フレッドホルムのオペレーター

数学において、フレドホルム作用素とは、積分方程式のフレドホルム理論に現れる特定の作用素のことである。これらは、エリック・イヴァル・フレドホルムにちなんで名付けられた。定義によれば、フレドホルム作用素とは、有限次元の核を持つ2つのバナッハ空間間の有界線形作用素T : X → Yである。    ${\displaystyle \ker T}$有限次元（代数的）コカーネル${\displaystyle \operatorname {coker} T=Y/\operatorname {ran} T}$、そして近距離${\displaystyle \operatorname {ran} T}$最後の条件は実際には冗長です。^{[ 1 ]}

フレドホルム演算子のインデックスは整数です

${\displaystyle \operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {codim} \operatorname {ran} T}$

言い換えれば、

${\displaystyle \operatorname {ind} T:=\dim \ker T-\operatorname {dim} \operatorname {coker} T.}$

直感的に言えば、フレドホルム作用素とは「有限次元効果を無視すれば」可逆な作用素のことである。形式的に正しい記述は以下の通りである。有界作用素${\displaystyle T:X\to Y}$バナッハ空間の間 ${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$フレドホルムであるのは、コンパクト作用素を法として可逆である場合、すなわち、有界線形作用素が存在する場合に限る。

${\displaystyle S:Y\to X}$

そのため

${\displaystyle \mathrm {Id} _{X}-ST\quad {\text{および}}\quad \mathrm {Id} _{Y}-TS}$

コンパクト演算子${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$それぞれ。

フレドホルム演算子がわずかに変更されても、フレドホルム演算子のままであり、そのインデックスは同じままです。正式には、フレドホルム演算子の集合は、${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$バナッハ・スペースで営業中${\displaystyle L(X,Y)}$有界線形作用素であり、作用素ノルムを備え、インデックスは局所的に定数である。より正確には、${\displaystyle T_{0}}$フレドホルムは${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$存在する${\displaystyle \varepsilon >0}$すべての${\displaystyle T}$で${\displaystyle L(X,Y)}$と${\displaystyle ||T-T_{0}||<\varepsilon }$はフレドホルムで、指数は${\displaystyle T_{0}}$

いつ${\displaystyle T}$フレドホルムは${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle U}$フレドホルムから${\displaystyle Y}$に${\displaystyle Z}$すると、構成${\displaystyle U\circ T}$フレドホルムは${\displaystyle X}$に${\displaystyle Z}$そして

${\displaystyle \operatorname {ind} (U\circ T)=\operatorname {ind} (U)+\operatorname {ind} (T).}$

いつ${\displaystyle T}$は、転置（または随伴）演算子であるフレドホルムです。${\displaystyle T'}$フレドホルムは${\displaystyle Y'}$に${\displaystyle X'}$、 そして${\displaystyle {\text{ind}}(T')=-{\text{ind}}(T)}$。 いつ${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$ヒルベルト空間の場合、エルミート随伴についても同じ結論が成り立つ。${\displaystyle T^{*}}$。

いつ${\displaystyle T}$フレドホルムと${\displaystyle K}$コンパクトなオペレーター、${\displaystyle T+K}$はフレドホルムです。${\displaystyle T}$このようなコンパクトな摂動の下では変化しない。${\displaystyle T}$これは、インデックスが${\displaystyle {\text{ind}}(T+sK)}$は、すべてのに対して定義される整数です。${\displaystyle s}$で${\displaystyle [0,1]}$、 そして${\displaystyle {\text{ind}}(T+sK)}$は局所的に一定であるため、${\displaystyle {\text{ind}}(T)={\text{ind}}(T+sK)}$。

摂動による不変性は、コンパクト演算子のクラスよりも大きなクラスに対して成り立つ。例えば、${\displaystyle U}$フレドホルムと${\displaystyle T}$厳密に特異な演算子の場合、${\displaystyle T+U}$同じインデックスを持つフレドホルム演算子です。^{[ 2 ]}厳密に特異な演算子のクラスを真に含む非本質的演算子 のクラスは、フレドホルム演算子の「摂動クラス」です。これは、演算子が${\displaystyle T\in B(X,Y)}$必要不可欠でないのは、${\displaystyle T+U}$はすべての Fredholm 演算子の Fredholm です${\displaystyle U\in B(X,Y)}$。

させて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$ヒルベルト空間である。${\displaystyle T:X\to Y}$フレドホルムの場合、分解は次のようになります。$${\displaystyle X=\ker T\oplus (\ker T)^{\perp },\quad Y=\operatorname {ran} T\oplus (\operatorname {ran} T)^{\perp }}$$${\displaystyle T}$は、 と の間の双連続な全単射である。${\displaystyle (\ker T)^{\perp },\operatorname {ran} T}$、そしてそれがフレドホルムであるために、${\displaystyle \ker T,(\operatorname {ran} T)^{\perp }}$有限次元でなければならない。適切な正規直交基底を選択することで、${\displaystyle T}$行列表現を持つ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0_{\operatorname {dim} \operatorname {coker} T\times \dim \ker T}&0\\0&\ddots \end{bmatrix}}}$。

させて${\displaystyle H}$正規直交基底を持つヒルベルト空間とする${\displaystyle \{e_{n}\}}$非負整数でインデックス付けされる。H上の片側シフト演算子Sは次のように定義される。

${\displaystyle S(e_{n})=e_{n+1},\quad n\geq 0.\,}$

この演算子Sは単射（実際には等長）であり、余次元 1 の閉域を持つため、Sはフレドホルムであり、${\displaystyle \operatorname {ind} (S)=-1}$権力${\displaystyle S^{k}}$、${\displaystyle k\geq 0}$、は、インデックス付きフレドホルムです${\displaystyle -k}$随伴S*は左シフトであり、

${\displaystyle S^{*}(e_{0})=0,\ \ S^{*}(e_{n})=e_{n-1},\quad n\geq 1.\,}$

左シフトS*は、指数1のフレドホルムである 。

Hが古典的なハーディ空間である場合${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$複素平面上の単位円T上で、複素指数関数の正規直交基底に関するシフト演算子

${\displaystyle e_{n}:\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\in \mathbf {T} \mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} nt},\quad n\geq 0,\,}$

は関数Mφ_の乗算演算子である。${\displaystyle \varphi =e_{1}}$より一般的に、φ をT上の複素連続関数で、 上でゼロにならないものとする。${\displaystyle \mathbf {T} }$また、T _{φ を}記号φを持つトプリッツ演算子とし、φによる乗算に続いて直交射影を行うこととします。${\displaystyle P:L^{2}(\mathbf {T} )\to H^{2}(\mathbf {T} )}$:

${\displaystyle T_{\varphi }:f\in H^{2}(\mathrm {T} )\mapsto P(f\varphi )\in H^{2}(\mathrm {T} ).\,}$

すると、T _φはフレドホルム作用素となる。${\displaystyle H^{2}(\mathbf {T} )}$閉じた経路の0付近の巻き数に関連するインデックスを持つ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]\mapsto \varphi (e^{it})}$:本稿で定義されるT _φのインデックスは 、この巻き数と逆になります。

閉多様体上の任意の楕円型作用素は、フレドホルム作用素に拡張できる。偏微分方程式におけるフレドホルム作用素の使用は、パラメトリックス法の抽象的な形式である。

アティヤ・シンガー指数定理は、多様体上の特定の作用素の指数を位相的に特徴づけるものである。

アティヤ・ヤーニッヒの定理は、コンパクト位相空間XのK 理論K ( X ) を、 Xからフレドホルム作用素空間H → Hへの連続写像のホモトピー類の集合と同一視する。ここでHは可分ヒルベルト空間であり、これらの作用素の集合は作用素ノルムを持つ。

• DE Edmunds および WD Evans (1987)、『スペクトル理論と微分作用素』、オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-853542-2。
• AG Ramm、「フレドホルム代替の簡単な証明とフレドホルム作用素の特徴付け」、American Mathematical Monthly、108 (2001) p.  855 (注: この論文では、「フレドホルム作用素」という言葉は「指数 0 のフレドホルム作用素」を指します)。
• ワイススタイン、エリック・W. 「フレドホルムの定理」 . MathWorld .
• BV Khvedelidze (2001) [1994]、「フレドホルムの定理」、数学百科事典、EMS Press
• Bruce K. Driver、「コンパクト作用素とフレドホルム作用素およびスペクトル定理」、Analysis Tools with Applications、第35章、579～600ページ 。
• Robert C. McOwen、「完全リーマン多様体上の偏微分方程式のフレドホルム理論」、Pacific J. Math. 87、no. 1 (1980)、169–185。
• Tomasz Mrowka、「線形解析入門：フレドホルム作用素」、多様体の幾何学、2004年秋（マサチューセッツ工科大学：MIT OpenCouseWare）