太鼓の形を聞く

ドラムの形状を聴くということは、数学理論を利用して、ドラムが発する音、つまり倍音のリストからドラムヘッドの形状に関する情報を推測することです。

「太鼓の形が聞こえるか？」は、1966年にマーク・カックがアメリカ数学月刊誌に発表した論文のタイトルで、この疑問は有名になったが、この特定の言い回しはリップマン・バースに由来する。同様の疑問は、 1882年の物理学者アーサー・シュスターにまで遡ることができる。^[1]カックは、この論文により、 1967年にレスター・R・フォード賞、 1968年にショーヴネ賞を受賞した。 ^[2]

ドラムヘッドが振動できる周波数は、その形状によって異なります。形状がわかっている場合、ヘルムホルツ方程式で周波数を計算します。これらの周波数は、空間内のラプラシアンの固有値です。中心的な問題は、周波数がわかっている場合に形状を予測できるかどうか、たとえば、ルーローの三角形をこのように認識できるかどうかです。^[3] Kac は、2 つの異なる形状が同じ周波数セットを生み出す可能性があるかどうかはわからないと認めました。周波数が形状を決定するかどうかという疑問は、1990 年代初頭にCarolyn S. Gordon、David Webb 、およびScott A. Wolpertによって最終的に否定的な回答が得られました。

より正式には、ドラムは境界が固定された弾性膜として考えられます。これは平面内の領域 Dとして表されます。λ n をD_のディリクレ固有値、つまりラプラシアンのディリクレ問題の固有値と表します。

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0\\u|_{\partial D}=0\end{cases}}}$

2 つのドメインが同じ固有値を持つ場合、それらは等スペクトル(またはホモフォニック)であると言われます。ディリクレ固有値はドラムが生成できる基本音そのものであるため、「ホモフォニック」という用語が正当化されます。ディリクレ固有値は、クランプされた境界を持つ解波動方程式のフーリエ係数として自然に現れます。

したがって、質問は次のように言い換えることができます。λ _nの値のみがわかっている場合、Dについて何を推測できますか? または、より具体的には、等スペクトルである 2 つの異なる領域がありますか?

関連する問題は、高次元の領域またはリーマン多様体上のラプラシアンのディリクレ問題、およびコーシー・リーマン作用素やディラック作用素などの他の楕円微分作用素に対して定式化できます。ディリクレ条件以外の境界条件、たとえばノイマン境界条件を課すことができます。関連記事として スペクトル幾何学と等スペクトルを参照してください。

1964年、ジョン・ミルナーは、エルンスト・ウィットによる格子に関する定理から、同じ固有値を持ちながら異なる形状を持つ16次元平坦トーラスのペアが存在することが示唆されると観察しました。しかし、2次元におけるこの問題は、1992年まで未解決のままでした。この年、キャロリン・ゴードン、デビッド・ウェッブ、スコット・ウォルパートが、砂田法に基づいて、平面内に形状は異なるが固有値が同一の領域のペアを構築しました。これらの領域は凹多角形です。両方の領域が同じ固有値を持つことの証明には、ラプラシアンの対称性を使用します。このアイデアは、多数の同様の例を構築したブザー、コンウェイ、ドイル、セムラー^[4]によって一般化されました。したがって、カックの質問に対する答えは、多くの形状について、ドラムの形状を完全に聞き取ることはできない、ということです。ただし、ある程度の情報は推測できます。

一方、スティーブ・ゼルディッチは、解析的境界を持つ特定の凸平面領域に制限を課すと、カックの質問に対する答えが肯定的であることを証明した。2つの非凸解析領域が同じ固有値を持つことができるかどうかはわかっていない。与えられた領域と等スペクトルな領域の集合は、C ^∞位相でコンパクトであることがわかっている。さらに、球面（たとえば）は、チェンの固有値比較定理により、スペクトル的に固定されている。また、オスグッド、フィリップス、サーナックの結果により、与えられた種数のリーマン面のモジュライ空間は、どの点でも連続的な等スペクトルフローを許容せず、フレシェ・シュワルツ位相でコンパクトであることがわかっている。

ワイルの公式によれば、 λ _{n が}どれだけ速く増加するかを数えることでドラムの面積Aを推定できる。N ( R )をRより小さい固有値の個数と定義すると、

${\displaystyle A=\omega _{d}^{-1}(2\pi )^{d}\lim _{R\to \infty }{\frac {N(R)}{R^{d/2}}},}$

ここで、dは次元、はd次元単位球の体積である。ワイルはまた、以下の近似式の次の項がDの周囲長を与えると予想した。言い換えれば、Lが周囲長（または高次元の表面積）を表す場合、 ${\displaystyle \omega _{d}}$

${\displaystyle N(R)=(2\pi )^{-d}\omega _{d}AR^{d/2}\mp {\frac {1}{4}}(2\pi )^{-d+1}\omega _{d-1}LR^{(d-1)/2}+o(R^{(d-1)/2}).}$

滑らかな境界については、 1980 年にVictor Ivriiによってこれが証明されました。多様体は、球面の場合のように、周期測地線の 2 つのパラメータ族を持つことも許可されません。

滑らかでない境界の場合、マイケル・ベリーは1979年に、補正は次のようになると予想した。

${\displaystyle R^{D/2},}$

ここで、D は境界のハウスドルフ次元です。これは J. Brossard と R. A. Carmona によって反証され、ハウスドルフ次元を上側のボックス次元に置き換えることを提案しました。平面では、境界が次元 1 を持つ場合にこれが証明されました (1993) が、より高い次元ではほとんど反証されました (1996)。両方の結果は Lapidus とPomeranceによるものです。

• ガスマントリプル
• 等スペクトル
• スペクトル幾何学
• 円形膜の振動

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• 2つの等スペクトルドラムにおける波動方程式の解を示すシミュレーション
• デラウェア大学のトビー・ドリスコルによるアイソスペクトルドラム
• Peter Buser、John Horton Conway、Peter Doyle、Klaus-Dieter Semmler によるいくつかの平面等スペクトル領域
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