複合体共役体

数学において、複素数の複素共役とは、実部と虚部の大きさが等しく、符号が反対の数のことである。つまり、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$が実数である場合、複素共役は${\displaystyle a+bi}$です​${\displaystyle a-bi}$⁠。 の複素共役${\displaystyle z}$しばしば次のように表記される${\displaystyle {\overline {z}}}$または⁠$\displaystyle z^{*}}$⁠ .

極性形式では、${\displaystyle r}$そして${\displaystyle \varphi }$が実数である場合、共役は${\displaystyle re^{i\varphi }}$です​${\displaystyle re^{-i\varphi }}$これはオイラーの公式を用いて示すことができる。

複素数とその共役複素数の積は実数である。${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ （または $\displaystyle r^{2}}$（極座標で）

実数係数を持つ一変数多項式の根が複素数である場合、その複素共役も根になります。

複素数の複素共役${\displaystyle z}$次のように書かれています${\displaystyle {\overline {z}}}$または⁠$\displaystyle z^{*}}$最初の表記法であるヴィンキュラムは、複素共役の一般化と考えることができる行列の共役転置の表記法との混同を避けることができます、共役転置にダガー（ † ）を使用する物理学、およびバー表記法が論理否定（「NOT」）ブール代数記号と混同される可能性がある電気工学やコンピュータ工学で好まれていますが、純粋数学ではバー表記法の方が一般的です。

複素数が次のように表される場合$2×2$行列の場合、表記は同じで、複素共役は行列の転置に対応し、これは対角線に沿った反転です。^{[ 1 ]}

以下の性質はすべての複素数に当てはまります。${\displaystyle z}$そして​${\displaystyle w}$特に明記されていない限り、書面で証明できる。${\displaystyle z}$そして${\displaystyle w}$形式で${\displaystyle a+bi}$⁠ .

任意の 2 つの複素数に対して、共役は加算、減算、乗算、除算に対して分配法則が成り立ちます。 ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}-{\overline {w}},\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}},\quad {\text{and}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0.\end{aligned}}}$$

複素数の虚部がゼロ、つまり実数である場合、その複素数はその共役複素数と等しくなります。言い換えれば、実数だけが共役不動点となります。

共役変換は複素数の絶対値を変化させません。${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}$

共役とは対合であり、複素数の共役の共役である。${\displaystyle z}$です​${\displaystyle z}$記号で表すと、${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}$⁠ . ^{[ 2 ]}

複素数とその共役複素数の積は、その数の絶対値の二乗に等しい。$${\displaystyle z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}.}$$これにより、直交座標で与えられた複素数の乗法逆数を容易に計算できます。$${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad {\text{すべての}}z\neq 0に対して。}$$

共役は、整数乗への指数関数、指数関数、および非ゼロ引数に対する自然対数との合成に関して 可換である。$${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad {\text{すべての }}n\in \mathbb {Z} }$$^{[注1 ]}$${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}}$$$$${\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}{\text{zがゼロまたは負の実数でない場合}}}$$$

もし${\displaystyle p}$は実数係数を持つ多項式であり、${\displaystyle p(z)=0,}$それから${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$同様に、実数多項式の非実数根は複素共役のペアで現れます（複素共役根定理を参照 ）。

一般的に、もし${\displaystyle \varphi }$は実数への制限が実数値となる正則関数であり、${\displaystyle \varphi (z)}$そして${\displaystyle \varphi ({\overline {z}})}$定義されると、 $${\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}$$

地図${\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}}$から${\displaystyle \mathbb {C} }$に${\displaystyle \mathbb {C} }$は同相写像（位相が${\displaystyle \mathbb {C} }$は標準トポロジーとみなされ、反線形であるとすれば、${\displaystyle \mathbb {C} }$自身上の複素ベクトル空間として。一見すると扱いやすい関数に見えるが、正則関数ではない。正則関数は局所的に向きを保存するのに対し、この関数は向きを反転させる。全単射であり、算術演算と互換性があるため、体自己同型である。実数を固定するため、体拡大のガロア群の要素である。${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$このガロア群は2つの要素しか持たない。${\displaystyle \sigma }$そしてそのアイデンティティは${\displaystyle \mathbb {C} }$したがって、の 2 つの体自己同型写像​​は${\displaystyle \mathbb {C} }$実数を固定したままにする写像としては、恒等写像と複素共役がある。

かつては複素数だった${\displaystyle z=x+yi}$または${\displaystyle z=re^{i\theta }}$が与えられ、その共役は、${\displaystyle z}$-変数：

• 実際の部分：${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• 架空部分：${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• 絶対値（または絶対値）：${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• 口論：${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}$それで${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

さらに、${\displaystyle {\overline {z}}}$平面上の線を指定するために使用できます。 $${\displaystyle \left\{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$$ は原点を通り、${\displaystyle {r},}$実際の部分は${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$角度のコサインがゼロになるのは、${\displaystyle z}$そして${\displaystyle {r}}$はゼロです。同様に、固定された複素単位の場合${\displaystyle u=e^{ib},}$方程式 $${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$$ 線を決定${\displaystyle z_{0}}$0とを通る直線に平行${\displaystyle u}$⁠ .

これらの共役の使用法${\displaystyle z}$変数としての例は、フランク・モーリーが息子フランク・ヴィガー・モーリーと共著した『反転幾何学』 （1933年）に示されています。

他の平面実数単位代数、双対数、および分裂複素数も複素共役を用いて解析される。

複素数の行列の場合、${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right),}$どこ${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$は、要素ごとの共役を表します。${\displaystyle \mathbf {A} .}$^{[ 3 ]}この性質と対比してみましょう${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*},}$どこ${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$の共役転置を表す${\textstyle \mathbf {A} .}$

複素行列の共役転置（または随伴）を取ることで、複素共役の概念が一般化されます。さらに一般的な概念として、（場合によっては無限次元の）複素ヒルベルト空間上の作用素に対する随伴作用素の概念があります。これらすべては、C*-環の*-演算によって包含されます。

四元数と分割四元数の共役も定義できる。${\textstyle a+bi+cj+dk}$です​${\displaystyle a-bi-cj-dk}$⁠ .

これらの一般化は、因数が逆の場合にのみ乗法的に成り立つ。 $${\displaystyle {\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.}$$

平面実代数の乗法は可換であるため、この反転は必要ない。

ベクトル空間にも共役という抽象的な概念が存在する。${\textstyle V}$複素数上の任意の反線形写像。${\textstyle \varphi :V\to V}$満たす

1. ${\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,,}$どこ${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }$そして${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$同一性マップは⁠${\displaystyle V}$⁠、
2. ${\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}$すべての人々のために${\displaystyle v\in V,z\in \mathbb {C} ,}$そして
3. ${\displaystyle \varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,}$すべての人々のために${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V,}$

これは複素共役、または実構造と呼ばれます。${\displaystyle \varphi }$反線形であるため、恒等写像にはなり得ない。${\displaystyle V}$⁠ .

もちろん、${\textstyle \varphi }$は${\textstyle \mathbb {R} }$-線形変換${\textstyle V,}$すべての複素空間に注目すると${\displaystyle V}$元の空間と同じベクトルを取り、スカラーを実数に制限することで得られる実形式を持つ。上記の性質は、実際には複素ベクトル空間上の実構造を定義する。${\displaystyle V}$⁠ . ^{[ 4 ]}

この概念の一例として、上述の複素行列の共役転置演算が挙げられる。しかしながら、一般的な複素ベクトル空間においては、複素共役の標準的な概念は存在しない。

• 絶対値の平方– ある数をそれ自身で乗算した数リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 複素共役線– 複素幾何学における演算 
• 複素共役表現
• 複素共役ベクトル空間– 数学の概念 リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ 
• 合成代数– 非結合的な場合もある代数の一種 
• 共役（平方根）– 平方根の符号を変えること 
• エルミート関数– 複素関数の一種 
• ヴィルティンガー微分– 複素解析における概念 

• ブディニッチ、P.とトラウトマン、A.スピノリアル チェス盤。シュプリンガー版、1988 年。ISBN 0-387-19078-3（反線形写像については3.3節で説明します。）