三角不等式

数学において、三角不等式は、任意の三角形について、任意の2辺の長さの合計が残りの辺の長さ以上でなければならないと述べている。^{[1] [2]この記述は}退化した三角形を含めることを許容しているが、一部の著者、特に初等幾何学について書いている著者は、この可能性を排除し、等式の可能性を除外している。^[3] a、b、cが三角形の辺の長さである 場合、三角不等式は、

${\displaystyle c\leq a+b,}$

面積がゼロの三角形の退化した場合にのみ等しくなります。

ユークリッド幾何学やその他の幾何学において、三角不等式はベクトルとベクトルの長さ（ノルム）に関する定理です。

${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|,}$

ここで、3 番目の辺の長さは、ベクトルの和u + vの長さに置き換えられています。uとvが実数の場合、これらは のベクトルとして見ることができ、三角不等式は絶対値間の関係を表します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

ユークリッド幾何学では、直角三角形の場合、三角形の不等式はピタゴラスの定理の結果であり、一般の三角形の場合、余弦定理の結果ですが、これらの定理がなくても証明できます。不等式は、または のどちらでも直感的に考えることができます。右の図は、明らかな不等式 (上) から等式に近づく例 (下) の 3 つの例を示しています。ユークリッドの場合、等式は、下の例に示すように、三角形に180° の角度と 2 つの0° の角度があり、3 つの頂点が同一線上にある場合にのみ発生します。したがって、ユークリッド幾何学では、2 点間の最短距離は直線です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

球面幾何学では、2点間の最短距離は大円の弧であるが、球面上の2点間の距離はそれらの端点との短球面線分（つまり、中心角が[0, π ]にある線分）の長さであるという制限を課せば、三角不等式が成り立つ。^{[4] [5]}

三角不等式は、距離のノルムと尺度を定義する特性です。この特性は、特定の空間（たとえば、実数、ユークリッド空間、L ^p空間（p ≥ 1）、内積空間など） に対して、そのような目的のために提案される関数の定理として確立されなければなりません。

ユークリッドは、図の構成を用いて平面幾何学における距離に関する三角不等式を証明した。 ^[6]三角形ABCから始めて、一辺をBC、もう一辺をABの延長線上の等しい辺BDとして二等辺三角形を構成する。すると、角β は角αよりも大きいため、辺AD は辺ACよりも長くなると主張される。しかし、

${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}},}$

したがって、辺ABとBCの長さの合計はACの長さよりも大きくなります。この証明はユークリッドの原論第1巻の命題20に記載されています。 ^[7]

真三角形の場合、言葉で述べられている三角不等式は、文字通り 3 つの不等式に変換されます (真三角形の辺の長さa、b、cはすべて正であり、面積がゼロになる退化のケースは除外されます)。

${\displaystyle a+b>c,\quad b+c>a,\quad c+a>b.}$

この不等式をより簡潔に表すと、

${\displaystyle |ab|<c<a+b.}$

別の言い方をすると

${\displaystyle \max(a,b,c)<a+b+c-\max(a,b,c)}$

暗示する

${\displaystyle 2\max(a,b,c)<a+b+c}$

したがって、最長辺の長さは半周よりも短くなります。

数学的に同等の公式は、 a、b、cの辺を持つ三角形の面積は0より大きい実数でなければならないというものである。面積の ヘロンの公式は

${\displaystyle {\begin{aligned}4\cdot {\text{area}}&={\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}\\&={\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}.\end{aligned}}}$

どちらの面積式でも、すべての辺に課される三角不等式は、平方根記号の下の式が実数でゼロより大きいという条件に相当します (したがって、面積式は実数でゼロより大きい)。

三角不等式は、a、b、cの辺を持つ三角形に対してさらに2つの興味深い制約を与える。ここでa ≥ b ≥ cであり、は黄金比である。 ${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle 1<{\frac {a+c}{b}}}3}$

${\displaystyle 1\leq \min \left({\frac {a}{b}},{\frac {b}{c}}\right)<\phi .}$^[8]

直角三角形の場合、三角不等式は斜辺が2辺のいずれかよりも大きく、その合計よりも小さいという主張に特化します。^[9]

この定理の 2 番目の部分は、任意の三角形の任意の辺に対してすでに上で確立されています。最初の部分は、下の図を使用して確立されます。図では、直角三角形ADCを考えます。二等辺三角形ABC は、等しい辺AB = ACで構成されます。三角形の公理から、直角三角形ADCの角度は次の条件を満たします。

${\displaystyle \alpha +\gamma =\pi /2\ .}$

同様に、二等辺三角形ABCでは、角度は次の式を満たします。

${\displaystyle 2\beta +\gamma =\pi \ .}$

したがって、

${\displaystyle \alpha =\pi /2-\gamma ,\ \mathrm {while} \ \beta =\pi /2-\gamma /2\ ,}$

そして、特に、

${\displaystyle \alpha <\beta \ .}$

つまり、角αの反対側にある辺AD は、大きい方の角βの反対側にある辺ABよりも短いということです。しかし、AB = AC です。したがって、

${\displaystyle {\overline {AC}}>{\overline {AD}}\ .}$

同様の構成でAC > DCが示され、定理が成立します。

もう一つの証明（これも三角形の公理に基づく）は、点Bの 3 つの位置を検討することによって進みます。^[10] (i) 図のとおり（これは証明する）、または (ii) B がDと一致する（これは二等辺三角形が 2 つの直角を底角として持ち、さらに頂角γ を持つことを意味し、三角形の公理に違反します）、または最後に、(iii) B が点Aと点 D の間の直角三角形の内側にある（この場合、角ABC は直角三角形BDCの外角であるためπ /2よりも大きいため、二等辺三角形のもう 1 つの底角もπ /2よりも大きく、それらの合計がπ を超え、三角形の公理に違反します）。

不等式を証明するこの定理は、ピタゴラスの定理によって、斜辺の長さの二乗が他の 2 辺の二乗の合計に等しいという等式にまで明確化されます。

等差数列の辺を持つ三角形を考え、その辺をa、a + d、a + 2 dとする。三角不等式は、

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&2a+3d,\\0&<&a+d&<&2a+2d,\\0&<&a+2d&<&2a+d.\end{array}}}$

これらの不等式をすべて満たすには

${\displaystyle a>0{\text{ and }}-{\frac {a}{3}}<d<a.}$^[11]

d がd = a /3となるように選択されると、辺が3、4、5であるピタゴラス三角錐に常に相似な直角三角形が生成されます。

ここで、等比数列になっている三角形を考え、その辺をa、ar、ar ²とします。すると、三角不等式により、

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&ar+ar^{2},\\0&<&ar&<&a+ar^{2},\\0&<&\!ar^{2}&<&a+ar.\end{array}}}$

最初の不等式はa > 0を必要とするため、割り切れば消去できる。a > 0の場合、中間の不等式はr > 0のみを必要とする。これで、最初の不等式と3番目の不等式が満たす必要があるのは

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}+r-1&{}>0\\r^{2}-r-1&{}<0.\end{aligned}}}$

これらの2次不等式の最初の条件では、r は2次方程式r ² + r − 1 = 0の正の根の値を超える領域、つまりr > φ − 1 （ φは黄金比）の範囲にある必要があります。2番目の2次不等式では、 r は0から2次方程式r ² − r − 1 = 0の正の根までの範囲、つまり0 < r < φ の 範囲にある必要があります。これらの条件を組み合わせると、r は次の範囲に制限されます。

${\displaystyle \varphi -1<r<\varphi \,{\text{ and }}a>0.}$^[12]

r の公比をr = √ φとなるように選択すると、常にケプラーの三角形に相似な直角三角形が生成されます。

三角不等式は数学的帰納法によって任意の多角形パスに拡張することができ、そのようなパスの合計の長さは、その端点間の直線の長さ以上であることを示します。したがって、多角形のどの辺の長さも、他の多角形の辺の長さの合計よりも常に短くなります。

等比数列になっている四辺形を考え、その辺をa、ar、ar ²、ar ³とします。一般化された多角形不等式は、

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}0&<&a&<&ar+ar^{2}+ar^{3}\\0&<&ar&<&a+ar^{2}+ar^{3}\\0&<&ar^{2}&<&a+ar+ar^{3}\\0&<&ar^{3}&<&a+ar+ar^{2}.\end{array}}}$

これらの不等式は、a > 0の場合、次のように帰着する。

${\displaystyle r^{3}+r^{2}+r-1>0}$

${\displaystyle r^{3}-r^{2}-r-1<0.}$^[13]

これら 2 つの不等式の左辺の多項式の根は、トリボナッチ定数とその逆数です。したがって、r は1/ t < r < tの範囲に制限されます( tはトリボナッチ定数)。

この一般化は、ユークリッド幾何学における 2 点間の最短曲線が直線であることを証明するために使用できます。

2 点間の多角形経路は、2 点間の直線より短くなることはありません。これは、曲線の弧の長さが端点間の距離より短くなることはないことを意味します。定義により、曲線の弧の長さは、曲線のすべての多角形近似の長さの最小上限です。多角形経路の結果は、端点間の直線がすべての多角形近似の長さよりも短いことを示しています。曲線の弧の長さはすべての多角形近似の長さ以上であるため、曲線自体は直線経路より短くなることはありません。^[14]

三角不等式定理の逆も真です。3 つの実数がそれぞれ他の実数の合計よりも小さい場合、これらの数を辺の長さとし、面積が正の三角形が存在します。また、1 つの数が他の 2 つの数の合計に等しい場合、これらの数を辺の長さとする退化した三角形 (つまり、面積がゼロの三角形) が存在します。

どちらの場合でも、辺の長さがa、b、cであれば、図に示すようにユークリッド平面に三角形を配置することができます。 a、b、c の値と一致する実数hが存在することを証明する必要があります。その場合、この三角形が存在します。

ピタゴラスの定理により、右の図からb ² = h ² + d ²およびa ² = h ² + ( c − d ) ²が成り立ちます。これらを引くと、 a ² − b ² = c ² − 2 cdとなります。この式により、三角形の辺の数で d を表すことができます。

${\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}$

三角形の高さはh ² = b ² − d ²です。dを上記の式に 置き換えると、

${\displaystyle h^{2}=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}.}$

実数h がこれを満たすためには、h ^{2 は}負でない必要があります。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\[4pt]0&\leq \left(b-{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\left(b+{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\\[4pt]0&\leq \left(a^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-a^{2}\right)\\[6pt]0&\leq (a+b-c)(a-b+c)(b+c+a)(b+c-a)\\[6pt]0&\leq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\end{aligned}}}$

これは、すべての辺で三角形の不等式が満たされる場合に成立します。したがって、辺 と一致する実数が存在し、三角形 が存在します。各三角形の不等式が に厳密に適合し、三角形は退化していません (正の面積を持ちます)。ただし、不等式の 1 つが等式と適合する場合、三角形は退化しています。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle h=0}$

四面体の三角形の面の面積は、他の 3 つの三角形の面の面積の合計以下になります。より一般的には、ユークリッド空間では、n 単体の( n − 1 )面の超体積は、他のn面の超体積の合計以下になります。

三角不等式が多角形不等式に一般化されるのと同様に、任意の次元の単体の不等式は任意の次元の多面体に一般化されます。つまり、多面体の任意の面の超体積は、残りの面の超体積の合計以下になります。

いくつかのケースでは、四面体不等式は三角不等式のいくつかの応用よりも強力です。たとえば、三角不等式は、ユークリッド空間に4つの点A、B、C、Zが存在する可能性を許容し、それらの点間の距離が

AB = BC = CA = 26

そして

AZ = BZ = CZ = 14 .

しかし、そのような距離の点は存在できません。26–26–26の正三角形ABCの面積は で、これは26–14–14二等辺三角形の面積 の3 倍よりも大きいため(すべてヘロンの公式による)、この配置は四面体不等式によって禁止されています。 ${\textstyle 169{\sqrt {3}}}$${\textstyle 39{\sqrt {3}}}$

ノルムベクトル空間 Vにおいて、ノルムの定義特性の1つは三角不等式です。

${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|\quad \forall \,\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$

つまり、2つのベクトルの和のノルムは、2つのベクトルのノルムの和と同じ大きさになる。これは、劣加法性とも呼ばれる。提案された関数がノルムとして振る舞うためには、この要件を満たす必要がある。^[15]

ノルム空間がユークリッド、またはより一般的には厳密に凸 である場合、u、v、およびu + vによって形成される三角形が退化している場合、つまりuとvが同一直線上にある場合、つまりu = 0またはv = 0、またはu = α v (α > 0の場合) である場合に限ります。この特性は、 1 < p < ∞であるℓ _p空間などの厳密に凸なノルム空間を特徴付けます。ただし、これが当てはまらないノルム空間もあります。たとえば、ℓ ₁ノルム (マンハッタン距離) を持つ平面を考え、u = (1, 0)およびv = (0, 1)と表します。この場合、 u、v、およびu + vによって形成される三角形は非退化ですが、 ${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|=\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|}$

${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|=\|(1,1)\|=|1|+|1|=2=\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.}$

絶対値は実数直線のノルムである。要求されるように、絶対値は任意の実数uとvに対して三角不等式を満たす。uとvが同じ符号を持つか、どちらかがゼロの場合、uとvが反対の符号を持つ場合、一般性を失うことなく、次のように仮定する。これらのケースを組み合わせると、次のようになる。^[16]${\displaystyle |u+v|=|u|+|v|.}$${\displaystyle |u|>|v|.}$${\displaystyle |u+v|=|u|-|v|<|u|+|v|.}$

$${\displaystyle |u+v|\leq |u|+|v|.}$$

三角不等式は、2つの数値の合計の大きさを個々の数値の大きさに基づいて推定する数学的解析に役立ちます。また、任意の実数uとvに対して、逆三角不等式を使用して求めることができる下限推定値もあります。${\displaystyle |u-v|\geq {\bigl |}|u|-|v|{\bigr |}.}$

タクシーノルムまたは1ノルムは、絶対値を高次元に一般化したものです。ベクトルのノルムを求めるには、各成分の絶対値を別々に加算するだけです。${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},\ldots v_{n}),}$$${\displaystyle \|v\|_{1}=|v_{1}|+|v_{2}|+\dotsb +|v_{n}|.}$$

ユークリッドノルムまたは 2 ノルムは、n次元ユークリッド空間における移動ベクトルの長さを直交座標系で定義します。ベクトルの場合、その長さはn次元ピタゴラスの定理を使用して定義されます。${\displaystyle v=(v_{1},v_{2},\ldots v_{n}),}$$${\displaystyle \|v\|_{2}={\sqrt {|v_{1}|^{2}+|v_{2}|^{2}+\dotsb +|v_{n}|^{2}}}.}$$

内積は、無限次元の例を含むユークリッドベクトル空間の一般化である任意の内積空間においてノルムである。三角不等式は、コーシー・シュワルツの不等式から次のように導かれる。ベクトルとが与えられ、内積を と表すと、次のようになる。^[17]${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \langle u,v\rangle }$

コーシー・シュワルツの不等式は、uとvが線形従属である場合にのみ等式になります。不等式は、線形従属であり、 ベクトルuまたはvの 1 つがもう 1 つの非負スカラーである場合にのみ等式になります。最終結果の平方根を取ると、三角不等式が得られます。 ${\displaystyle \langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle \leq 2\left|\left\langle u,v\right\rangle \right|}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

pノルムは、任意の正の整数指数を使用して、タクシー ノルムとユークリッド ノルムを一般化したものです。ここで、v _{i は}ベクトルvの成分です。 $${\displaystyle \|v\|_{p}={\bigl (}|v_{1}|^{p}+|v_{2}|^{p}+\dotsb +|v_{n}|^{p}{\bigr )}^{1/p},}$$

p = 2 の場合を除いて、pノルムは平行四辺形法則を満たさないため、内積ノルムではありません。 pの一般的な値に対する三角不等式はミンコフスキーの不等式と呼ばれます。^[18]これは次の形式になります。$${\displaystyle \|u+v\|_{p}\leq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}\ .}$$

距離dを持つ距離空間 Mでは、三角不等式は距離に対する要件です。

${\displaystyle d(A,\ C)\leq d(A,\ B)+d(B,\ C)\ ,}$

M内のすべての点A、B、Cについてです。つまり、AからCまでの距離は、 AからBまでの距離とBからCまでの距離の合計以下になります。

三角不等式は、距離空間の興味深い構造、つまり収束のほとんどに関係しています。これは、距離に対する残りの要件が、それに比べてかなり単純であるためです。たとえば、距離空間内の任意の収束シーケンスがコーシーシーケンスであるという事実は、三角不等式の直接的な結果です。なぜなら、d ( x _n、x ) < ε /2かつd ( x _m、x ) < ε /2となる任意のx nおよびx _{m を}選択した場合 ( ε > 0は、与えられた値と任意_値です (距離空間の極限の定義にあるように))、三角不等式により、d ( x _n、x _m ) ≤ d ( x _n、x ) + d ( x _m、x ) < ε /2 + ε /2 = εとなり、シーケンス{ x _n }は定義によりコーシーシーケンスになるからです。

このバージョンの三角不等式は、d ( u , v ) ≔ ‖ u − v ‖ （ u − vは点vから点uを指すベクトル）を介して計量が誘導されるノルムベクトル空間の場合には、上記のものに簡約されます。

逆三角不等式は、三角不等式の等価な代替定式であり、上限値の代わりに下限値を与える。平面幾何学では、次のように表される。^[19]

三角形のどの辺も、他の 2 辺の差以上です。

ノルムベクトル空間の場合、次のようになります。

${\displaystyle {\big |}\|u\|-\|v\|{\big |}\leq \|u-v\|,}$

または計量空間の場合は です。これは、ノルムと からの距離関数がリプシッツ定数1でリプシッツ連続であり、したがって特に一様連続であることを意味します。 ${\displaystyle |d(A,C)-d(B,C)|\leq d(A,B)}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle z}$${\displaystyle d(z,\cdot )}$

逆三角不等式の証明は、通常、次の式を使って行います。 ${\displaystyle \|v-u\|=\|{-}1(u-v)\|=|{-}1|\cdot \|u-v\|=\|u-v\|}$

${\displaystyle \|u\|=\|(u-v)+v\|\leq \|u-v\|+\|v\|\Rightarrow \|u\|-\|v\|\leq \|u-v\|,}$

${\displaystyle \|v\|=\|(v-u)+u\|\leq \|v-u\|+\|u\|\Rightarrow \|u\|-\|v\|\geq -\|u-v\|,}$

これら 2 つのステートメントを組み合わせると次のようになります。

${\displaystyle -\|u-v\|\leq \|u\|-\|v\|\leq \|u-v\|\Rightarrow {\big |}\|u\|-\|v\|{\big |}\leq \|u-v\|.}$

逆に、逆三角不等式からの三角不等式の証明は、次の 2 つの場合に当てはまります。

逆三角不等式により、 ${\displaystyle \|u+v\|-\|u\|\geq 0,}$${\displaystyle \|u+v\|-\|u\|={\big |}\|u+v\|-\|u\|{\big |}\leq \|(u+v)-u\|=\|v\|\Rightarrow \|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|}$

そして、その場合、その規範の非負性によって 自明になります。${\displaystyle \|u+v\|-\|u\|<0,}$${\displaystyle \|u\|+\|v\|\geq \|u\|>\|u+v\|}$

したがって、どちらの場合も、 であることがわかります。 ${\displaystyle \|u\|+\|v\|\geq \|u+v\|}$

距離空間の場合、逆三角不等式の証明は同様に次のようにして得られます。

${\displaystyle d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)\Rightarrow d(A,B)\geq d(A,C)-d(B,C)}$

${\displaystyle d(C,A)+d(A,B)\geq d(C,B)\Rightarrow d(A,B)\geq d(B,C)-d(A,C)}$

これらの方程式をまとめると次のようになります。

${\displaystyle d(A,B)\geq |d(A,C)-d(B,C)|}$

そして逆に、逆三角不等式から始めて、再び 2 つのケースを使用できます。

もし、ならば、 ${\displaystyle d(A,C)-d(B,C)\geq 0}$${\displaystyle d(A,B)\geq |d(A,C)-d(B,C)|=d(A,C)-d(B,C)\Rightarrow d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)}$

そして、その場合、メトリックの非負性によって再び成立します。 ${\displaystyle d(A,C)-d(B,C)<0,}$${\displaystyle d(A,B)+d(B,C)\geq d(B,C)>d(A,C)}$

したがって、どちらの場合も、 であることがわかります。 ${\displaystyle d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)}$

弧の長さに対する三角不等式と逆三角不等式に余弦関数を適用し、余弦に対する角度の加減算公式を用いると、次の式が直ちに導かれる。

$${\displaystyle \operatorname {sim} (u,w)\geq \operatorname {sim} (u,v)\cdot \operatorname {sim} (v,w)-{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (u,v)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (v,w)^{2}\right)}}}$$

そして

$${\displaystyle \operatorname {sim} (u,w)\leq \operatorname {sim} (u,v)\cdot \operatorname {sim} (v,w)+{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (u,v)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (v,w)^{2}\right)}}\,.}$$

これらの式では、検査されるベクトル { u 、 v } の各ペアに対して arccos(sim( u 、 v )) を計算するのではなく、検査されるベクトル{ u、v 、 w }の各トリプルに対して平方根を計算する必要があり、検査されるトリプルの数が検査されるペアの数より少ない場合にパフォーマンスが向上する可能性があります。

ミンコフスキー空間計量は正定値ではないため、ベクトルuがゼロでなくても、符号を持つかゼロになる可能性があります。さらに、 uとv が両方とも未来光円錐にある時間的ベクトルである場合、三角不等式は逆になります。 ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$${\displaystyle \|u\|^{2}=\eta _{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}$

${\displaystyle \|u+v\|\geq \|u\|+\|v\|.}$

この不等式の物理的な例としては、特殊相対論における双子のパラドックスが挙げられます。両方のベクトルが過去光円錐内にあり、一方または両方がヌルベクトルである場合、同じ逆形式の不等式が成立します。結果は任意の 次元に対して成立します。およびによって定義される平面が空間的である場合（したがってユークリッド部分空間である場合）、通常の三角不等式が成立します。 ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

• 劣加法性
• ミンコフスキーの不等式
• プトレマイオスの不等式

• ペドー、ダニエル(1988)。『幾何学：総合コース』ドーバー。ISBN 0-486-65812-0。
• ルディン、ウォルター（1976年）。数学的解析の原理。ニューヨーク：マグロウヒル。ISBN 0-07-054235-X。

• ProofWiki の三角不等式