二次関数

数学では、二次変分はブラウン運動やその他のマルチンゲールなどの確率過程の解析に使用されます。二次変分は、過程の 変分の一種にすぎません。

が確率空間上で定義され、時間指数が非負の実数の範囲にある実数値確率過程であるとする。その二次変化は と書かれ、次のように定義される 過程である。${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle t}$${\displaystyle [X]_{t}}$

${\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}$

ここで、 は区間 の分割にわたって範囲を取り、分割のノルムはメッシュです。この極限は、存在する場合、確率 の収束を使用して定義されます。プロセスは、ここで与えられた定義の意味で有限の 2 次変化である可能性があり、それにもかかわらず、そのパスは、すべての分割の合計の上限を取るという古典的な意味で、ほぼ確実に、任意のに対して無限の1 変化である可能性があることに注意してください。これは、特にブラウン運動の場合に当てはまります。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [0,t]}$${\displaystyle P}$${\displaystyle t>0}$

より一般的には、2つのプロセスと間の共分散（または相互分散）は ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right).}$

共変動は、分極恒等式による2次変動として表すことができます。

${\displaystyle [X,Y]_{t}={\tfrac {1}{2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t}).}$

表記: 2 次変化は または としても表記されます。 ${\displaystyle \langle X\rangle _{t}}$${\displaystyle \langle X,X\rangle _{t}}$

プロセスが有限の時間間隔ごとに制限された変化を持つ場合(確率 1)、そのプロセスは有限変化を持つと言われます。このようなプロセスは、特にすべての連続微分可能関数を含め、非常に一般的です。二次変化はすべての連続有限変化プロセスに存在し、ゼロです。 ${\displaystyle X}$

この記述は非連続過程に一般化できます。任意のcàdlàg有限変化過程は、のジャンプの二乗の合計に等しい二次変化を持ちます。これをより正確に述べると、に対するの左極限は で表され、の時刻におけるジャンプは と表すことができます。この場合、二次変化は次のように表されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X_{t-}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}}$

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}.}$

連続有限変化過程がゼロの二次変化を持つことの証明は、次の不等式から得られます。ここで、は区間 の分割であり、 は上のの変化です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle [0,t]}$${\displaystyle V_{t}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,t]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}&\leq \max _{k\leq n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^{n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\\&\leq \max _{|uv|\leq \Vert P\Vert }|X_{u}-X_{v}|V_{t}(X).\end{aligned}}}$

の連続性により、 がゼロに近づく につれて、これは極限で消えます。${\displaystyle X}$${\displaystyle \Vert P\Vert }$

標準的なブラウン運動 の2次変分が存在し、 で与えられるが、定義における極限は の意味で意味され、経路的ではない。これは伊藤過程に一般化され、定義により伊藤積分で表現できる。${\displaystyle B}$${\displaystyle [B]_{t}=t}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,d[B]_{s}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds,\end{aligned}}}$

ここでブラウン運動である。このような過程は次式で表される2次変化を持つ。 ${\displaystyle B}$

${\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,ds.}$

すべてのセミマルチンゲールの2次変分と共変分が存在することが証明されている。これらは確率論の重要な部分を形成し、連鎖律を伊藤積分に一般化した伊藤の補題に現れる。2次共変分は部分積分公式 にも現れる。

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},}$

これを使って計算することができます。 ${\displaystyle [X,Y]}$

あるいは、これは確率微分方程式として書くこともできます。

${\displaystyle \,d(X_{t}Y_{t})=X_{t-}\,dY_{t}+Y_{t-}\,dX_{t}+\,dX_{t}\,dY_{t},}$

どこ${\displaystyle \,dX_{t}\,dY_{t}=\,d[X,Y]_{t}.}$

すべてのcàdlàgマルチンゲールとローカル マルチンゲールは、明確に定義された二次変分を持ちます。これは、そのようなプロセスがセミマルチンゲールの例であるという事実から導かれます。一般的な局所的に二乗積分可能なマルチンゲールの二次変分は、ジャンプなどを伴う、ゼロから始まる唯一の右連続増加プロセスであり、ローカル マルチンゲールであることが示されます。(確率計算を使用しない) の存在証明は、Karandikar–Rao (2014) で示されています。 ${\displaystyle [M]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Delta [M]=\Delta M^{2}}$${\displaystyle M^{2}-[M]}$${\displaystyle M}$

二乗積分マルチンゲールの有用な結果は伊藤等長変換であり、これは伊藤積分の分散を計算するために使用できる。

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\left(\int _{0}^{t}H\,dM\right)^{2}\right)=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).}$

この結果は、が càdlàg 平方積分可能マルチンゲールであり、 が有界予測可能プロセスである場合に常に成立し、伊藤積分の構築によく使用されます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$

もう一つの重要な結果は、バークホルダー・デイビス・ガンディ不等式である。これは、2次変分の観点からマルチンゲールの最大値の境界を与える。ゼロから始まり、最大値が で表され、任意の実数 である局所マルチンゲールの場合、不等式は次のようになる。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M_{t}*=\operatorname {sup} _{s\in [0,t]}|M_{s}|}$${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle c_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2})\leq \operatorname {E} ((M_{t}^{*})^{p})\leq C_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2}).}$

ここで、は の選択に依存する定数ですが、使用されるマルチンゲールや時間には依存しません。 が連続ローカルマルチンゲールである場合、任意の に対して Burkholder–Davis–Gundy 不等式が成立します。 ${\displaystyle c_{p}<C_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle t}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p>0}$

代替プロセスである予測可能な二次変分は、局所的に二乗積分可能なマルチンゲールに使用されることがあります。これは と書かれ、 が局所マルチンゲールであるような、ゼロから始まる唯一の右連続かつ増加する予測可能なプロセスとして定義されます。その存在はDoob–Meyer 分解定理に従っており、連続した局所マルチンゲールの場合、二次変分と同じです。 ${\displaystyle \langle M_{t}\rangle }$${\displaystyle M^{2}-\langle M\rangle }$

• 総変動
• 制限された変動
• p変化

• プロッター、フィリップ E. (2004)、確率積分と微分方程式(第 2 版)、Springer、ISBN 978-3-540-00313-7
• カランディカール、ラジーヴァ L.。バージニア州ラオ (2014)。 「マーチンゲールの二次変分について」。議事録 - 数理科学。124 (3): 457–469。土井：10.1007/s12044-014-0179-2。S2CID  120031445。