単位球

数学において、単位球とは半径が1の球、すなわち3次元空間のある中心点からユークリッド距離1にある点の集合のことである。より一般的には、単位球は${\displaystyle n}$⁠ -球体は⁠${\displaystyle n}$⁠ -半径1の球体⁠${\displaystyle (n+1)}$⁠ -次元ユークリッド空間。単位円は特殊な場合であり、単位⁠${\displaystyle 1}$平面上の球。開いた単位球は、単位球の内部の領域であり、中心からの距離が 1 未満の点の集合です。

空間の原点を中心とする単位球または単位ボールは、（標準）単位球または（標準）単位ボールと呼ばれます。任意の球は、平行移動と拡大縮小の組み合わせによって単位球に変換できるため、球全般の研究は、多くの場合、単位球の研究に帰着します。

単位球は、断面曲率が常に1であるため計算が簡略化されることから、球面幾何学のモデルとしてよく用いられます。三角法では、単位円上の円弧の長さはラジアンと呼ばれ、角度距離の測定に用いられます。球面三角法では、単位球上の表面積はステラジアンと呼ばれ、立体角の測定に用いられます。

より一般的な文脈では、単位球とは固定された中心点から距離が1である点の集合であり、距離の一般的な概念としてさまざまなノルムが使用できる。また、（開いた）単位球とは、その内部の領域のことである。

ユークリッド空間において​${\displaystyle n}$寸法、​${\displaystyle (n-1)}$次元単位球はすべての点の集合である${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$方程式を満たす $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$$

オープンユニット${\displaystyle n}$-ボールは、不等式を満たすすべての点の集合です。$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}$$そして閉鎖された ユニット${\displaystyle n}$-ボールは、不等式を満たすすべての点の集合です。 $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$$

体積と面積

単位球の古典的な方程式は、半径が 1 の楕円体の方程式であり、 は変更されていません。${\displaystyle x}$⁠ -, ⁠${\displaystyle y}$⁠ -、または⁠${\displaystyle z}$軸 :$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$$

ユークリッド空間における単位球の体積${\displaystyle n}$⁠ -空間​​、および単位球の表面積は、解析学の多くの重要な公式に現れる。単位球の体積は、${\displaystyle n}$⁠ -ボール、これを${\displaystyle V_{n},}$ガンマ関数を用いることで表現できる。 $${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~奇数,} \end{cases}}}$$ どこ${\displaystyle n!!}$は二重階乗です。

のハイパーボリューム⁠${\displaystyle (n-1)}$次元単位球（つまり、境界の「領域」）${\displaystyle n}$（次元単位球）を、${\displaystyle A_{n-1},}$次のように表現できます $${\displaystyle A_{n-1}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}={\begin{cases}{2\pi ^{n/2}}/{(n/2-1)!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~odd.} \end{cases}}}$$ 例えば、${\displaystyle A_{0}=2}$は単位球の境界の「面積」である。${\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }$これは単に2つの点を数えるだけです。${\displaystyle A_{1}=2\pi }$は単位円盤の境界の「面積」であり、単位円の円周に相当します。${\displaystyle A_{2}=4\pi }$は単位球の境界の面積である。$\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}}$これは単位球の表面積である。${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}}$。

いくつかの値における表面積と体積${\displaystyle n}$⁠は以下の通りです。

ここで、10 進数展開値は${\displaystyle n\geq 2}$表示される精度に合わせて四捨五入されます。

再帰

の${\displaystyle A_{n}}$値は再帰を満たす。 $${\displaystyle A_{0}=2}$$$${\displaystyle A_{1}=2\pi }$$$${\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-1}}A_{n-2}}$$のために⁠${\displaystyle n>1}$⁠ .

の${\displaystyle V_{n}}$値は再帰を満たす。 $${\displaystyle V_{0}=1}$$$${\displaystyle V_{1}=2}$$$${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}$$のために⁠${\displaystyle n>1}$⁠ .

非負の実数値次元

価値${\textstyle 2^{-n}V_{n}=\pi ^{n/2}{\big /}\,2^{n}\Gamma {\bigl (}1+{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}}$非負の実数値において${\displaystyle n}$はハウスドルフ測度の正規化に用いられることがある。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

その他の半径

表面積​${\displaystyle (n-1)}$半径を持つ球体${\displaystyle r}$⁠は${\displaystyle A_{n-1}r^{n-1}}$そしてその体積は${\displaystyle n}$半径を持つ球${\displaystyle r}$⁠は${\displaystyle V_{n}r^{n}.}$ 例えば、その地域は${\displaystyle A_{2}=4\pi r^{2}}$半径の三次元球の二次元表面について${\displaystyle r.}$ ボリュームは${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}$半径の三次元球の場合 ${\displaystyle r}$⁠ .

ノルムベクトル空間の開単位球${\displaystyle V}$常識的に考えて${\displaystyle \|\cdot \|}$は $${\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}$$

それは閉じた単位球の位相的内部である。${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$$${\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}$$

後者は前者とそれらの共通境界の非交和であり、単位球である。${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$$${\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}$$

単位球の「形状」は、選択されたノルムに完全に依存します。角を持つこともあり、例えば次のような形になるかもしれません。${\displaystyle [-1,1]^{n}}$最大ノルムの場合、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$通常のヒルベルト空間ノルムに関する単位球として自然に丸い球が得られ、有限次元の場合はユークリッド距離に基づいており、その境界は通常単位球面と呼ばれるものです。

させて ${\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$通常の定義${\displaystyle \ell _{p}}$⁠ - 標準${\displaystyle p\geq 1}$として： $${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$$

それから${\displaystyle \|x\|_{2}}$これは通常のヒルベルト空間ノルムである。 ${\displaystyle \|x\|_{1}}$これはハミングノルムと呼ばれます。${\displaystyle \ell _{1}}$⁠ -規範。条件${\displaystyle p\geq 1}$の定義において必要である${\displaystyle \ell _{p}}$ノルムは、任意のノルム空間における単位球は、三角不等式の結果として凸でなければならないため、となる。${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$最大ノルムまたは⁠${\displaystyle \ell _{\infty }}$⁠ -規範⁠${\displaystyle x}$⁠ .

1次元の円周については、${\displaystyle C_{p}}$2次元単位球については、以下のものが存在する。 $${\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}$$は最小値です。 $${\displaystyle C_{2}=2\pi }$$$${\displaystyle C_{\infty }=8}$$は最大値です。

• ボール
• ⁠${\displaystyle n}$⁠ -球体
• 球
• スーパー楕円
• 単位円
• ユニットディスク
• 単位接線束
• 単位平方

• Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spaces、24ページ、Springer-Verlag。
• デザ、Ｅ． Deza, M. (2006)、Dictionary of Distances、エルゼビア、ISBN 0-444-52087-2欧州数学会ニュースレター64号（2007年6月）、57ページに書評が掲載されています。 本書は、様々な種類の距離を一覧にした形式で構成されており、それぞれの距離について簡単な説明が添えられています。

• ワイスタイン、エリック・W. 「ユニットスフィア」。マスワールド。