量子力学における測定

量子力学では、各物理系はヒルベルト空間に関連付けられており、その各要素は物理系の可能な状態を表します。ジョン・フォン・ノイマンによって体系化されたアプローチは、そのヒルベルト空間上の自己共役演算子による物理系への測定を表し、「観測量」と呼ばれます。^{[ 1 ] : 17}これらの観測量は、古典物理学でおなじみの測定可能な量、すなわち位置、運動量、エネルギー、角運動量などの役割を果たします。ヒルベルト空間の次元は、連続自由度の量子物理学を定義するために使用される直線上の二乗可積分関数の空間のように、無限である場合があります。あるいは、スピン自由度の場合のように、ヒルベルト空間は有限次元である場合もあります。この理論の多くの扱いは、関連する数学がやや要求が少ないため、有限次元の場合に焦点を当てています。実際、量子力学に関する入門物理学の教科書では、有界演算子と非有界演算子の区別、収束の問題（ヒルベルト空間要素の列の極限がヒルベルト空間に属するかどうか）、カントール集合のような固有値の集合の特殊な可能性など、連続値観測量と無限次元ヒルベルト空間で生じる数学的な技術的な詳細をしばしば省略しています。^{[ 2 ] : 79 [ 3 ]}これらの問題はスペクトル理論を使用して満足に解決できます。^{[ 2 ] : 101}本稿では可能な限りそれらを避けます。

フォン・ノイマン観測量の固有ベクトルはヒルベルト空間の正規直交基底を形成し、その測定の可能な各結果は基底を構成するベクトルのいずれかに対応します。密度演算子は、トレースが1 に等しいヒルベルト空間上の正半定値演算子です。^{[ 1 ] [ 2 ]}定義可能な各測定について、その測定結果の確率分布は密度演算子から計算できます。その手順はボルンの規則であり、次のように述べられています。

${\displaystyle P(x_{i})=\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),}$

どこ${\displaystyle \rho }$は密度演算子であり、$\displaystyle \Pi _{i}}$は、測定結果に対応する基底ベクトルへの射影演算子である。${\displaystyle x_{i}}$フォン・ノイマン観測量の固有値の平均を ボルン規則確率で重み付けしたものが、その観測量の期待値である。${\displaystyle A}$量子状態が与えられた場合の期待値${\displaystyle \rho }$は

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (A\rho ).}$

ランク-1 の射影である密度演算子は純粋量子状態として知られており、純粋でないすべての量子状態は混合状態と呼ばれます。純粋状態は波動関数としても知られています。量子システムに純粋状態を割り当てることは、そのシステムに対する何らかの測定の結果について確実であることを意味します (つまり、${\displaystyle P(x)=1}$何らかの結果のために${\displaystyle x}$）混合状態は、純粋状態の凸結合として表すことができますが、一意ではありません。^{[ 4 ]}量子システムの状態空間は、そのシステムに割り当てることができるすべての状態（純粋状態と混合状態）の集合です。

ボルンの規則は、ヒルベルト空間の各単位ベクトルに確率を関連付け、正規直交基底を構成する任意の単位ベクトルの集合に対して、これらの確率の合計が 1 になるようにします。さらに、単位ベクトルに関連付けられた確率は、密度演算子と単位ベクトルの関数であり、そのベクトルを埋め込む基底の選択などの追加情報には依存しません。グリーソンの定理は逆を確立します。これらの条件を満たす単位ベクトル（または同等に、それらに射影する演算子）へのすべての確率の割り当ては、何らかの密度演算子にボルンの規則を適用する形式をとります。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

関数解析と量子測定理論において、正値演算子値測度 (POVM) は、ヒルベルト空間上の正半定値演算子を値とする測度です。POVM は射影値測度(PVM)の一般化であり、同様に、POVM で記述される量子測定は、PVM で記述される量子測定の一般化です。大まかな類推で言えば、POVM は PVM に対して、混合状態が純粋状態に対して持つ関係に相当します。混合状態は、より大きなシステムのサブシステムの状態を指定するために必要です (シュレーディンガー-HJW 定理を参照)。同様に、POVM は、より大きなシステムに対して実行される射影測定がサブシステムに及ぼす影響を記述するために必要です。POVM は量子力学で最も一般的な種類の測定であり、量子場理論でも使用できます。^{[ 8 ]}量子情報分野で広く使用されています。

最も単純なケースでは、有限次元ヒルベルト空間に作用する有限個の要素を持つPOVMは、正半定値行列の集合である。${\displaystyle \{F_{i}\}}$ヒルベルト空間上$\displaystyle {\mathcal {H}}}$合計すると単位行列になる、^{[ 9 ]： 90}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

量子力学では、POVM要素${\displaystyle F_{i}}$測定結果に関連している${\displaystyle i}$量子状態の測定を行った際にそれが得られる確率は${\displaystyle \rho }$は

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$、

どこ${\displaystyle \operatorname {tr} }$はトレース演算子です。測定対象の量子状態が純粋状態の場合${\displaystyle |\psi \rangle }$この式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$。

量子システムに対する測定は、一般的にそのシステムの量子状態の変化をもたらします。POVM を記述するだけでは、この状態変化プロセスを記述するために必要な完全な情報は得られません。^{[ 10 ] : 134}この問題を解決するために、各 POVM 要素を積に分解することで、さらに詳しい情報を指定します。

${\displaystyle E_{i}=A_{i}^{\dagger }A_{i}.}$

クラウス社のオペレーター${\displaystyle A_{i}}$カール・クラウスにちなんで名付けられたこれらの式は、状態変化プロセスの仕様を提供する。^{[ a ]}これらは必ずしも自己共役ではないが、積は${\displaystyle A_{i}^{\dagger }A_{i}}$測定を行った結果が${\displaystyle E_{i}}$初期状態が取得されると、${\displaystyle \rho }$更新されました

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\mathrm {Prob} (i)}}={\frac {A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (\rho E_{i})}}.}$

重要な特殊ケースとして、ゲルハルト・リューダースにちなんで名付けられたリューダース規則がある。^{[ 16 ] [ 17 ]} POVMがそれ自体PVMである場合、クラウス演算子はフォン・ノイマン観測量の固有空間への射影演算子とみなすことができる 。

${\displaystyle \rho \to \rho '={\frac {\Pi _{i}\rho \Pi _{i}}{\operatorname {tr} (\rho \Pi _{i})}}.}$

初期状態${\displaystyle \rho }$純粋であり、プロジェクター$\displaystyle \Pi _{i}}$ランク1を持つので、ベクトルへの射影演算子として記述できます。${\displaystyle |\psi \rangle }$そして${\displaystyle |i\rangle }$それぞれ。したがって、式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |\to \rho '={\frac {|i\rangle \langle i|\psi \rangle \langle \psi |i\rangle \langle i|}{|\langle i|\psi \rangle |^{2}}}=|i\rangle \langle i|.}$

リューダースの規則は、歴史的に「波動パケットの縮小」または「波動関数の崩壊」として知られてきた。^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}純粋状態${\displaystyle |i\rangle }$ これは、フォン・ノイマン観測量に対して確率1の予測を意味する。${\displaystyle |i\rangle }$固有ベクトルとして。量子論の入門書では、量子測定を短時間で繰り返した場合、両方の測定で同じ結果が得られると説明されることが多い。しかし、これは単純化しすぎである。なぜなら、量子測定の物理的な実装には、光子の吸収のようなプロセスが含まれる場合があり、測定後、光子は再び測定されるために存在しないからである。^{[ 9 ]： 91}

正規化を行わないPOVMの測定後のすべての可能な状態を合計することにより、線形かつトレース保存型の完全正のマップを定義できます。

${\displaystyle \rho \to \sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }.}$

これは量子チャネルの一例であり、^{[ 10 ] : 150}測定が行われたが、その測定結果が失われた場合に量子状態がどのように変化するかを表すものと解釈できる。^{[ 10 ] : 159}

有限次元ヒルベルト空間の典型的な例は、量子ビット（キュービット）である。キュービットは、そのヒルベルト空間が2次元である量子システムである。キュービットの純粋状態は、2つの直交基底状態の線形結合として表すことができる。${\displaystyle |0\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$複素係数の場合：

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

測定${\displaystyle (|0\rangle ,|1\rangle )}$基礎は結果をもたらす${\displaystyle |0\rangle }$確率で$\displaystyle |\alpha |^{2}}$そして結果 ${\displaystyle |1\rangle }$確率で$\displaystyle |\beta |^{2}}$正規化により、

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1.}$

量子ビットの任意の状態は、パウリ行列の線形結合として記述でき、これは以下の基底を提供する。$2×2$自己共役行列: ^{[ 10 ] : 126}

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

実際の数字は${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$は単位球内の点の座標であり、

$\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

POVM 要素も同様に表現できますが、POVM 要素のトレースは 1 に固定されていません。パウリ行列はトレースがゼロで、ヒルベルト-シュミット内積に関して互いに直交しているため、座標は${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$州の${\displaystyle \rho }$これらは、パウリ行列によって定義される 3 つのフォン・ノイマン測定の期待値です。^{[ 10 ] : 126}このような測定が量子ビットに適用されると、リューダース規則により、状態は測定結果に対応するパウリ行列の固有ベクトルに更新されます。$\displaystyle \sigma _{z}}$基底状態は${\displaystyle |0\rangle }$そして${\displaystyle |1\rangle }$、そして測定$\displaystyle \sigma _{z}}$はしばしば「計算基底」での測定と呼ばれます。^{[ 10 ] : 76}計算基底での測定の後、$\displaystyle \sigma _{x}}$または$\displaystyle \sigma _{y}}$測定結果には最大限の不確実性がある。

一対の量子ビットが組み合わさって、ヒルベルト空間が4次元となるシステムを形成する。このシステムにおける重要なフォン・ノイマン測定の一つは、ベル基底によって定義されるものであり、^{[ 21 ]： 36}最大エンタングル状態の4つのセットである。

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Phi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Phi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})\\|\Psi ^{+}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\\|\Psi ^{-}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})\end{aligned}}}$

連続自由度に適用される量子力学の一般的で有用な例として、量子調和振動子が挙げられる。^{[ 22 ]： 24}このシステムはハミルトニアンによって定義される。

${\displaystyle {H}={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{x}^{2},}$

どこ${\displaystyle {H}}$運動量演算子${\displaystyle {p}}$位置演算子${\displaystyle {x}}$は、実数直線上の二乗可積分関数のヒルベルト空間上の自己共役作用素である。エネルギー固有状態は、時間独立シュレディンガー方程式を満たす。

${\displaystyle {H}|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

これらの固有値は次のように表されることが示される。

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right),}$

これらの値は、振動子に対するエネルギー測定の可能な数値結果を示します。調和振動子に対する位置測定の可能な結果の集合は連続的であるため、予測は確率密度関数で表されます。${\displaystyle P(x)}$これは、測定結果が次の微小区間内にある確率を示します。${\displaystyle x}$に${\displaystyle x+dx}$。

古い量子論は、1900年から1925年までの成果の集まりであり^{[ 23 ]、}現代の量子力学より前のものです。この理論は決して完全でも自己無矛盾でもなく、むしろ古典力学に対する一連のヒューリスティックな修正でした^{[ 24 ]}。この理論は現在、現代の量子力学に対する半古典的近似として理解されています^{[ 25 ] [ 26 ]} 。この時期の注目すべき成果には、マックス・プランクによる黒体放射スペクトルの計算、アルベルト・アインシュタインによる光電効果の説明、アインシュタインとピーター・デバイによる固体の比熱に関する研究、ニールス・ボーアとヘンドリカ・ファン・レーウェンによる古典物理学では磁性を説明できないことの証明、ボーアの水素原子モデル、アーノルド・ゾンマーフェルトによる相対論的効果を含むボーアモデルの拡張などがあります。

1921 年に提案され、1922 年に実施されたシュテルン＝ゲルラッハ実験^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}は、離散的な結果の集合を持つ量子測定の典型的な例となった。元の実験では、銀原子が空間的に変化する磁場を通過し、ガラススライドなどの検出器スクリーンに衝突する前に偏向された。磁気モーメントがゼロでない粒子は、磁場勾配により直線経路から偏向される。粒子の量子化されたスピンにより、スクリーンは連続的な分布ではなく、離散的な蓄積点を明らかにする。^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

ヴェルナー・ハイゼンベルクによる1925年の論文は、英語では「運動学的および力学的関係の量子論的再解釈」として知られており、量子物理学の成熟における重要な転換点となった。^{[ 33 ]}ハイゼンベルクは、「観測可能な」量のみに依存する原子現象の理論を構築しようとした。当時、そして後の量子力学の標準的な説明とは対照的に、ハイゼンベルクは原子内に束縛された電子の位置を「観測可能」とは考えていなかった。代わりに、彼が関心を持った主な量は、原子によって放出または吸収される光の周波数であった。^{[ 33 ]}

不確定性原理はこの時代に遡ります。この原理は、電子の位置と運動量を同時に測定しようとする思考実験を分析する際にこの概念を導入したハイゼンベルクにしばしば帰せられます。しかし、ハイゼンベルクはこれらの測定における「不確定性」が何を意味するのかを正確な数学的定義を与えませんでした。位置と運動量の不確定性原理の正確な数学的記述は、アール・ヘッセ・ケナード、ヴォルフガング・パウリ、ヘルマン・ワイルによるものであり、非可換な観測量の任意のペアへの一般化は、ハワード・P・ロバートソンとエルヴィン・シュレーディンガーによるものです。^{[ 34 ] [ 35 ]}

書き込み${\displaystyle {x}}$そして${\displaystyle {p}}$位置と運動量をそれぞれ表す自己共役演算子について、位置の標準偏差は次のように定義できる。

${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {x}^{2}\rangle -\langle {x}\rangle ^{2}}},}$

そして勢いについても同様です。

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {p}^{2}\rangle -\langle {p}\rangle ^{2}}}.}$

ケナード・パウリ・ワイル不確定性関係は

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$

この不等式は、量子粒子のいかなる準備も、位置の測定と運動量の測定の両方について同時に正確な予測を導くことはできないことを意味する。^{[ 36 ]}ロバートソン不等式は、これを任意の自己共役演算子のペアの場合に一般化する。${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$これら2つの演算子の交換子は

${\displaystyle [A,B]=AB-BA,}$

そしてこれは、標準偏差の積の下限値を示す。

${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [A,B]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [A,B]\rangle \right|.}$

正準交換関係を代入すると${\displaystyle [{x},{p}]=i\hbar }$1925年にマックス・ボルンによって初めて提唱された表現^{[ 37 ]}は、不確定性原理のケナード・パウリ・ワイルの記述を再現する。

不確定性原理の存在は、量子力学がより厳密な理論の近似として理解できるかどうかという疑問を当然提起する。量子理論自体で扱われる量よりも根本的な「隠れた変数」が存在し、それを知れば量子理論が提供できるよりも正確な予測が可能になるのだろうか？ベルの定理をはじめとする一連の研究結果は、そのような隠れた変数理論の広範なクラスが実際には量子物理学と相容れないことを示している。

ジョン・スチュワート・ベルは、 1964 年に現在彼の名で知られる定理を発表し、1935 年にアインシュタイン、ボリス・ポドルスキー、ネイサン・ローゼンによって最初に提案された思考実験をより深く調査した。^{[ 38 ] [ 39 ]}ベルの定理によれば、自然が実際に局所隠れ変数の理論に従って動作する場合、ベルテストの結果は特定の定量化可能な方法で制約される。ベルテストが実験室で実行され、結果がこのように制約されない場合、局所隠れ変数が存在するという仮説と矛盾する。このような結果は、古典物理学の規則により合致する、より根本的な自然の記述によって量子力学の現象を説明する方法はないという立場を支持することになる。物理学の実験室では多くの種類のベルテストが実行されており、多くの場合、原理的には以前のベルテストの結果の妥当性に影響を与える可能性のある実験設計やセットアップの問題を改善することを目的としている。これは「ベルテストの抜け穴を塞ぐ」として知られています。現在までに、ベルテストでは、局所隠れ変数の仮説は物理システムの挙動と矛盾することがわかっています。^{[ 40 ] [ 41 ]}

ロバートソン・シュレーディンガーの不確定性原理は、2 つの観測量が可換でない場合、それらの間の予測可能性にトレードオフがあることを示している。ウィグナー・アラキ・ヤナセの定理は、非可換性のもう 1 つの結果を示している。保存則の存在は、保存量と可換でない観測量の測定精度を制限する。^{[ 42 ]}この方向でのさらなる研究は、ウィグナー・ヤナセの歪情報量の定式化につながった。^{[ 43 ]}

歴史的に、量子物理学の実験はしばしば半古典的な用語で記述されてきた。たとえば、シュテルン・ゲルラッハ実験における原子のスピンは量子自由度として扱われるかもしれないが、原子はマクスウェル方程式の古典理論で記述される磁場の中を運動していると見なされる。 [ ^{2 ] : 24しかし}、実験装置を構築するために使用されるデバイス自体が物理システムであるため、量子力学もそれらに適用できるはずである。1950年代から、レオン・ローゼンフェルト、カール・フリードリヒ・フォン・ヴァイツゼッカーらは、量子力学的システムを測定装置として扱うことができる場合を表現する整合性条件を開発しようと試みた。^{[ 44 ]}測定装置の一部として使用されるシステムが半古典的にモデル化できる場合に関する基準の提案の1つは、ウィグナー関数に基づいている。これは、あらゆる場所で非負である場合に位相空間上の確率分布として扱うことができる準確率分布である。^{[ 2 ]： 375}

不完全に隔離された系の量子状態は、一般的に環境の量子状態と絡み合うように進化します。したがって、系の初期状態が純粋であっても、系と環境の結合状態の部分トレースを取ることによって得られる後の時点での状態は混合状態になります。系と環境の相互作用によって生じるこの絡み合い現象は、系が原理的に発現しうる量子力学のより特異な特徴を覆い隠す傾向があります。この効果は量子デコヒーレンスとして知られており、1970年代に初めて詳細に研究されました。^{[ 45 ]}（量子力学の極限として古典物理学がどのように得られるかについての以前の研究では、不完全に隔離された系の主題が探求されていましたが、絡み合いの役割は十分に認識されていませんでした。^{[ 44 ]} ）量子コンピューティング研究における努力の大部分は、デコヒーレンスの有害な影響を回避することです。^{[ 46 ] [ 21 ] : 239}

例として、${\displaystyle \rho _{S}}$システムの初期状態を表す。${\displaystyle \rho _{E}}$環境の初期状態と${\displaystyle H}$システムと環境の相互作用を規定するハミルトニアン。密度演算子${\displaystyle \rho _{E}}$対角化することができ、その固有ベクトルへの射影演算子の線形結合として表すことができる。

${\displaystyle \rho _{E}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|.}$

一定期間の時間変化を表現する${\displaystyle t}$ユニタリ演算子によって${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$この進化後のシステムの状態は

${\displaystyle \rho _{S}'={\rm {tr}}_{E}U\left[\rho _{S}\otimes \left(\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\right)\right]U^{\dagger },}$

これは次のように評価されます

${\displaystyle \rho _{S}'=\sum _{ij}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{j}|U|\psi _{i}\rangle \rho _{S}{\sqrt {p_{i}}}\langle \psi _{i}|U^{\dagger }|\psi _{j}\rangle .}$

周囲の量${\displaystyle \rho _{S}}$これらはクラウス演算子として識別できるため、量子チャネルが定義される。^{[ 45 ]}

システムと環境間の相互作用の形式を指定することで、「ポインタ状態」と呼ばれる一連の状態を確立できます。これは、全体的な位相因子を除いて、環境変動に対して（おおよそ）安定なシステムの状態です。ポインタ状態の集合は、システムのヒルベルト空間の好ましい正規直交基底を定義します。^{[ 2 ]： 423}

フォン・ノイマンエントロピーは、量子状態によって表される統計的不確実性の尺度である。密度行列の場合${\displaystyle \rho }$フォン・ノイマンエントロピーは

${\displaystyle S(\rho )=-{\rm {tr}}(\rho \log \rho );}$

書き込み${\displaystyle \rho }$固有ベクトルの基底に関して言えば、

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\lambda _{i}|i\rangle \langle i|,}$

フォン・ノイマンエントロピーは

${\displaystyle S(\rho )=-\sum _{i}\lambda _{i}\log \lambda _{i}.}$

これは、確率分布として解釈される固有値の集合のシャノンエントロピーであり、したがって、フォンノイマンエントロピーは、の固有基底で測定することによって定義される確率変数のシャノンエントロピーである。${\displaystyle \rho }$結果として、フォン・ノイマンエントロピーは、${\displaystyle \rho }$純粋である。^{[ 10 ]： 320}フォン・ノイマンエントロピー${\displaystyle \rho }$量子状態が与えられた場合の測定における最小シャノンエントロピーとして等価に特徴づけることができる${\displaystyle \rho }$ランク1要素を持つすべてのPOVMを最小化する。^{[ 10 ]： 323}

量子情報理論で使用される他の多くの量も、測定の観点から動機と正当性を見出すことができる。例えば、量子状態間のトレース距離は、2つの量子状態が測定結果に対して示唆しうる確率の最大差に等しい。 ^{[ 10 ]： 254}

${\displaystyle {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||=\max _{0\leq E\leq I}[{\rm {tr}}(E\rho )-{\rm {tr}}(E\sigma )].}$

同様に、2 つの量子状態の忠実度は、次のように定義されます。

${\displaystyle F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {Tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2},}$

これは、一方の状態が他方の状態の準備が成功したかどうかを識別するテストに合格する確率を表します。トレース距離は、フックス・ファン・デ・グラーフの不等式を介して忠実度の境界を提供します。^{[ 10 ] : 274}

${\displaystyle 1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq {\frac {1}{2}}||\rho -\sigma ||\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}.}$

量子回路は、量子計算のモデルであり、計算は一連の量子ゲートとそれに続く測定から成ります。^{[ 21 ] : 93}ゲートは、nビットレジスタの量子力学的類似物に対する可逆変換です。この類似構造は、 n量子ビットレジスタと呼ばれます。回路図に様式化されたポインタダイヤルとして描かれる測定は、計算のステップが実行された後、量子コンピュータから結果がどこでどのように得られるかを示します。一般性を失うことなく、ゲートのセットが単一量子ビットのユニタリ変換と量子ビットのペアに対する制御NOTゲートであり、すべての測定が計算基底にある標準回路モデルを扱うことができます。^{[ 21 ] : 93 [ 47 ]}

測定ベース量子計算（MBQC）は、量子コンピューティングのモデルであり、非公式に言えば、コンピュータとして機能する物理システムを測定する行為によって質問への回答が生成される。^{[ 21 ]： 317 [ 48 ] [ 49 ]}

量子状態トモグラフィーは、量子測定の結果を表すデータセットが与えられたときに、それらの測定結果と一致する量子状態を計算するプロセスです。^{[ 50 ]}これは、 CTスキャンのように、3次元画像をスライスから再構成するトモグラフィーにちなんで名付けられました。量子状態のトモグラフィーは、量子チャネルのトモグラフィー^{[ 50 ]や、測定のトモグラフィー[ 51 ]}にまで拡張できます。

量子計測学は、量子物理学を利用して、一般的に古典物理学で意味を持つ量の測定を支援するもので、例えば、量子効果を利用して長さの測定精度を高めることなどが挙げられる。^{[ 52 ]}有名な例としては、 LIGO実験にスクイーズド光を導入し、重力波に対する感度を高めたことが挙げられる。^{[ 53 ] [ 54 ]}