ヒルベルト C* モジュール

ヒルベルト C* 加群は、ヒルベルト空間 (それ自体がユークリッド空間の一般化)の概念を一般化する数学的オブジェクトであり、 C* 代数で値を取る 「内積」を線形空間に付与します。

これらは1953年にアーヴィング・カプランスキーの研究で初めて導入され、可換単位代数の理論が展開された（ ただしカプランスキーは単位元の仮定は「重要」ではないと指摘した）。^[1]

^{1970年代に、この理論はウィリアム・リンダル・パシュケ[2]} とマーク・リーフェルによって独立に非可換C*-代数に拡張され、後者はヒルベルトC*-加群を用いてC*-代数の誘導表現の理論を構築した論文を発表した^[3]。

ヒルベルトC*-加群はカスパロフのKK理論の定式化に極めて重要であり^{[4] 、}森田同値 の概念をC*-代数に拡張するための適切な枠組みを提供している。^{[5]これらは}ベクトル束 の非可換C*-代数への一般化と見なすことができ、非可換幾何学、特にC*-代数的量子群論^{[6] [7]} および群C*-代数において重要な役割を果たしている。

をC*-代数（可換または単位元ではないと仮定）とし、その反転をと表記する。内積 - 加群（またはヒルベルト前 -加群）は、互換性のある右- 加群構造と、写像 ${\displaystyle A}$${\displaystyle {}^{*}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{A}:E\times E\rightarrow A}$

次の特性を満たす:

• すべての、、、について、:${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \langle x,y\alpha +z\beta \rangle _{A}=\langle x,y\rangle _{A}\alpha +\langle x,z\rangle _{A}\beta }$

(つまり、内積は2 番目の引数で - 線形です)。${\displaystyle \mathbb {C} }$

• すべての、 、について、次のようになります。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle E}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle x,ya\rangle _{A}=\langle x,y\rangle _{A}a}$

• すべてのについて、:${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=\langle y,x\rangle _{A}^{*},}$

そこから、内積は最初の引数において共役線形である（つまり、二乗線形形式である）ことがわかります。

• 全員対象：${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}\geq 0}$

Aの正の要素という意味で、そして

${\displaystyle \langle x,x\rangle _{A}=0\iff x=0.}$

（C*-代数の元は、非負のスペクトルと自己随伴である場合に正であるという。）^{[8] [9]}${\displaystyle A}$

コーシー・シュワルツの不等式に類似した式が内積加群に対しても成り立つ：^[10]${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}\langle y,x\rangle _{A}\leq \Vert \langle y,y\rangle _{A}\Vert \langle x,x\rangle _ {A}}$

のために、で。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle E}$

プレヒルベルト加群上で、ノルムを次のように定義する。 ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert \langle x,x\rangle _{A}\Vert ^{\frac {1}{2}}.}$

のノルム完備化は、 とも表記され、 C*-代数 上のヒルベルト -加群またはヒルベルト C*-加群と呼ばれます。コーシー・シュワルツ不等式は、内積がノルムに関して共連続であることを意味し、したがって完備化に拡張できます。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

の作用は連続的である。${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle a_{\lambda }\rightarrow a\Rightarrow xa_{\lambda }\rightarrow xa.}$

同様に、 が（の自己随伴要素のネットで、の各 に対して と が になる傾向があるもの）の近似単位である場合、のに対して${\displaystyle (e_{\lambda })}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle ae_{\lambda}}$${\displaystyle e_{\lambda }a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x.}$

したがって、 はにおいて稠密であり、が単位であるとき であることがわかります。 ${\displaystyle EA}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x1_{A}=x}$${\displaystyle A}$

させて

${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}=\operatorname {span} \{\langle x,y\rangle _{A}\mid x,y\in E\},}$

の閉包はにおける両側イデアルです。両側イデアルは C* 部分代数なので、近似単位を持ちます。 がにおいて稠密であることは確認できます。 が において稠密である場合、は完全であるといわれます。これは一般には成り立ちません。 ${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E\langle E,E\rangle _{A}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \langle E,E\rangle _{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$

複素数は複素共役によって与えられる反転を持つ C*-代数なので、複素ヒルベルト空間は複素数とその内積によるスカラー乗算の下での ヒルベルト -加群です。${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

が局所コンパクトハウスドルフ空間であり、上のベクトル束がエルミート計量への射影を持つ場合、 の連続切断の空間はヒルベルト加群である。の切断と が与えられた場合 、右作用は次のように定義される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi \colon E\to X}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle \sigma ,\rho }$${\displaystyle E}$${\displaystyle f\in C(X)}$

${\displaystyle \sigma f(x)=\sigma (x)f(\pi (x)),}$

そして内積は次のように与えられる。

${\displaystyle \langle \sigma ,\rho \rangle _{C(X)}(x):=g(\sigma (x),\rho (x)).}$

逆もまた成り立つ: 可換単位 C*-代数上のすべての可算生成ヒルベルト C*-加群は、上のヒルベルト空間の連続体の無限遠で消える切断の空間に同型である。^[要出典]${\displaystyle A=C(X)}$${\displaystyle X}$

任意のC*-代数は、 における右乗法と内積によって与えられる作用を持つヒルベルト -加群です。C*-恒等式により、ヒルベルト -加群のノルムは における C*-ノルムと一致します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle a,b\rangle =a^{*}b}$${\displaystyle A}$

（代数的）コピーの直和${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{n}=\bigoplus _{i=1}^{n}A}$

を定義することによって ヒルベルト加群にすることができる。${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle (a_{i}),(b_{i})\rangle _{A}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}。 }$

がC*-代数 への射影である場合、 は直和と同じ内積を持つ ヒルベルト -加群でもあります。${\displaystyle p}$${\displaystyle M_{n}(A)}$${\displaystyle pA^{n}}$${\displaystyle A}$

また、次の可算直積の要素の部分空間を考えることもできる。${\displaystyle A}$

${\displaystyle \ell _{2}(A)={\mathcal {H}}_{A}={\Big \{}(a_{i})|\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{*}a_{i}{\text{ }}A{\Big \}} で収束します。}$

明らかな内積（ の内積に類似）を備えた、結果として得られるヒルベルト加群は上の標準ヒルベルト 加群と呼ばれます。 ${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

一意に分離可能なヒルベルト空間が存在するという事実は、 カスパロフの安定化定理の形でヒルベルト加群に一般化されており、これは、可算生成ヒルベルト加群であれば、等長同型が存在することを述べている^[11]。${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E\oplus \ell ^{2}(A)\cong \ell ^{2}(A).}$

と を同じ C*-代数 上の 2 つのヒルベルト加群とします。これらはバナッハ空間であるため、演算子ノルムによってノルムされた、 有界線型写像 のバナッハ空間について話すことができます。${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$

随伴可能演算子とコンパクト随伴可能演算子は、および上の内積構造を使用して定義されるこのバナッハ空間の部分空間です。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

が特別な場合、これらはそれぞれヒルベルト空間上の 有界演算子 とコンパクト演算子に簡約されます 。${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

写像（必ずしも線型ではない） が随伴可能であると定義されるのは、 の随伴写像として知られる別 の写像が存在し、任意の および に対して 、${\displaystyle T\colon E\to F}$${\displaystyle T^{*}\colon F\to E}$${\displaystyle T}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle f\in F}$

${\displaystyle \langle f,Te\rangle =\langle T^{*}f,e\rangle .}$

と は両方とも自動的に線型かつ- モジュール マップになります。閉グラフ定理を使用して、これらも有界であることを示すことができます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle A}$

ヒルベルト空間上の作用素の随伴と同様に、 は（存在する場合）一意であり、随伴 と随伴可能です。 が 2 番目の随伴可能写像である場合、は随伴 と随伴可能です 。 ${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S\colon F\to G}$${\displaystyle ST}$${\displaystyle S^{*}T^{*}}$

随伴演算子は、演算子ノルムに関して完全な の部分空間を形成します。${\displaystyle E\to F}$${\displaystyle \mathbb {B} (E,F)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}(E,F)}$

の場合、からそれ自身への随伴作用素の空間は と表され、C*-代数となる。^[12]${\displaystyle F=E}$${\displaystyle \mathbb {B} (E,E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {B} (E)}$

と が与えられたとき、写像は ヒルベルト空間の 階数1の作用素と同様に、次のように定義される 。${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle f\in F}$${\displaystyle |f\rangle \langle e|\colon E\to F}$

${\displaystyle g\mapsto f\langle e,g\rangle .}$

これは adjoint と共役可能です。 ${\displaystyle |e\rangle \langle f|}$

コンパクト随伴作用素は、 ${\displaystyle \mathbb {K} (E,F)}$

${\displaystyle \{|f\rangle \langle e|\mid e\in E,\;f\in F\}}$

で。 ${\displaystyle \mathbb {B} (E,F)}$

有界演算子と同様に、は と表記されます 。これは の（閉じた、両側の）イデアルです 。^[13]${\displaystyle \mathbb {K} (E,E)}$${\displaystyle \mathbb {K} (E)}$${\displaystyle \mathbb {B} (E)}$

と がC*-代数である場合、 C*-対応は、忠実なの左作用を随伴写像によって備えたヒルベルト -加群です。(注: 一部の著者は、左作用が非退化であることを要求しています。) これらのオブジェクトは、C*-代数の森田同値の定式化に使用されます。テプリッツ代数とクンツ-ピムスナー代数の構築への応用を参照してください。^[14] また、C*-代数のコレクションに二カテゴリの構造を配置するために使用できます。^[15]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

が対応であり、が対応している場合、ベクトル空間としてのとの代数テンソル積は、それぞれ 左および右の- および -モジュール構造を継承します。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (B,C)}$${\displaystyle E\odot F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$

これはまた、純粋テンソル上で定義される - 値セスクイリニア形式 を付与することもできる。${\displaystyle C}$

${\displaystyle \langle e\odot f,e'\odot f'\rangle _{C}:=\langle f,\langle e,e'\rangle _{B}f\rangle _{C}.}$

これは半正定値であり、 結果として得られる半ノルムにおける のハウスドルフ完備化は と表記される。 と の左作用と右作用は これを対応させるように拡張される。^[16]${\displaystyle E\odot F}$${\displaystyle E\otimes _{B}F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (A,C)}$

C*-代数の集合は、C*-代数をオブジェクト、対応を矢印、対応の同型（内積を保存する全単射加群写像）を2-矢印として持つ双圏の構造を付与される。 ^[17]${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle B\to A}$

C*-代数と対応が与えられた場合、そのテプリッツ代数はテプリッツ表現 (以下で定義) の普遍代数として定義されます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle (A,A)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$

古典的なテプリッツ代数は特別なケースとして復元することができ、クンツ・ピムスナー代数はテプリッツ代数の特定の商として定義されます。^[18]

特に、グラフ代数、による交差積${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 、および Cuntz 代数はすべて特定の Toeplitz 代数の商です。

C*代数におけるのテプリッツ表現^[19]は 、線型写像と準同型写像 の ペアであり、 ${\displaystyle E}$${\displaystyle D}$${\displaystyle (S,\phi )}$${\displaystyle S\colon E\to D}$${\displaystyle \phi \colon A\to D}$

• ${\displaystyle S}$「等尺性」です:

${\displaystyle S(e)^{*}S(f)=\phi (\langle e,f\rangle )}$すべて、${\displaystyle e,f\in E}$

• ${\displaystyle S}$双加群マップに似ています:

${\displaystyle S(ae)=\phi (a)S(e)}$およびについてはおよび。${\displaystyle S(ea)=S(e)\phi (a)}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle a\in A}$

テプリッツ代数は普遍テプリッツ表現である。つまり、 における のテプリッツ表現が存在し、 が（任意の代数における）の任意のテプリッツ表現である場合、かつ と なる唯一の*-準同型が存在する 。^[20]${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$${\displaystyle (T,\iota )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(E)}$${\displaystyle (S,\phi )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \Phi \colon {\mathcal {T}}(E)\to D}$${\displaystyle S=\Phi \circ T}$${\displaystyle \phi =\Phi \circ \iota }$

を複素数の代数とし、ベクトル 空間を自然な -bimodule 構造を持つものとすれ ば、対応するテプリッツ代数は、互いに直交する範囲射影を持つ等長変換によって生成される普遍代数となる。 ^[21]${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {C} )}$${\displaystyle n}$

特に、単一の等長変換によって生成される普遍代数は、古典的なテプリッツ代数です。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}(\mathbb {C} )}$

• 演算子代数

• Lance, E. Christopher (1995)。ヒルベルト C* モジュール: 演算子代数学者のためのツールキット。ロンドン数学協会講義ノートシリーズ。イギリス、ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。
• Wegge-Olsen, NE (1993). K理論とC*代数. オックスフォード大学出版局.
• Brown, Nathanial P.; Ozawa, Narutaka (2008). C*-代数と有限次元近似。アメリカ数学会。
• Buss , Alcides; Meyer, Ralf; Zhu, Chenchang (2013). 「c* 代数上のツイスト作用に対する高次のカテゴリーアプローチ」。エディンバラ数学協会紀要。56 (2): 387–426。arXiv : 0908.0455。doi : 10.1017 /S0013091512000259 。
• Fowler, Neal J.; Raeburn, Iain (1999). 「ヒルベルト双加群のテプリッツ代数」.インディアナ大学数学ジャーナル. 48 (1): 155–181. arXiv : math/9806093 . doi :10.1512/iumj.1999.48.1639. JSTOR  24900141.

• ワイスタイン、エリック W.「ヒルベルト C* モジュール」。マスワールド。
• ヒルベルト C* モジュールのホームページ、文献リスト