比較的コンパクトな部分空間

数学において、位相空間 $X$ の相対的にコンパクトな部分空間(または相対的にコンパクトな部分集合、あるいはプレコンパクト部分集合) $Yは、その$ 閉包がコンパクトである部分集合です。

プロパティ

コンパクトな位相空間のすべての部分集合は、相対的にコンパクトです (コンパクト空間の閉じた部分集合はコンパクトであるため)。また、任意の位相空間では、相対的にコンパクトな集合のすべての部分集合は、相対的にコンパクトです。

ハウスドルフ空間のすべてのコンパクト部分集合は相対的にコンパクトです。無限集合上の特定の点位相などの非ハウスドルフ空間では、コンパクト部分集合の閉包は必ずしもコンパクトではありません。言い換えると、非ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は必ずしも相対的にコンパクトではありません。

(ハウスドルフでない可能性のある)位相ベクトル空間のすべてのコンパクト部分集合は完全かつ相対的にコンパクトです。

計量位相の場合、またはより一般的にシーケンスを使用してコンパクト性をテストできる場合、相対コンパクト性の基準は、 $Yの任意のシーケンスに$ $X$ に収束するサブシーケンスがあることです。

いくつかの主要な定理は、特に関数空間における、比較的コンパクトな部分集合を特徴づける。一例として、アルツェラ・アスコリ定理がある。他の興味深い事例としては、一様積分可能性や複素解析における正規族の概念などがある。数の幾何学におけるマーラーのコンパクト性定理は、特定の非コンパクト同次空間（具体的には格子空間）における比較的コンパクトな部分集合を特徴づける。

反例として、無限特異点空間の特異点の任意の有限近傍を取り上げます。近傍自体はコンパクトですが、その閉包が非コンパクト空間全体であるため、相対的にコンパクトではありません。

概念レベルでのほぼ周期的な関数 $F$ の定義は、 $F$ の変換が比較的コンパクトな集合であることに関係しています。これは、特定の理論で使用されるトポロジーの観点から正確に行う必要があります。

V. Khatskevich、D.Shoikhet、『微分可能演算子と非線形方程式』、Birkhäuser Verlag AG、バーゼル、1993、270 ページ、12 ページ (Google ブックス)