射影空間

グラフィック的な観点から見ると、平面上の平行線（水平線）は消失点（地平線上）で交わります。

数学において、射影空間の概念は、平行線が無限遠で交わるように見える遠近法の視覚効果に由来する。したがって、射影空間は、ユークリッド空間、あるいはより一般的には、平行線の各方向にそれぞれ1点ずつ無限遠点が存在するような、無限遠点を持つアフィン空間の拡張と見なすことができる。

この射影空間の定義には、等方性ではないという欠点があり、証明において別々に考慮しなければならない 2 種類の異なる点が存在する。そのため、一般的には他の定義が好まれる。定義には 2 つのクラスがある。総合幾何学では、点と線は、射影幾何学の公理に従う「点が線上にある」または「線が点を通る」という関係によって関連付けられる基本的実体である。そのような公理の集合によっては、定義される射影空間は、現代の教科書でより頻繁に見られる次の定義から得られる射影空間と等価であることが示される。

線形代数を用いると、次元 $n$ の射影空間は、次元 $n$ $+ 1の$ ベクトル空間 $V内の$ ベクトル直線（すなわち、次元 1 のベクトル部分空間）の集合として定義される。言い換えれば、それは $V$ $\ {0}$ を「同じベクトル直線上にある」という同値関係で割った商集合である。ベクトル直線は $V$ の単位球と 2 つの対蹠点で交わるため、射影空間は対蹠点が同一視される球として等価に定義できる。次元 1 の射影空間は射影直線であり、次元 2 の射影空間は射影平面である。

射影空間は幾何学において広く用いられており、より簡潔な記述や証明を可能にする。例えば、アフィン幾何学では、平面上の2つの異なる直線は最大で1点で交わるが、射影幾何学では、ちょうど1点で交わる。また、円錐曲線は1種類しかなく、それは無限遠点との交点によってのみ区別される。双曲線は2つの交点を持ち、放物線は無限遠点に接する1つの交点を持ち、楕円は実数交点を持たない。

位相幾何学、特に多様体理論において、射影空間は基本的な役割を果たしており、非可定向多様体の典型的な例である。

モチベーション

前述のように、射影空間は「同一平面上にある2本の直線はちょうど1点で交わり、直線が平行であればその点は無限遠にある」といった命題を形式化するために導入されました。このような命題は透視図法の研究から示唆されており、透視図法は3次元空間を平面に中心投影したものと考えることができます（ピンホールカメラモデルを参照）。より正確には、カメラの入射瞳または観察者の目の入射瞳が投影の中心であり、像は投影面上に形成されます。

数学的には、投影の中心は空間内の点 $O$ (図中の軸の交点) であり、投影面 (図中の青色の $P 2$ $) はOを通らない平面であり、$ デカルト座標を考える場合、方程式 $z = 1$ の平面が選ばれることが多い。中心投影では、点 $Pは直線$ $OP$ と投影面の交点に写像される。このような交点は、点 $Pが$ $Oを通り$ $P$ $2$ に平行な平面 (図中の緑色の $P$ $1$ )に属さない場合に限り存在する。

$したがって、 O$ を通る直線は、互いに素な 2 つの部分集合に分割されます。1 つは $P 1$ に含まれない直線で、 $P 2$ の点と 1 対 1 で対応し、もう 1 つは $P 1に含まれる直線で、$ $P 2$ の平行線の方向と 1 対 1 で対応します。このことから、射影平面の点(ここでは分かりやすくするために射影点と呼びます) を $O$ を通る直線として定義することが考えられます。この平面の射影直線は、 $O$ を通る平面に含まれるすべての射影点 (直線) から構成されます。O を通る 2 つの平面の交点は O を通る直線であるため $、$ $2$ つの異なる射影直線の交点は 1 つの射影点から構成されます。平面 $P 1は$ $、$ $P$ $2$ の無限遠直線 と呼ばれる射影直線を定義します。P $2$ の各点を対応する射影点と同一視することにより、射影平面は $P$ $2$ と (射影) 無限遠直線の非交和であると言えます。

特異点 $Oを持つ$ アフィン空間は、それに対応するベクトル空間と同一視できるため（「アフィン空間」§ 「アフィン空間としてのベクトル空間」を参照）、前述の構成は一般にベクトル空間から開始して行われ、射影化と呼ばれます。また、任意の正次元のベクトル空間から開始して構成することも可能です。

$したがって、 n$ 次元の射影空間は、 $n$ $+1次元のベクトル空間における$ ベクトル線（1次元のベクトル部分空間）の集合として定義できる。また、射影空間は、このベクトル線の集合と自然に対応する任意の集合の要素としても定義できる。

この集合は、「一方のベクトルが他方のベクトルにゼロ以外のスカラーを掛けたものである」という同値関係に基づくベクトル間の同値類の集合である。言い換えれば、これは射影空間を、ゼロベクトルを除去したベクトル直線の集合として定義することに等しい。

$3つ目の同等の定義は、次元n$ の射影空間を、次元 $n$ の球面（次元 $n$ $+1$ の空間内）における対蹠点のペアの集合として定義することである。

意味

体 $K$ 上のベクトル空間 $V$ が与えられたとき、射影空間 $P$ $($ $V$ $)$ は、 $K$ の非零元 $λが存在して$ $x$ $=$ $λy$ となる場合に $x$ $~$ $y$ と定義される同値関係 $~$ の下での $V$ $\ {0}の同値類の集合である。V$ $が$ 位相ベクトル空間である場合、商空間 $P$ $($ $V$ $)は、$ $V$ $\ {0}$ の部分空間位相の商位相を備えた位相空間である。これは、 $K$ が実数体 $R$ または複素数体 $C$ の場合である。V が有限次元である場合 $、$ P $($ $V$ $)$ $の$ 次元は $V$ の次元から1 を引いたものである。

$V = K n +1$ の一般的な場合、射影空間 $P (V)は$ $P n (K)$ と表記されます( $K P n$ または $P n (K)$ とも表記されますが、この表記は指数表記と混同される可能性があります)。空間 $P n (K)は、$ $K$ 上の $n$ 次元の射影空間、または射影 $n$ 空間と呼ばれることがよくあります。これは、 $n$ 次元のすべての射影空間がこれと同型であるためです ( $n$ $+ 1次元のすべての$ $K$ ベクトル空間が $K$ $n$ $+1$ と同型であるため)。

$射影空間P (V)$ の要素は一般に点と呼ばれます。Vの基底が選択されている場合、特に V = K n +1 の場合 $、$ $点$ $P$ $の$ $射影$ 座標は、対応 $する$ 同値類の任意の要素の基底上の座標です。これらの座標は一般に $[$ $x$ $0$ $: ...$ $:$ $x$ $n$ $]$ と表記され、コロンと括弧は通常の座標と区別し、これが非ゼロ定数による乗算を除いて定義される同値類であることを強調するために使用されます。つまり、 $[$ $x$ $0$ $: ...$ $:$ $x$ $n$ $]$ が点の射影座標である場合、 $K$ の任意の非ゼロ $λに対して、$ $[$ $λx$ $0$ $: ...$ $:$ $λx$ $n$ $]$ も同じ点の射影座標です。また、上記の定義は、 $[$ $x$ $0$ $: ...$ $:$ $x$ $n$ $]$ が点の射影座標であるのは、少なくとも 1 つの座標がゼロでない場合のみであることを意味します。

$Kが$ 実数体または複素数体である場合、射影空間はそれぞれ実射影空間または複素射影空間と呼ばれます。nが1または2の場合 $、$ $n$ 次元の射影空間はそれぞれ射影直線または射影平面と呼ばれます。複素射影直線はリーマン球面とも呼ばれます。

$これらの定義はすべて、 K$ が可除環の場合にも自然に拡張されます。例えば、四元数射影空間を参照してください。表記 $PG(n, K)は、$ $P n (K)$ に対して使用されることがあります。^{[ 1 ]} $K が$ $q$ 個の要素を持つ有限体の場合、 $P$ $n$ $($ $K$ $)$ はしばしば $PG($ $n$ $,$ $q$ $)と表記されます ($ PG(3,2)を参照)。^[^a^]

トポロジー

射影空間とは、有限次元実ベクトル空間の位相の商位相を備えた位相空間である。

ノルムベクトル空間 $V$ における単位球面を $S$ とし、関数を考える。 $\pi :S\to \mathbf {P} (V)$ $S$ の点を、その点を通るベクトル線に写像する関数。この関数は連続かつ全射である。P $(V)$ の各点の逆像は、 $2つの$ 対蹠点からなる。球はコンパクト空間であるため、次のことが成り立つ。

（有限次元の）射影空間はコンパクトである。

$S$ の任意の点 $Pに対して、$ $πを$ $P$ の近傍に制限すると、その像への同相写像となる。ただし、近傍は対蹠点のペアを含まないほど十分に小さいものとする。このことから、射影空間は多様体であることがわかる。簡単な図表を以下のように示すことができる。

$V$ の基底が選択されるとすぐに、任意のベクトルを基底上の座標と同一視でき、 $P (V)の任意の点を$ 同次座標と同一視できます。i $= 0, ..., n$ の場合、集合は $U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}],x_{i}\neq 0\}$ $はP (V)$ の開部分集合であり、 $\mathbf {P} (V)=\bigcup _{i=0}^{n}U_{i}$ $P (V)$ のすべての点は少なくとも1つの非ゼロ座標を持つため。

各 $U i$ には、同相写像であるチャートが関連付けられています。 ${\begin{aligned}\mathbb {\varphi } _{i}:R^{n}&\to U_{i}\\(y_{0},\dots ,{\widehat {y_{i}}},\dots ,y_{n})&\mapsto [y_{0}:\cdots :y_{i-1}:1:y_{i+1}:\cdots :y_{n}],\end{aligned}}$ そのため $\varphi _{i}^{-1}\left([x_{0}:\cdots :x_{n}]\right)=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\dots ,{\widehat {\frac {x_{i}}{x_{i}}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right),$ ここで「hats」は、対応する用語が欠落していることを意味します。

これらの図表は地図帳を形成し、遷移写像は解析関数であるため、射影空間は解析多様体であるという結果になる。

$例えば、 n = 1$ の場合、つまり射影直線の場合、 $U i$ は 2 つしかなく、それぞれ実数直線のコピーと同一視できます。どちらの直線でも、2 つのチャートの交点は非ゼロの実数の集合であり、遷移マップは $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ 両方向において。この図は、対蹠点が特定された円として射影直線を表し、実数直線から射影直線への2つの同相写像を示しています。対蹠点が特定されるにつれて、各直線の像は開いた半円として表され、これは1点を取り除いた射影直線と同一視できます。

CW複合体の構造

実射影空間は単純なCW複素構造を持ち、 $P n (R)$ は商射影 $S$ $n$ $-1$ $\to$ $P$ $n$ $-1$ $($ $R$ $)$ を付加写像として $n$ セルを付加することにより $P n -1$ $($ $R$ $)$ から得られる。

代数幾何学

もともと、代数幾何学は多変数多項式の集合の共通零点の研究でした。これらの共通零点は代数多様体と呼ばれ、アフィン空間に属します。実数係数の場合、正確な結果を得るためにはすべての複素零点を考慮する必要があることがすぐに明らかになりました。たとえば、代数学の基本定理は、次数 $n$ の単変数平方フリー多項式はちょうど $n 個の$ 複素根を持つと主張しています。多変数の場合も複素零点を考慮する必要がありますが、それだけでは十分ではありません。無限大の零点も考慮する必要があります。たとえば、ベズーの定理は、射影平面で複素点を考慮し、重複度で点を数えると、次数がそれぞれ $d$ と $e$ の 2 つの平面代数曲線の交点はちょうど $de個の点から構成されると主張しています。$ ^[^b^]もう 1 つの例は、複素射影平面での特異点から平面代数曲線の種数を計算できる種数-次数公式です。

射影多様体とは、射影空間内の点の集合であり、その同次座標は一連の同次多項式の共通零点である。^{[ c ]}

任意のアフィン多様体は、定義多項式を均質化し、均質化変数に関して飽和させることによって、無限遠点における点を追加することにより、一意的な方法で射影多様体に完成させることができる。

射影空間と射影多様体の重要な性質の一つは、代数多様体の射による射影多様体の像がザリスキー位相において閉じている（すなわち、代数集合である）ということである。これは、実射影空間と複素射影空間のコンパクト性をあらゆる基礎体へと一般化したものである。

射影空間はそれ自体が射影多様体であり、零多項式の零点の集合である。

スキーム理論

20世紀後半にアレクサンダー・グロタンディークによって導入されたスキーム理論は、多様体が $R$ $n$ の開集合を貼り合わせて構築されるのと同様に、アフィンスキームと呼ばれるより小さな断片を貼り合わせることによって、スキームと呼ばれる代数多様体の一般化を定義することを可能にする。Proj 構成は、射影空間のスキーム、より一般的には任意の射影多様体のスキームを、アフィンスキームを貼り合わせて構築することである。射影空間の場合、これらのアフィンスキームとして、多様体としての射影空間の上記の記述のチャート (アフィン空間) に関連付けられたアフィンスキームを取ることができる。

合成幾何学

合成幾何学では、射影空間 $S は$ 、集合 $P$ (点の集合) と、 $P$ の部分集合の集合 $L$ (直線の集合) とともに、以下の公理を満たすものとして公理的に定義できます。^[⁴^]

異なる2点 $p$ と $q$ は、それぞれちょうど1つの直線上に位置する。
ヴェブレンの公理：^{[ d ]} $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $dが異なる点であり、$ $ab$ と $cd を$ 通る直線が交わるならば、 $ac$ と $bd$ を通る直線も交わる。
どの線上にも少なくとも3つの点が存在する。

最後の公理は、射影空間の非交和と、異なる射影空間内の任意の2点を結ぶ2点直線として記述できるような、還元可能なケースを排除します。より抽象的に言えば、点の集合 $P$ 、直線の集合 $L$ 、およびどの点がどの直線上にあるかを示す接続関係 $I$ からなる接続構造 $(P, L, I)$ として定義できます。

これらの公理によって定義される構造は、上記のベクトル空間構成から得られる構造よりも一般的です。射影次元が少なくとも 3 であれば、ヴェブレン・ヤングの定理により、違いはありません。しかし、2 次元の場合、ベクトル空間 (または可除環上の加群) から構成できないこれらの公理を満たす例があります。これらの例はデザルグの定理を満たさず、非デザルグ平面として知られています。1 次元では、少なくとも 3 つの要素を持つ任意の集合が公理を満たすため、公理的に定義された射影直線に追加の構造を仮定するのが一般的です。^{[ 5 ]}

射影空間を定義する公理を追加または修正することで、低次元における厄介なケースを回避することが可能です。コクセター（1969年、 231ページ）は、バッハマンによるそのような拡張を示しています。^[⁶^]次元が少なくとも2であることを保証するには、上記の1行あたり3点の公理を次のように置き換えます。

4つの点が存在し、そのうち3つは同一直線上にはない。

非デザルグ平面を避けるため、パップスの定理を公理として含める。^{[ e ]}

六角形の6つの頂点が2本の直線上に交互に配置されている場合、対辺の組の3つの交点は同一直線上にある。

また、ベクトル空間が偶数特性を持たない体上で定義されることを保証するために、ファノの公理を含める。^{[ f ]}

完全な四角形の3つの対角線上の点は、決して同一直線上にはならない。

射影空間の部分空間とは、X の部分集合であり、X $の$ $2$ 点を含む任意の直線は $X$ の部分集合である（つまり、 $X$ に完全に含まれる）。完全空間と空空間は常に部分空間である。

空間の幾何学的次元は、 nが、この形式の部分空間の厳密に昇順の連鎖が存在する最大の数である場合に $nであると言われる。$ $\varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.$

このような連鎖における部分空間 $X i は$ $、（幾何学的）次元i$ を持つと言われます。次元 0 の部分空間は点、次元 1 の部分空間は線などと呼ばれます。空間全体の次元が $nである場合、次元$ n − 1の任意の部分空間は超平面と呼ばれます。

射影空間は、束理論の観点から同等の定式化が可能である。射影空間とジオモジュラー束、すなわち、準直既約、コンパクト生成、補元、モジュラー束の間には全単射対応が存在する。^{[ 7 ]}

分類

次元0（線なし）：空間は一点です。
次元1（正確に1本の線）：すべての点が唯一の線上に位置する。
次元 2: 少なくとも 2 つの直線があり、任意の 2 つの直線が交わります。n $= 2$ $の$ 射影空間は射影平面と同等です。これらは、すべてが $PG(d, K)$ と同型ではないため、分類がはるかに困難です。デザルグ平面( $PG(2, K)$ と同型であるもの) はデザルグの定理を満たし、可除環上の射影平面ですが、デザルグ平面ではないものもたくさんあります。
次元が少なくとも 3 の場合: 交差しない 2 つの直線が存在する。Veblenと Young (1965)は Veblen –Young の定理を証明し、次元 $n \geq 3$ のすべての射影空間は、ある可除環 $K上の$ $n$ 次元射影空間 $PG(n, K)$ と同型であることを証明した。

有限射影空間と平面

有限射影空間とは、 $P$ が有限個の点の集合である射影空間のことです。任意の有限射影空間では、各直線には同じ数の点があり、空間の位数はこの共通の数より 1 少ない数として定義されます。次元が 3 以上の有限射影空間の場合、ウェダーバーンの定理によれば、射影空間が定義される除法環は、位数 (つまり要素の数) が $q$ (素数のべき乗) である有限体 $GF(q)$ でなければなりません。このような有限体上で定義される有限射影空間は、直線上に $q$ $+ 1$ 個の点を持つため、位数の 2 つの概念は一致します。表記上、 $PG($ $n$ $, GF($ $q$ $))は通常$ $PG($ $n$ $,$ $q$ $)$ と書きます。

同じ位数の有限体はすべて同型であるため、同型を除いて、与えられた有限体上の3次元以上の各次元に対して、有限射影空間は1つしか存在しない。ただし、2次元では非デサルグ平面が存在する。同型を除いて、

1、1、1、1、0、1、1、4、0、...（OEISのシーケンスA001231）

それぞれ次数 2、3、4、...、10 の有限射影平面。これを超える数は計算が非常に難しく、ブルック・ライザーの定理によるいくつかのゼロ値を除いて決定されていません。

最小の射影平面はファノ平面 $PG(2, 2)$ であり、7つの点と7つの線から構成される。最小の3次元射影空間は $PG(3, 2)$ であり、15の点、35の線、15の平面から構成される。

形態

同一体 $K$ 上の2 つのベクトル空間 $V$ と $W$ の間の単射線形写像 $T \in L (V, W)$ は、対応する射影空間 $P$ $($ $V$ $) \to$ $P$ $($ $W$ $)$ の写像を次のように誘導します。

[v] \to [T (v)]

、

ここで、 $vは$ $V$ の非零要素であり、[...] はそれぞれの射影空間の定義によるベクトルの同値類を表します。同値類の要素はスカラー係数だけ異なり、線形写像はスカラー係数を保存するため、この誘導写像はwell-definedです。（ $T$ が単射でない場合、 ${0}$ より大きい零空間を持ちます。この場合、 $vが非零で零空間にあるとすると、$ $T$ $($ $v$ $)$ のクラスの意味が問題になります。この場合、いわゆる有理写像が得られます。双有理幾何学も参照してください。）

$L$ $($ $V$ $,$ $W$ $)$ の2 つの線形写像 $S$ と $Tが$ $P$ $($ $V$ $)$ と $P$ $($ $W$ $)$ の間に同じ写像を誘導するのは、それらがスカラー倍だけ異なる場合、つまり、ある $λ$ $\neq 0に対して$ $T$ $=$ $λS$ である場合に限る。したがって、恒等写像のスカラー倍を基礎となる体 $Kと同一視すると、$ $P$ $($ $V$ $)$ から $P$ $($ $W$ $)$ への $K$ 線形射の集合は単に $P$ $($ $L$ $($ $V$ $,$ $W$ $))$ となる。

自己同型写像 $ P (V) \to P (V)$ は、より具体的に記述できます。（ここでは、基底体 $K$ を保存する自己同型写像のみを扱います。）大域切断によって生成される層の概念を用いると、任意の代数的（必ずしも線形ではない）自己同型写像は線形でなければならない、つまり、ベクトル空間 $V$ の（線形）自己同型写像から生じることが示されます。後者は群 $GL($ $V$ $)$ を形成します。スカラーだけ異なる写像を同一視することで、次の結論が得られます。

Aut(P (V)) = Aut(V) / K \times = GL(V) / K \times =: PGL(V)

、

$GL($ $V$ $)$ の単位行列のスカラー倍である行列を法とする商群。(これらの行列は Aut( V ) の中心を形成します。 $)$ $群$ $PGL$ は射影線形 $群$ と呼ばれます。複素射影直線 $P$ $1$ $($ $C$ $)の自己同型は$ メビウス変換と呼ばれます。

二重投影空間

上記の構成を $V$ ではなく双対空間 $V *$ に適用すると、双対射影空間が得られ、これは $V$ の原点を通る超平面の空間と正準的に同一視できます。つまり、 $V$ が $n$ 次元の場合、 $P$ $($ $V$ $*$ $)は$ $V内の$ $n$ $- 1 個の$ 平面のグラスマン多様体です。

代数幾何学において、この構成法は射影束の構成においてより大きな柔軟性をもたらします。局所的に自由な層だけでなく、スキーム $Y$ 上のすべての準連接層 $E$ に射影空間を対応付けることができるようにしたいものです。詳細はEGA _II 、第 II 章、第 4 節を参照してください。

一般化

寸法: $射影空間は、与えられたベクトル空間V$ のすべての 1 次元線形部分空間の「空間」であり、グラスマン多様体に一般化されます。グラスマン多様体は、 $V$ の高次元部分空間 (ある固定次元) をパラメータ化します。
部分空間のシーケンス: より一般的には、旗多様体は旗の空間、つまり $V$ の線形部分空間の連鎖である。
その他の亜種: さらに一般的に言えば、モジュライ空間は、特定の種類の楕円曲線などの対象をパラメータ化する。
その他のリング: 結合環（体だけでなく）に一般化すると、例えば環上の射影直線が得られる。
パッチ適用: 射影空間をつなぎ合わせると、射影空間の束が得られる。

セヴェリ・ブラウアー多様体は体 $K$ 上の代数多様体であり、基底体 $K$ を拡張すると射影空間と同型になる。

射影空間のもう一つの一般化は重み付き射影空間であり、これらはそれ自体がトーリック多様体の特殊な場合である。^{[ 8 ]}

注記

↑この表記法では、コンマの後にスペースがないのが一般的です。
↑多重度の正しい定義は容易ではなく、20世紀半ばになってようやく確立された。
↑同次座標にゼロ以外のスカラーを掛けたときにゼロがゼロのままになるようにするには、同次性が必要です。
↑ヴェブレン・ヤング公理とも呼ばれ、パッシュ公理と誤って呼ばれることもある（ Beutelspacher & Rosenbaum 1998、pp.6–7）。パッシュは実射影空間に関心があり、秩序を導入しようとしていたが、これはヴェブレン・ヤング公理の関心事ではない。
↑パップスの定理はデザルグの定理を暗示しているので、非デザルグ平面は排除され、また空間は体（可除環ではない）上で定義されていることも暗示されている。
↑この制限により、実数体と複素数体（特性ゼロ）の使用は可能になりますが、ファノ平面や、非典型的な振る舞いを示す他の平面は除外されます。

引用文献

↑ Mauro Biliotti、Vikram Jha、Norman L. Johnson (2001) Foundations of Translation Planes、p. 506、マルセル・デッカー ISBN 0-8247-0609-9
↑ Berger 2009、第4.4章。射影基底。
↑ Berger 2009、第4章
↑ Beutelspacher & Rosenbaum 1998 、 6–7ページ
↑ベア2005、71ページ
↑ Bachmann, F. (1959)、Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelsbegriff、Grundlehren der mathematischen Wissenschaftern、96、ベルリン: Springer、76–77ページ
↑ピーター・クローリー、ロバート・P・ディルワース、1973年。『格子の代数理論』プレンティス・ホール。ISBN 978-0-13-022269-5、109ページ。
↑向井 2003 、例 3.72

参考文献

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ベア、ラインホルト（2005）[初版1952年]、『線形代数と射影幾何学』、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-44565-6
Berger, Marcel (2009), Geometry I , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-11658-51977年のフランス語原著をM.コールとS.レヴィが翻訳したもので、1987年の英語訳の第4刷である。
Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective geometry: from foundations to applications , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-48277-6MR 1629468
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コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド（1969）、『射影幾何学』、トロント、オンタリオ州：トロント大学出版局、ISBN 0-8020-2104-2MR 0346652、OCLC 977732
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Greenberg, MJ; Euclidean and non-Euclidean geometrys , 2nd ed. Freeman (1980).
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ヒルベルト、D.およびコーン＝フォッセン、S.；幾何学と想像力、第2版、チェルシー（1999）。
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外部リンク

ワイススタイン、エリック・W. 「射影空間」 . MathWorld .
PlanetMathの射影空間。
小位数の射影平面

[2] この表記法では、コンマの後にスペースがないのが一般的です。

[5] 多重度の正しい定義は容易ではなく、20世紀半ばになってようやく確立された。

[6] 同次座標にゼロ以外のスカラーを掛けたときにゼロがゼロのままになるようにするには、同次性が必要です。

[8] ヴェブレン・ヤング公理とも呼ばれ、パッシュ公理と誤って呼ばれることもある（ Beutelspacher & Rosenbaum 1998、pp.6–7）。パッシュは実射影空間に関心があり、秩序を導入しようとしていたが、これはヴェブレン・ヤング公理の関心事ではない。

[11] パップスの定理はデザルグの定理を暗示しているので、非デザルグ平面は排除され、また空間は体（可除環ではない）上で定義されていることも暗示されている。

[12] この制限により、実数体と複素数体（特性ゼロ）の使用は可能になりますが、ファノ平面や、非典型的な振る舞いを示す他の平面は除外されます。

[1] Mauro Biliotti、Vikram Jha、Norman L. Johnson (2001) Foundations of Translation Planes、p. 506、マルセル・デッカー ISBN 0-8247-0609-9

[FOOTNOTEBerger2009chapter_4.4._Projective_bases-3] Berger 2009、第4.4章。射影基底。

[4] Berger 2009、第4章

[7] Beutelspacher & Rosenbaum 1998 、 6–7ページ

[9] ベア2005、71ページ

[10] Bachmann, F. (1959)、Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelsbegriff、Grundlehren der mathematischen Wissenschaftern、96、ベルリン: Springer、76–77ページ

[13] ピーター・クローリー、ロバート・P・ディルワース、1973年。『格子の代数理論』プレンティス・ホール。ISBN 978-0-13-022269-5、109ページ。

[14] 向井 2003 、例 3.72

[ 1 ]

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[ 7 ]

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