線形関数

数学では、線形関数という用語は、2つの異なるが関連した概念を指します。^{[ 1 ]}

• 微積分学および関連分野では、線形関数とは、グラフが直線となる関数、すなわち次数がゼロ（定数多項式）または1（線形多項式）の多項式関数を指します。 ^{[ 2 ]}このような線形関数を他の概念と区別するために、アフィン関数という用語がよく用いられます。^{[ 3 ]}
• 線形代数、数学解析、^{[ 4 ]}および関数解析において、線形関数はベクトル空間間の関数の一種である。^{[ 5 ]}

微積分、解析幾何学、および関連分野において、線形関数とは、零多項式を含む、次数が1以下の多項式のことである。（零多項式は項を持たない多項式であり、次数が0とはみなされない。）

関数が1つの変数のみを持つ場合、その形式は次のようになります。

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

ここで、aとbは定数であり、多くの場合実数です。このような1変数関数のグラフは垂直でない直線になります。aは直線の傾き、bは切片と呼ばれることがよくあります。

a > 0 の場合、勾配は正であり、グラフは上向きに傾斜する。

a < 0の場合、勾配は負となり、グラフは下向きに傾斜します。

関数の場合${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}$任意の有限個の変数の一般式は次のとおりである。

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}$

そして、そのグラフは次元kの超平面である。

定数関数も、この文脈では線形関数とみなされます。なぜなら、定数関数は次数が0の多項式、つまり零多項式だからです。変数が1つしかない場合、そのグラフは水平線になります。

この文脈では、線形写像でもある関数（線形関数のもう一つの意味については後述）は、同次線形関数または線形形式と呼ばれることがあります。線形代数の文脈では、次数0または1の多項式関数はスカラー値のアフィン写像です。

線形代数において、線形関数は写像である。${\displaystyle f}$ベクトル空間から${\displaystyle \mathbf {V} }$ベクトル空間へ${\displaystyle \mathbf {W} }$（両方の空間は必ずしも異なるとは限らない。）同じ体K上で、

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$

ここで、a はスカラーの体Kに属する定数(例えば、実数) を表し、xとy はの要素である。${\displaystyle \mathbf {V} }$同じ記号であっても、それはK自体である可能性があります。${\displaystyle +}$xとyの間の加算演算（${\displaystyle \mathbf {V} }$）は、加算演算と必ずしも同じではありません。${\displaystyle f\left(\mathbf {x} \right)}$そして${\displaystyle f\left(\mathbf {y} \right)}$（${\displaystyle \mathbf {W} }$)

言い換えれば、線形関数はベクトル加算とスカラー乗算を保持する。

一部の著者は、スカラー場の値を取る線形マップに対してのみ「線形関数」を使用します。^{[ 6 ]}これらはより一般的には線形形式と呼ばれます。

微積分における「線形関数」は、f (0, ..., 0) = 0の場合（かつその場合に限る）、または、上記の1次多項式において定数b がゼロの場合に、「線形写像」として認められます。幾何学的には、この関数のグラフは原点を通らなければなりません。

• 同次関数
• 非線形システム
• 区分的線形関数
• 線形近似
• 線形補間
• 不連続線形マップ
• 線形最小二乗法

• イズライル・モイセヴィチ・ゲルファンド（1961）『線形代数講義』インターサイエンス・パブリッシャーズ、ニューヨーク。ドーバー社より1989年に復刻。ISBN 0-486-66082-6
• ショアーズ、トーマス S. (2007).応用線形代数と行列解析.数学学部教科書. スプリンガー. ISBN 978-0-387-33195-9。
• スチュワート、ジェームズ（2012）。微積分：初期超越関数（第7 版）。ブルックス/コール。ISBN 978-0-538-49790-9。
• レオニード・N・ヴァザーシュタイン（2006）「線形計画法」、レスリー・ホグベン編『線形代数ハンドブック』、離散数学とその応用、チャップマン・アンド・ホール/CRC、第50章。ISBN 1-584-88510-6