明確な表現

数学において、明確に定義された式または一義的な式とは、定義によって一意の解釈または値が割り当てられる式のことです。それ以外の場合、式は明確に定義されていない、明確に定義されていない、または曖昧であると言われます。^[1]関数は、入力の表現を変更しても入力の値を変更せずに同じ結果を返す場合、明確に定義されています。たとえば、が実数を入力として受け取り、が等しくない場合、関数は明確に定義されていません (したがって関数ではありません)。^[2]明確に定義されているという用語は、論理式が一義的または矛盾がないことを示すためにも使用できます。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(0.5)}$${\displaystyle f(1/2)}$${\displaystyle f}$

適切に定義されていない関数は、定義されていない関数と同じではありません。たとえば、の場合、 が定義されていないとしても、関数が適切に定義されていないことを意味するのではなく、0 がの定義域内にないことを意味します。 ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$${\displaystyle f(0)}$${\displaystyle f}$

を集合とし、および を の場合およびの場合として「定義」します。 ${\displaystyle A_{0},A_{1}}$${\displaystyle A=A_{0}\cup A_{1}}$${\displaystyle f:A\rightarrow \{0,1\}}$${\displaystyle f(a)=0}$${\displaystyle a\in A_{0}}$${\displaystyle f(a)=1}$${\displaystyle a\in A_{1}}$

は、の場合に明確に定義されます。たとえば、かつ の場合、 は明確に定義され、 と等しくなります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!}$${\displaystyle A_{0}:=\{2,4\}}$${\displaystyle A_{1}:=\{3,5\}}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle \operatorname {mod} (a,2)}$

しかし、 の場合、 はに対して「曖昧」であるため、 は適切に定義されません。たとえば、および の場合、 は0 と 1 の両方になる必要があり、これは曖昧になります。結果として、後者は適切に定義されておらず、したがって関数ではありません。 ${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$${\displaystyle A_{0}:=\{2\}}$${\displaystyle A_{1}:=\{2\}}$${\displaystyle f(2)}$${\displaystyle f}$

前の簡単な例で「定義」を引用符で囲むのを避けるために、「定義」を2 つの論理的なステップに分解することができます。 ${\displaystyle f}$

ステップ 1 の定義は、任意の定義の自由度をもって定式化されており、確かに有効です (「適切に定義されている」と分類する必要はありません)。一方、ステップ 2 の主張は証明する必要があります。つまり、 は、の場合に限り関数であり、その場合、関数として は適切に定義されます。一方、 の場合、 に対して、 となり、二項関係は機能的ではなく (二項関係#特殊な二項関係で定義されているように)、したがって関数として適切に定義されません。口語的には、「関数」は時点で曖昧とも呼ばれます(ただし、定義上、「曖昧な関数」は決してありません)。元の「定義」は無意味です。 これらの微妙な論理的問題にもかかわらず、次の 3 つの理由から、この種の「定義」には定義 (アポストロフィなし) という用語がかなり一般的に使用されています 。${\displaystyle f}$${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}=\emptyset }$${\displaystyle f}$${\displaystyle A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset }$${\displaystyle a\in A_{0}\cap A_{1}}$${\displaystyle (a,0)\in f}$ ${\displaystyle (a,1)\in f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

1. これは、2 段階アプローチの便利な省略形を提供します。
2. 関連する数学的推論（つまり、ステップ 2）はどちらの場合も同じです。
3. 数学のテキストでは、その主張は「100% まで」真実です。

関数の定義方程式が引数自体だけでなく、引数の要素も参照し、代表値として機能する場合、関数の明確性に関する疑問がしばしば生じます。引数が剰余類であり、方程式が剰余類の代表値を参照する場合、これは避けられないことがあります。関数適用の結果は、代表値の選択に依存してはなりません。

たとえば、次の関数を考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}}$

ここで、およびはm を法とする整数であり、n mod mの合同類を表します。 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\overline {n}}_{m}}$

注意:は要素 への参照であり、は の引数です。 ${\displaystyle {\overline {n}}_{4}}$${\displaystyle n\in {\overline {n}}_{8}}$${\displaystyle {\overline {n}}_{8}}$${\displaystyle f}$

この関数は、次の理由により適切に定義されています。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ divides }}(n-n')\Rightarrow \;4{\text{ divides }}(n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.}$

反例として、逆の定義は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}}$

は、明確に定義された関数にはなりません。例えば、は では等しくなりますが、最初の はによってにマッピングされ、2 番目の は にマッピングされ、 とはでは等しくありません。 ${\displaystyle {\overline {1}}_{4}}$${\displaystyle {\overline {5}}_{4}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$${\displaystyle {\overline {1}}_{8}}$${\displaystyle {\overline {5}}_{8}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$

特に、明確に定義されているという用語が剰余類上の (2 項)演算に関して使用されます。この場合、演算を 2 つの変数の関数として見ることができ、明確に定義されているという特性は関数の場合と同じです。たとえば、あるn を法とする整数の加算は、整数の加算の観点から自然に定義できます。

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+b]}$

これが明確に定義されているという事実は、 の任意の代表を（ は整数） と表記できることから導かれます。したがって、${\displaystyle [a]}$${\displaystyle a+kn}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle [a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];}$

のどの代表者にも同様のことが当てはまり、代表者の選択に関係なく、同じ結果になります。 ${\displaystyle [b]}$${\displaystyle [a+b]}$

実数の場合、積はであるため一義的である。したがって、表記法は が適切に定義されていると言われる。 ^[1]乗算の結合性とも呼ばれるこの特性は、結果が乗算の順序に依存しないことを保証する。したがって、順序の指定は省略できる。減算演算は非結合的である。それにもかかわらず、 の省略形となる規則があるため、「適切に定義されている」と見なされる。一方、除算は非結合的であり、 の場合、括弧の規則が十分に確立されていないため、この式はしばしば不明確に定義されていると見なされる。 ${\displaystyle a\times b\times c}$${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$${\displaystyle a-b-c}$${\displaystyle (a-b)-c}$${\displaystyle a/b/c}$

関数とは異なり、表記の曖昧さは追加の定義（優先順位の規則、演算子の結合性など）によって克服できます。たとえば、プログラミング言語C-では、減算の演算子は左から右への結合であり、これはa-b-cが と定義されることを意味します。(a-b)-cまた、代入の演算子は右から左への結合=であり、これはが と定義されることを意味します。^[3]プログラミング言語APLには、右から左へのルールが1つだけありますが、括弧が先になります。 a=b=ca=(b=c)

偏微分方程式の解は、境界条件が変化しても境界条件によって連続的に決定される場合、明確に定義されていると言われる。 ^[1]

• 同値関係 § 同値関係における明確性
• 定義主義
• 存在
• 病理学（数学）
• ユニークさ
• ユニークさの定量化
• 未定義
• 整形式の式

• Contemporary Abstract Algebra、Joseph A. Gallian、第 6 版、Houghlin Mifflin、2006 年、ISBN 0-618-51471-6。 
• 代数: 第0章、Paolo Aluffi、ISBN 978-0821847817。16ページ。 
• 抽象代数、Dummit and Foote、第 3 版、ISBN 978-0471433347。1ページ目。