V}$: ^{[ 15 ]}

1. ${\displaystyle a(b\alpha )=(ab)\alpha }$
2. ${\displaystyle (a+b)\alpha =a\alpha +b\alpha }$
3. ${\displaystyle a(\alpha +\beta )=a\alpha +a\beta }$
4. ${\displaystyle 1\alpha =\alpha }$

させて${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$体上のベクトル空間である${\displaystyle F}$からの線形マップ（または線形変換）${\displaystyle V}$に${\displaystyle W}$関数です${\displaystyle T:V\to W}$全ての人にとって満足のいくもの${\displaystyle \alpha ,\beta \in V}$そして${\displaystyle a\in F}$: ^{[ 16 ]}

1. ${\displaystyle T(\alpha +\beta )=T(\alpha )+T(\beta )}$
2. ${\displaystyle T(a\alpha )=aT(\alpha )}$

もし${\displaystyle 0_{W}}$はゼロベクトルです${\displaystyle W}$すると、${\displaystyle T}$（またはヌル空間^{[ 17 ]}）は、ゼロ部分空間の逆像である。${\displaystyle \{0_{W}\}}$;つまり、${\displaystyle V}$それらの要素すべてから構成される${\displaystyle V}$マッピングされたもの${\displaystyle T}$要素へ${\displaystyle 0_{W}}$カーネルは次のように表される。${\displaystyle \ker {T}}$、またはその変形であり、象徴的には次のように定義されます。

${\displaystyle \ker T=\{\mathbf {v} \in V:T(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}\}.}$

線形写像はゼロベクトルを保持するので、ゼロベクトル${\displaystyle 0_{V}}$の${\displaystyle V}$カーネルに属していなければならない。変換${\displaystyle T}$単射であるのは、その核が零部分空間に縮小される場合に限る。^{[ 18 ]}

カーネル${\displaystyle \ker {T}}$は常にの線形部分空間である${\displaystyle V}$^{[ 19 ]}したがって、商空間について語ることは理にかなっている。${\displaystyle V/\ker {T}}$ベクトル空間の第一同型定理によれば、この商空間は自然に次の画像の同型である。${\displaystyle T}$（これは、${\displaystyle W}$)その結果、${\displaystyle V}$カーネルの次元と画像の次元の合計に等しい。^{[ 19 ]}

させて${\displaystyle R}$リングである。モジュール${\displaystyle R}$は、体上のベクトル空間と全く同じように定義され、同じ公理を用いますが、体の代わりに環が用いられます。実際、体上の加群は体上のベクトル空間と全く同じです。^{[ 20 ]}とする${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$なれ${\displaystyle R}$-モジュール。からのモジュール準同型${\displaystyle M}$に${\displaystyle N}$関数でもある${\displaystyle \varphi :M\to N}$線形マップと同じ類似の性質を満たす。${\displaystyle \varphi }$は次のように定義される：^{[ 21 ]}

${\displaystyle \ker \varphi =\{m\in M\ |\ \varphi (m)=0\}}$

すべてのカーネルはドメインモジュールの部分モジュールであり、つまり常にモジュールの加法単位元である 0 を含みます。基礎となる環が整数である場合、アーベル群のカーネルは特定の種類のモジュールカーネルとみなすことができます。^{[ 21 ]}

させて${\displaystyle G}$6つの要素の環状群である${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$モジュール式の追加により、${\displaystyle H}$2つの要素の循環である${\displaystyle \{0,1\}}$モジュール式の追加により、${\displaystyle f}$各要素を写像する準同型写像${\displaystyle g\in G}$要素へ${\displaystyle g}$2 を法とする${\displaystyle H}$。 それから${\displaystyle \ker f=\{0,2,4\}}$これらの要素はすべてマッピングされているため${\displaystyle 0\in H}$商のグループ${\displaystyle G/\ker {f}}$2つの要素があります。${\displaystyle \{0,2,4\}}$そして${\displaystyle \{1,3,5\}}$、そしては${\displaystyle H}$[ ^{22 ]​}

同型写像が与えられた場合${\displaystyle \varphi :G\to H}$1つは${\displaystyle \ker \varphi =1}$^{[ 22 ]}一方、この写像が単に準同型写像であり、H が自明群である場合、${\displaystyle \varphi (g)=1}$すべての人々のために${\displaystyle g\in G}$それでこう${\displaystyle \ker \varphi =G}$[ ^{22 ]​}

させて${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } は次のように定義される写像である。${\displaystyle \varphi ((x,y))=x}$すると、これは、核がまさに次の形式の点からなる準同型写像となる。${\displaystyle (0,y)}$このマッピングは「x軸への投影」とみなされる。^{[ 22 ]}同様の現象はマッピングでも発生する。${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{\times })^{2}\to \mathbb {R} ^{\times }}$定義される${\displaystyle f(a,b)=b}$ここで、カーネルは次の形式の点である。${\displaystyle (a,1)}$^{[ 9 ]}

非可換の例として、${\displaystyle Q_{8}}$は四元数群を表し、${\displaystyle V_{4}}$クライン4群。写像を定義する。${\displaystyle \varphi :Q_{8}\to V_{4}}$である: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle \varphi (\pm 1)=1}$

${\displaystyle \varphi (\pm i)=a}$

${\displaystyle \varphi (\pm j)=b}$

${\displaystyle \varphi (\pm k)=c}$

するとこの写像は準同型写像となり、${\displaystyle \ker \varphi =\{\pm 1\}}$[ ^{22 ]​}

させて${\displaystyle S^{1}}$は、絶対値（または法）がであるすべての複素数からなる円群を表します。${\displaystyle 1}$群演算は乗算である。^{[ 23 ]}すると関数は${\displaystyle f:\mathbb {R} \to S^{1}}$送信中${\displaystyle x\mapsto e^{2\pi ix}=\cos(2\pi x)+i\sin(2\pi x)}$は整数を核とする準同型写像である。第一同型定理は、${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$[ ^{24 ]​}

対称群​${\displaystyle n}$要素、${\displaystyle S_{n}}$は全射準同型を持つ${\displaystyle \epsilon :S_{n}\to \mathbb {Z} _{2}}$これは、各順列を、その順列の積となる転置の数の偶奇性に合わせるものです。交代群${\displaystyle A_{n}=\ker \epsilon }$は、偶置換からなるこの準同型の核である。交代群は、非可換単純群である。${\displaystyle n\geq 5}$[ ^{25 ]​}

決定要因​${\displaystyle n\times n}$実数の可逆行列${\displaystyle \mathbb {R} }$集合は、${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$そして一般線形群と呼ばれる${\displaystyle n\times n}$行列${\displaystyle \mathbb {R} }$は乗法群への準同型写像である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$（ゼロでない実数すべてから構成される）行列式の核​​は特殊線形群と呼ばれる。${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} )}$の${\displaystyle n\times n}$行列${\displaystyle \mathbb {R} }$これらは、行列式が正確に${\displaystyle 1}$[ ^{26 ]​}

グループが与えられた場合${\displaystyle G}$そして要素、マッピング${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$これは自己同型写像​​です。定義域と像が同じ群である同型写像です。これにより、から準同型写像が得られます。${\displaystyle G}$その自己同型群へ${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$それぞれをマッピングする${\displaystyle g}$それぞれに記述された内部自己同型性があり、この準同型の核は中心である。${\displaystyle Z(G)}$の${\displaystyle G}$から構成される${\displaystyle g\in G}$すべての${\displaystyle x\in G}$、 我々は持っています${\displaystyle gxg^{-1}=x}$または同等に${\displaystyle gx=xg}$より一般的には、すべての正規部分群について${\displaystyle H}$の${\displaystyle G}$（つまり共役操作で閉じている群）この共役写像は自己同型でもある${\displaystyle H}$それによって別の準同型写像が得られる${\displaystyle G}$に${\displaystyle {\text{Aut}}(H)}$カーネルは中央集権化装置である${\displaystyle C_{G}(H)}$の${\displaystyle H}$で${\displaystyle G}$の集合である${\displaystyle g\in G}$すべての${\displaystyle h\in H}$、 我々は持っています${\displaystyle ghg^{-1}=h}$[ ^{27 ]​}

マッピングについて考えてみましょう${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } ここで、後者の環は 2 を法とする整数であり、写像は各数をその偶奇性（偶数の場合は 0、奇数の場合は 1）に写します。この写像は準同型であることが判明し、後者の環の加法単位元は 0 であるため、核はまさに偶数です。 ^{[ 3 ]}

させて${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {Q} [x]\to \mathbb {Q} } は 次のように定義される。${\displaystyle \varphi (p(x))=p(0)}$この写像は準同型写像であり、各多項式をその定数項に写像します。多項式の定数項が 0 の場合に限り、その多項式をゼロに写像します。 ^{[ 3 ]}実数係数を持つ多項式も同様の準同型写像を受け取ることができ、その核は定数項が 0 の多項式です。^{[ 28 ]}

させて${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} } は次のように定義される。${\displaystyle \varphi (x,y,z)=x+2y+3z}$すると、${\displaystyle \varphi }$（つまり、零空間）は点の集合になります${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {C} ^{3}}$そのため${\displaystyle x+2y+3z=0}$、そしてこの集合は の部分空間である${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$（線形写像のすべてのカーネルについても同様である。）^{[ 17 ]}

もし${\displaystyle D}$は実多項式上の微分演算子を表し、その核は${\displaystyle D}$導関数が 0 に等しい多項式、つまり定数関数で構成される。^{[ 17 ]}

マッピングについて考えてみましょう${\displaystyle (Tp)(x)=x^{2}p(x)}$、 どこ${\displaystyle p}$は実数係数を持つ多項式です。${\displaystyle T}$は、カーネルが正確に 0 である線形写像である。なぜなら、 を満たす多項式は 0 だけだからである。${\displaystyle x^{2}p(x)=0}$すべての人々のために${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$[ ^{17 ]​}

カーネルは、対象がゼロの圏に一般化できます。圏は次の条件を満たさなければなりません。^{[ 46 ]}

• オブジェクト${\displaystyle A\in {\mathbf {C}}}$
• 形態${\displaystyle f:A\to B}$
• 構成; もし${\displaystyle f:A\to B}$そして${\displaystyle g:B\to C}$それらの構成を次のように表す${\displaystyle g\circ f:A\to C}$
• 結合性: もし${\displaystyle f:A\to B}$、${\displaystyle g:B\to C}$、 そして${\displaystyle h:C\to D}$、 それから${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$
• 恒等射${\displaystyle id_{A}:A\to A}$ここで、それとの合成によって同じ射が生じる。${\displaystyle f:A\to B}$、${\displaystyle f=f\circ id_{A}=id_{B}\circ f}$

射${\displaystyle f:A\to B}$射が存在する場合、それは同型である。${\displaystyle g:B\to A}$そのため${\displaystyle g\circ f}$そして${\displaystyle f\circ g}$は恒等射である。^{[ 46 ]}零対象とは、すべての対象への射がちょうど1つ存在し、すべての対象からの射がちょうど1つ存在するような圏の対象である。任意の2つの零対象は互いに同型である。^{[ 47 ]}圏の零対象にラベルが付けられている場合${\displaystyle 0}$すると射の合成${\displaystyle 0:A\to 0\to B}$は${\displaystyle 0}$-射から${\displaystyle A}$に${\displaystyle B}$[ ^{48 ]​}

射の核${\displaystyle f:B\to C}$射である${\displaystyle i:A\to B}$それは、${\displaystyle f\circ i=0}$言い換えれば、射が存在する場合${\displaystyle j:Z\to B}$と${\displaystyle f\circ j=0}$すると、一意の射が存在する。${\displaystyle k:Z\to A}$そのため${\displaystyle j=i\circ k}$これは可換図で示されています: ^{[ 48 ]}

カーネルは次のように表される。${\displaystyle \ker f\to B}$核は図の極限である${\displaystyle B\xrightarrow {f} C\xleftarrow {} 0}$カーネルの定義で与えられた射と合成の方向を反転させることにより、これはコカーネルの概念を定義し、次のように表されます。${\displaystyle {\text{coker}}f}$射の像（圏論）は次のように定義される。${\displaystyle {\text{im}}f=\ker({\text{coker}}f)}$それぞれのカーネル/コカーネルが存在する場合。^{[ 48 ]}

核/余核の概念は、アーベル圏の定義を生み出す。圏は、零対象、任意の2つの対象に対する積、および任意の2つの固定対象間の射が、この群の加法に対して合成が分配されるアーベル群を形成する場合に加法的である。加法的圏の射は準同型と呼ばれることがある。加法的圏は、すべての準同型が核と余核を持ち、すべての単射がその余核の核であり、すべての全射がその核の余核である場合にアーベル圏と呼ばれる。^{[ 48 ]}

射の核は、等化子の概念によって一般化できる。2 射の等化子${\displaystyle f,g:A\to B}$あるカテゴリに属する​​オブジェクト${\displaystyle E}$そして射${\displaystyle e:E\to A}$そのため${\displaystyle f\circ e=g\circ e}$さらに、この性質に関して普遍的であるならば、${\displaystyle z:Z\to A}$は別の射であり、${\displaystyle f\circ z=g\circ z}$すると、一意の射が存在する。${\displaystyle u:Z\to E}$そのため${\displaystyle z=e\circ u}$等化射はモニックでなければならない。${\displaystyle x,y:Z\to E}$と${\displaystyle e\circ x=e\circ y}$、 それから${\displaystyle x=y}$[ ^{49 ]​}

アーベル群の場合、2つの準同型のイコライザーは、これら2つの準同型の差と零準同型との間のイコライザーと同じであるため、アーベル群の圏で考慮する必要があるイコライザーは、任意の準同型間のイコライザーのみである。${\displaystyle h:A\to B}$そしてゼロ準同型${\displaystyle 0:A\to B}$このようなイコライザーの目的は（同型を除いて）${\displaystyle \ker h}$準同型の核${\displaystyle h}$、そして関連する射は包含写像です。^{[ 49 ]}この例は、等化子が射の核の一般化であることを示しており、特に、射の核は射と対応する零射との間の等化子です。^{[ 50 ]}

射の核対${\displaystyle f:X\to Y}$は、この射とそれ自身とのペアリングによる引き戻しとして定義されます。可換図式で視覚化できます。^{[ 51 ]}

圏間のファンクターもカーネルを持つことができる。圏からの（共変）ファンクター${\displaystyle {\mathbf {C}}}$に${\displaystyle {\mathbf {D}}}$、と表記される${\displaystyle F:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {D}}}$、オブジェクトと射をマッピングします${\displaystyle {\mathbf {C}}}$に${\displaystyle {\mathbf {D}}}$以下のことが成り立つ：^{[ 52 ]}

1. もし${\displaystyle f:A\to B}$、 それから${\displaystyle F(f):F(A)\to F(B)}$
2. ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$
3. ${\displaystyle F(id_{A})=id_{F(A)}}$

あるカテゴリーにおける一致${\displaystyle {\mathbf {C}}}$同値関係${\displaystyle \sim }$射において${\displaystyle f\sim g}$これは、それらが同じ定義域と値域を共有していることを意味し、さらに${\displaystyle bfa\sim bga}$適用可能な射に対して${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$合同関係は、関連する合同関係のカテゴリーを生み出す。${\displaystyle {\mathbf {C}}^{\sim }}$同じオブジェクトで${\displaystyle {\mathbf {C}}}$しかし、射は${\displaystyle \langle f,g\rangle }$どこ${\displaystyle f\sim g}$構成は成分ごとに定義され、恒等射は${\displaystyle {\widetilde {id_{A}}}=\langle id_{A},id_{A}\rangle }$商のカテゴリー${\displaystyle {\mathbf {C}}/\sim }$オブジェクトは再び同じであるように形成することができる。${\displaystyle {\mathbf {C}}}$射は同値類である${\displaystyle [f]}$合同関係の下では、恒等射がそれに対応する同値類となる。${\displaystyle [id_{A}]}$組成は次のように定義される。${\displaystyle [g]\circ [f]=[g\circ f]}$合同圏から元の圏への射影関数は 2 つあり、次のようにラベル付けされています。${\displaystyle p_{1},p_{2}}$商関数が存在する${\displaystyle \pi }$2 つの射影関手の共等化子^{[ b ]}として機能する圏からその商圏へ。 ^{[ 53 ]}

ファンクター${\displaystyle F:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {D}}}$合同関係を与える${\displaystyle \sim _{F}}$どこ${\displaystyle f\sim _{F}g}$定義域と値域が同じである場合に限り、さらに${\displaystyle F(f)=F(g)}$. 核心${\displaystyle F}$は、関連する一致カテゴリとして表される。${\displaystyle \ker F={\mathbf {C}}^{\sim _{F}}}$[ ^{53 ]​}