位相因子

物理学および表現論において、位相因子は波の位相、または2つの量間の位相差を表す乗数です。これは単位複素数、すなわち絶対値が $1の$ 複素数として定式化されます。極形式で書かれた複素数、例えば $r$ $e$ $i$ $θ$ の場合、位相因子は複素指数関数e $iθ$ $です[$ ¹^]^:²⁴ここで、変数 $θ$ は位相、i $は$ 虚数単位です。スカラー、ベクトル、または行列（波、状態、または演算子を表す）のような量が、別の量に位相因子を掛けたものと等しい場合、長さ（またはノルム）は変化しないため、これら2つの量は位相因子を除いて等価であると言われます^。可能な位相因子の集合は、円群を形成します。 $U(1)$ しかし、この用語はしばしば、位相の選択や慣習、あるいは代表者の選択における曖昧さを記録するスカラーを指す。

物件

位相係数の場合 $z$ ⁠、以下のことが成立する：^{[ 1 ]}^{： 24} $z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$ $z^{*}z=1.$

位相の曖昧さ

平面波の式 $Ae i (k \cdot r - ωt)$ に位相因子 $e iθ$ を掛けると、波の位相が $θ$ だけシフトします。 ${\displaystyle e^{i\theta }A\,e^{i({\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t})}=A\,e^{i({\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\theta })}。$ この位相因子は、時間軸の原点の任意選択に関連している。^{[ 2 ]}^{： 61}

量子力学では、位相因子はケットベクトルに掛けられる複素係数 $e iθである。$ $|\psi \rangle$ またはブラジャー $\langle \phi |$ それ自体には物理的な意味はありません。位相因子を導入してもエルミート演算子の期待値は変化しないからです。この効果は位相曖昧性として知られています。^{[ 1 ]}^{： 108}つまり、 $\langle \phi |A|\phi \rangle$ そして $\langle \psi |A|\psi \rangle$ 、どこ $|\psi \rangle =e^{i\theta }|\phi \rangle$ 、は同じです。^{[ 3 ]}

位相の曖昧さは、量子状態関数の定義における柔軟性として説明することもできる。例えば、角運動量演算子の固有関数は、「位相因子を除いて」一意に定義される。^[⁴^]^：⁶¹

量子力学で使用する球面調和関数を定義する際、位相因子は、エドワード・コンドンとGHショートリーによって最初に選択された標準値を持つように選択することができます。^{[ 5 ]}^{[ 4 ]}^{： 61}例えば、この慣例はクレブシュ・ゴルダン係数に使用されます。

位相差

^{相互作用する}2 つの量子状態間の位相因子の差は、ベリー位相^{[ 2 ]} : ¹³¹やアハロノフ・ボーム効果^[⁶^]^:²³¹のように測定可能な場合がある。光学では、位相因子は干渉を扱う上で重要な量である。

射影表現とリフト

位相因子は、数学的または物理的な対象が代表元の選択を除いてのみ決定される場合に現れることがあります。前述のように、量子力学では、純粋状態は個々の正規化ベクトルではなく、ヒルベルト空間の光線によって表されます。したがって、物理状態は位相因子を除いて正規化ベクトルです。同様に、光線空間の対称性は、ヒルベルト空間上でユニタリ演算子によって表されることがあります。しかし、このような演算子は位相因子による乗算を除いてのみ決定されます。したがって、対称群は、を満たす演算子によって作用する可能性があります。 $U(g)U(h)=\omega (g,h)U(gh),$ どこ $\omega (g,h)$ は位相因子である。このような作用は射影表現である。

ハイゼンベルク群の表現論にも同様の曖昧さが生じる。ストーン・フォン・ノイマンの定理により、基礎となる位置運動量空間の自己同型写像は振動子表現のユニタリ演算子を与えるが、位相因子を除いてのみである。したがって、結果として得られる演算子はシンプレクティック群の射影表現を定義する。メタプレクティック群に移行することでこの曖昧さは解消される。^[⁷^]

参考文献

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