演算子ノルム

数学において、作用素ノルムは、特定の線形作用素に作用素ノルムと呼ばれる実数を割り当てることによって、それらの「大きさ」を測ります。形式的には、これは、与えられた2つのノルム付きベクトル空間間の有界線形作用素の空間上で定義されるノルムです。非公式には、作用素ノルムは${\displaystyle \|T\|}$線形マップの${\displaystyle T:X\to Y}$これはベクトルを「長くする」最大係数です。これは境界ノルムとも呼ばれます。^{[ 1 ]}

2つのノルム付きベクトル空間が与えられた場合${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$（同じ基底体上で、実数または${\displaystyle \mathbb {R} }$または複素数${\displaystyle \mathbb {C} }$)線形マップ${\displaystyle A:V\to W}$連続であるのは、実数が存在する場合に限る。${\displaystyle c}$^{[ 2 ]}​$$すべての v ∈ V に対して、\displaystyle \|Av\|\leq c\|v\|\quad {\text{$$

左側の基準は${\displaystyle W}$そして右側の規範は${\displaystyle V}$直感的に言えば、連続演算子${\displaystyle A}$どのベクトルの長さも、係数を超えることはありません。${\displaystyle c.}$したがって、連続作用素による有界集合の像も有界である。この性質のため、連続線形作用素は有界作用素とも呼ばれる。${\displaystyle A,}$数値の最小値を取ることができる${\displaystyle c}$上記の不等式がすべてのに対して成り立つ${\displaystyle v\in V.}$ この数値は、${\displaystyle A}$ベクトルを「長くする」。言い換えれば、「サイズ」${\displaystyle A}$は、最大の場合にベクトルをどれだけ「長くする」かによって測定されます。したがって、演算子ノルムを定義します。${\displaystyle A}$として $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\inf\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\text{ for all }}v\in V\}.}$$

下限は、そのようなすべての集合として達成される。${\displaystyle c}$は閉じており、空ではなく、下から境界が定められている。 ^{[ 3 ]}

この演算子ノルムは、ノルム化されたベクトル空間のノルムの選択に依存することを念頭に置いておくことが重要です。${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$。

すべての現実${\displaystyle m}$-による-${\displaystyle n}$行列は、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$に${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$実ベクトル空間に適用可能な多数の（ベクトル）ノルムの各ペアは、すべての演算子ノルムを誘導する。${\displaystyle m}$-による-${\displaystyle n}$実数の行列。これらの誘導ノルムは行列ノルムの部分集合を形成する。

両方にユークリッドノルムを明示的に選択する場合${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$すると、行列に与えられた行列ノルム${\displaystyle A}$は、行列の最大固有値の平方根です。${\displaystyle A^{*}A}$（どこ${\displaystyle A^{*}}$の共役転置を表す${\displaystyle A}$) ^{[ 4 ]} これは、最大の特異値を割り当てることと同等です。${\displaystyle A.}$

典型的な無限次元の例に移り、数列空間を考えてみよう。${\displaystyle \ell ^{2},}$これは、L ^p空間であり、次のように定義されます。 $${\displaystyle \ell ^{2}=\left\{(a_{n})_{n\geq 1}:\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \right\}.}$$

これは、ユークリッド空間の無限次元版と見なすことができる。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ 次に、有界数列を考えます。${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$シーケンス${\displaystyle s_{\bullet }}$空間の要素である${\displaystyle \ell ^{\infty },}$ノルムは次のように与えられる $${\displaystyle \left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }=\sup _{n}\left|s_{n}\right|.}$$

演算子を定義する${\displaystyle T_{s}}$要素ごとの乗算によって： $${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\;{\stackrel {T_{s}}{\mapsto }}\;\ \left(s_{n}\cdot a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$$

オペレーター${\displaystyle T_{s}}$演算子ノルムで制限される $${\displaystyle \left\|T_{s}\right\|_{\text{op}}=\left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }.}$$

この議論は、以下のケースに直接及ぶ。${\displaystyle \ell ^{2}}$一般的なものに置き換えられる${\displaystyle L^{p}}$スペースと${\displaystyle p>1}$そして${\displaystyle \ell ^{\infty }}$に置き換えられました${\displaystyle L^{\infty }.}$

させて${\displaystyle A:V\to W}$ノルム空間間の線形演算子とする。最初の4つの定義は常に同等であり、さらに${\displaystyle V\neq \{0\}}$すると、それらはすべて同等になります。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|A\|_{\text{op}}&=\inf &&\{c\geq 0~&&:~\|Av\|\leq c\|v\|~&&~{\text{ for all }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\leq 1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|<1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\in \{0,1\}~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|=1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}~&&:~v\neq 0~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}.\\\end{alignedat}}}$

もし${\displaystyle V=\{0\}}$すると最後の２行の集合は空になり、結果として集合の上限も空になる。${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$等しくなります${\displaystyle -\infty }$正しい値の代わりに${\displaystyle 0.}$上限が集合に対して取られる場合${\displaystyle [0,\infty ]}$代わりに、空集合の上限は${\displaystyle 0}$そして、これらの公式はあらゆる場合に成り立つ。${\displaystyle V.}$

重要なことに、線形演算子${\displaystyle A:V\to W}$一般的に、その基準値を達成することは保証されていない${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\sup\{\|Av\|:\|v\|\leq 1,v\in V\}}$閉じた単位球上で${\displaystyle \{v\in V:\|v\|\leq 1\},}$つまり、ベクトルが存在しない可能性があるということだ${\displaystyle u\in V}$標準の${\displaystyle \|u\|\leq 1}$そのため${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\|Au\|}$（そのようなベクトルが存在し、${\displaystyle A\neq 0,}$それから${\displaystyle u}$必然的に単位ノルムを持つ${\displaystyle \|u\|=1}$) RC ジェームズは1964 年にジェームズの定理を証明しました。この定理は、バナッハ空間が${\displaystyle V}$は、すべての有界線形汎関数が${\displaystyle f\in V^{*}}$閉じた単位球上でそのノルムを達成する。 ^{[ 5 ]} 特に、すべての非反射的バナッハ空間には、閉じた単位球上でそのノルムを達成しない有界線形汎関数（有界線形作用素の一種）が存在する。

もし${\displaystyle A:V\to W}$有界である場合^{[ 6 ]}$${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\sup \left\{\left|w^{*}(Av)\right|:\|v\|\leq 1,\left\|w^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}v\in V,w^{*}\in W^{*}\right\}}$$ および^{[ 6 ]}$${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\left\|{}^{t}A\right\|_{\text{op}}}$$ どこ${\displaystyle {}^{t}A:W^{*}\to V^{*}}$は の転置です${\displaystyle A:V\to W,}$これは、次のように定義される線形演算子です。${\displaystyle w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.}$

作用素ノルムは、確かに、すべての有界作用素の空間上のノルムである。${\displaystyle V}$そして${\displaystyle W}$。 これはつまり $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}\geq 0{\mbox{ and }}\|A\|_{\text{op}}=0{\mbox{ if and only if }}A=0,}$$$${\displaystyle \|aA\|_{\text{op}}=|a|\|A\|_{\text{op}}{\mbox{ for every scalar }}a,}$$$${\displaystyle \|A+B\|_{\text{op}}\leq \|A\|_{\text{op}}+\|B\|_{\text{op}}.}$$

以下の不等式は、定義から直ちに導かれる結果である。 $${\displaystyle \|Av\|\leq \|A\|_{\text{op}}\|v\|\ {\mbox{ for every }}\ v\in V.}$$

演算子ノルムは、演算子の合成または乗算とも互換性があります。${\displaystyle V}$、${\displaystyle W}$そして${\displaystyle X}$同じ基底体上の 3 つのノルム空間であり、${\displaystyle A:V\to W}$そして${\displaystyle B:W\to X}$2 つの有界演算子である場合、それは劣乗法ノルム、すなわち次のようになります。 $${\displaystyle \|BA\|_{\text{op}}\leq \|B\|_{\text{op}}\|A\|_{\text{op}}.}$$

上の有界作用素について${\displaystyle V}$これは、演算子の乗算が同時連続であることを意味する。

定義から、演算子の列が演算子ノルムにおいて収束する場合、それは有界集合上で一様収束することが導かれる。

計算で使用されるコドメインの異なるノルムを選択することによって${\displaystyle \|Av\|}$、そしてコンピューティングで使用されるドメイン${\displaystyle \|v\|}$演算子ノルムの値は異なります。一般的な演算子ノルムの中には計算が容易なものもあれば、NP困難なものもあります。NP困難なノルムを除いて、これらのノルムはすべて計算可能です。${\displaystyle N^{2}}$操作（${\displaystyle N\times N}$マトリックス）を除いて、${\displaystyle \ell _{2}-\ell _{2}}$規範（${\displaystyle N^{3}}$正確な答えを求めるには演算回数が必要であり、べき乗法やランチョス反復法で近似する場合はそれよりも少ない演算回数で済む。

随伴行列または転置行列のノルムは次のように計算できます。任意の に対して、次の式が成り立ちます。${\displaystyle p,q,}$それから${\displaystyle \|A\|_{p\rightarrow q}=\|A^{*}\|_{q'\rightarrow p'}}$どこ${\displaystyle p',q'}$ヘルダー共役は${\displaystyle p,q,}$つまり、${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$そして${\displaystyle 1/q+1/q'=1.}$

仮定する${\displaystyle H}$は実数または複素数のヒルベルト空間です。${\displaystyle A:H\to H}$は有界線形作用素である。 $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}}$$ そして $${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2},}$$ どこ${\displaystyle A^{*}}$は、の随伴演算子を表す。${\displaystyle A}$（これは、標準的な内積を持つユークリッド空間では、行列の共役転置に対応する）${\displaystyle A}$)

一般的に、スペクトル半径は${\displaystyle A}$は、演算子ノルムによって上から制限される。${\displaystyle A}$: $${\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{\text{op}}.}$$

等号が常に成り立つとは限らない理由を理解するために、有限次元の場合の行列のジョルダン標準形を考えてみましょう。上対角成分に非ゼロ要素が存在するため、等号が成り立たない場合があります。準冪零演算子はそのような例の1つです。非ゼロ準冪零演算子${\displaystyle A}$スペクトルを持つ${\displaystyle \{0\}.}$それで${\displaystyle \rho (A)=0}$その間${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}>0.}$

しかし、行列が${\displaystyle N}$が正規行列である場合、そのジョルダン標準形は（ユニタリ同値を除いて）対角行列になります。これはスペクトル定理です。この場合、次のことが容易にわかります。 $${\displaystyle \rho (N)=\|N\|_{\text{op}}.}$$

この式は、与えられた有界作用素の作用素ノルムを計算するために使用できる場合がある。${\displaystyle A}$:エルミート演算子を定義する${\displaystyle B=A^{*}A,}$そのスペクトル半径を決定し、平方根を取って演算子ノルムを得る。${\displaystyle A.}$

上の有界作用素の空間${\displaystyle H,}$作用素ノルムによって誘導される位相では、分離可能ではない。例えば、Lp空間を考えてみよう。${\displaystyle L^{2}[0,1],}$これはヒルベルト空間です。${\displaystyle 0<t\leq 1,}$させて${\displaystyle \Omega _{t}}$特性関数​${\displaystyle [0,t],}$そして${\displaystyle P_{t}}$乗算演算子は次のように定義される。${\displaystyle \Omega _{t},}$つまり、 $${\displaystyle P_{t}(f)=f\cdot \Omega _{t}.}$$

そしてそれぞれ${\displaystyle P_{t}}$は、作用素ノルムが 1 の有界作用素であり、 $${\displaystyle \left\|P_{t}-P_{s}\right\|_{\text{op}}=1\quad {\mbox{ for all }}\quad t\neq s.}$$

しかし${\displaystyle \{P_{t}:0<t\leq 1\}}$は非可算集合である。これは、上の有界作用素の空間を意味する。${\displaystyle L^{2}([0,1])}$作用素ノルムでは分離不可能である。これは、数列空間が分離不可能であるという事実と比較することができる。${\displaystyle \ell ^{\infty }}$分離できない。

ヒルベルト空間上のすべての有界作用素の結合代数と作用素ノルムおよび随伴作用素は、C*-代数を生成する。

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