ロビン境界条件

数学において、ロビン境界条件（ロビンきょうかいじょうけん、 フランス語: [ʁɔbɛ̃] ）あるいは第三種境界条件は、境界条件の一種であり、ヴィクトル・ギュスターヴ・ロビン（ 1855–1897）にちなんで名付けられました。[ 1 ^]常微分方程式または 偏微分方程式に課される場合、これは関数の値とその導関数の値の線形結合を領域の境界上で指定するものです。使用されている他の同義語には、フーリエ型条件や放射条件があります。^[2]

ロビン境界条件は、ディリクレ境界条件とノイマン境界条件の重み付けされた組み合わせです。これは、境界の異なるサブセットに指定された異なるタイプの境界条件である混合境界条件とは対照的です。ロビン境界条件は、電磁気問題への応用からインピーダンス境界条件とも呼ばれ、熱伝達問題への応用から対流境界条件とも呼ばれます(Hahn、2012)。

Ωが与えられた方程式を解く領域であり、∂Ωがその境界を表す場合、ロビン境界条件は次のようになる: ^[3]

${\displaystyle au+b{\frac {\partial u}{\partial n}}=g\qquad {\text{on }}\partial \Omega }$

非ゼロ定数 aとbと、∂Ω上で定義された与えられた関数gに対して。ここで、uはΩ上で定義された未知の解であり、⁠∂uは/∂nの⁠ は境界での正規微分を表します。より一般的には、 aとb は定数ではなく（与えられた）関数であることが許可されます。

1次元では、例えばΩ = [0,1]の場合、ロビン境界条件は次の条件になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}au(0)-bu'(0)&=g(0)\\au(1)+bu'(1)&=g(1)\end{aligned}}}$

導関数を含む項の前の符号の変化に注意してください。これは、0 では [0,1] の法線が負の方向を指し、1 では正の方向を指すためです。

ロビン境界条件は、科学や工学の多くの場面で登場するSturm-Liouville 問題を解く際によく使用されます。

さらに、ロビン境界条件は、対流拡散方程式の断熱境界条件の一般的な形式です。ここで、境界における対流フラックスと拡散フラックスの合計はゼロになります。

${\displaystyle u_{x}(0)\,c(0)-D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}}=0}$

ここで、Dは拡散定数、uは境界での対流速度、c は濃度です。2 番目の項は、フィックの拡散の法則の結果です。

• Gustafson, K. および T. Abe、(1998a)。第 3 の境界条件 - それは Robin のものだったのか?、The Mathematical Intelligencer、20、#1、63-71。
• Gustafson, K. および T. Abe、(1998b)。(Victor) Gustave Robin: 1855–1897、The Mathematical Intelligencer、20、#2、47–53。
• Eriksson, K.; Estep, D.; Johnson, C. (2004).応用数学、身体と魂。ベルリン; ニューヨーク: Springer。ISBN 3-540-00889-6。

• アトキンソン、ケンドール E.、ハン、ウェイミン (2001)。理論数値解析：機能解析フレームワーク。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-95142-3。

• Eriksson, K.; Estep, D.; Hansbo, P.; Johnson, C. (1996).計算微分方程式. ケンブリッジ; ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-56738-6。

• Mei, Zhen (2000).反応拡散方程式の数値分岐解析. ベルリン; ニューヨーク: Springer. ISBN 3-540-67296-6。

• Hahn, David W.; Ozisk, MN (2012).熱伝導、第3版。ニューヨーク: Wiley。ISBN 978-0-470-90293-6。