視点

関数解析と量子情報科学において、正演算子値測度( POVM ) は、その値がヒルベルト空間上の半正定値演算子である測度です。POVM は射影値測度(PVM)の一般化であり、それに応じて、POVM によって記述される量子測定は、PVM によって記述される量子測定 (射影測定と呼ばれる) の一般化です。

大まかに言えば、POVM と PVM の関係は、混合状態と純粋状態の関係と同じです。混合状態は、より大きなシステムのサブシステムの状態を指定するために必要です (量子状態の精製を参照)。同様に、POVM は、より大きなシステムで実行される射影測定のサブシステムへの影響を記述するために必要です。

POVMは量子力学における最も一般的な測定方法であり、量子場理論でも用いられる。^{[1] POVMは}量子情報の分野で広く用いられている。

をヒルベルト空間と、上のボレルσ代数を持つ可測空間と表す。POVMは上で定義される関数であり、その値は上の正有界自己随伴作用素であり、任意の${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle (X,M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle ,}$

はσ代数上の非負可算加法測度であり 恒等演算子である。^[2]${\displaystyle M}$${\displaystyle F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}}$

量子力学において、POVM の重要な特性は、結果空間上の確率測度を決定することです。そのため、これは量子状態を測定するときのイベントの確率として解釈できます。 ${\displaystyle \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle }$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

最も単純なケースでは、 は有限集合、は のべき集合、は有限次元であり、POVMは、単位行列に加算される半正定値エルミート行列の集合と同値である。^{[3] : 90}${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \{F_{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .}$

POVM は、射影値測度の場合、 の値が直交射影である必要があるという点で、射影値測度とは異なります。 ${\displaystyle F}$

離散的な場合、POVM要素は測定結果に関連付けられており、量子状態に対して量子測定を行ったときにそれを得る確率は次のように与えられる。 ${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})}$、

ここで はトレース演算子である。測定される量子状態が純粋状態である場合、この式は次のように簡約される。 ${\displaystyle \operatorname {tr} }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle }$。

POVM の離散的なケースは、PVM の最も単純なケースを一般化したものになります。これは、単位行列に合計される直交射影 の集合です。 ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} 、\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.}$

PVM の確率式は POVM と同じです。重要な違いは、POVM の要素が必ずしも直交するわけではないことです。その結果、POVM の要素の数は、それらが作用するヒルベルト空間の次元よりも大きくなる可能性があります。一方、PVM の要素の数は、最大でヒルベルト空間の次元です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$

注: この定理の別の綴りは「Neumark's Theorem」です。

ナイマークの膨張定理^[4]は、より大きな空間に作用するPVMからPOVMが得られる方法を示しています。この結果は、POVM測定を物理的に実現する方法を与えるため、量子力学において極めて重要です。^{[5] ：285}

最も単純なケース、有限次元ヒルベルト空間に作用する有限個の要素を持つPOVMの場合、ナイマークの定理によれば、 が次元 のヒルベルト空間に作用するPOVMである場合、次元 のヒルベルト空間に作用するPVMが存在し、すべての に対して、 ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle d_{A}}$${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$${\displaystyle d_{A'}}$ ${\displaystyle V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V.}$

ランク1のPOVMの特別な場合、すなわち、いくつかの（正規化されていない）ベクトルに対して、この等長変換は次のように構築できる^{[5] ：285}${\displaystyle F_{i}=|f_{i}\rangle \langle f_{i}|}$${\displaystyle |f_{i}\rangle }$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}|i\rangle _{A'}\langle f_{i}|_{A}}$

そしてPVMは単純に で与えられます。ここで であることに注意してください。 ${\displaystyle \Pi _{i}=|i\rangle \langle i|_{A'}}$${\displaystyle d_{A'}=n}$

^{一般的なケースでは、等長写像とPVMは[6] [7]} 、、およびを 定義することによって構築できます。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}}$${\displaystyle \Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}}$

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}.}$

ここでは であることに注意してください。したがって、これはより無駄な構成です。 ${\displaystyle d_{A'}=nd_{A}}$

どちらの場合でも、この PVM で結果を得る確率と、等長変換によって適切に変換された状態は、元の POVM で結果を得る確率と同じです。 ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}\right)=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}V\right)=\operatorname {tr} (\rho _{A}F_{i})}$

この構成は、等長変換をユニタリに拡張することで、POVMの物理的実現のレシピに変換できます。つまり 、${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle V|i\rangle _{A}=U|i\rangle _{A'}}$

1 から まで。これはいつでも実行できます。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle d_{A}}$

量子状態上でによって記述される POVM を実現するための方法は、量子状態をヒルベルト空間に埋め込み 、それをユニタリ で展開し、 PVM によって記述される射影測定を行うことです。 ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A'}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}}$

測定後の状態はPOVM自体によって決定されるのではなく、それを物理的に実現するPVMによって決定される。同じPOVMを実現する異なるPVMは無限に存在するため、演算子だけでは測定後の状態がどうなるかは決定されない。これを理解するには、任意のユニタリに対して演算子が ${\displaystyle \{F_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle M_{i}=W{\sqrt {F_{i}}}}$

も性質を持ち、等長変換を用いると ${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$

${\displaystyle V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}}$

上記の2番目の構成でも同じPOVMが実装されます。測定対象の状態が純粋な状態である場合、結果として得られるユニタリはそれを補助状態と一緒にして状態 ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$${\displaystyle U_{W}}$

${\displaystyle U_{W}(|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B})=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|\psi \rangle _{A}|i\rangle _{B},}$

そして、補助線上の射影測定は、状態^{[3]に収束する：84}${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$

${\displaystyle |\psi '\rangle _{A}={\frac {M_{i_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{0}}|\psi \rangle }}}}$

結果を得ると、測定される状態が密度行列で記述される場合、対応する測定後の状態は次のように表される。 ${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle \rho _{A}}$

${\displaystyle \rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$。

したがって、測定後の状態はユニタリ に明示的に依存することがわかります。 は常にエルミートですが、一般に はエルミートである必要はないことに注意してください。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}}$${\displaystyle M_{i}}$

投影測定とのもう一つの違いは、POVM測定は一般的に再現性がないことです。最初の測定で結果が得られた場合、 2回目の測定で 異なる結果が得られる確率は${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle i_{1}}$

${\displaystyle {\text{Prob}}(i_{1}|i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}}$、

と が直交していない場合は、ゼロ以外の値になることがあります。射影測定では、これらの演算子は常に直交するため、測定は常に繰り返し可能です。 ${\displaystyle M_{i_{0}}}$${\displaystyle M_{i_{1}}}$

2次元ヒルベルト空間を持つ量子システムがあり、それが状態か状態のどちらかにあることがわかっていて、どちらの状態であるかを判定したいとします。と が直交している場合、このタスクは簡単です。セットはPVM を形成し、この基底での射影測定によって状態 が確実に判定されます。 しかし、とが直交していない場合、このタスクは不可能であり、PVM または POVM のいずれの測定でも、これらを確実に区別することはできません。^{[3] : 87}非直交状態を完全に区別することが不可能であることは、量子暗号、量子コイン投げ、量子マネーなどの量子情報プロトコルの基礎となっています。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

明確な量子状態識別(UQSD)というタスクは、次善の策です。つまり、時々決定的でない結果になるという代償を払って、状態が であるか であるかを決して間違えないようにすることです。これは射影測定で行うことができます。 ^[8]たとえば、がに直交する量子状態である PVM を測定して結果 を得た場合、状態が であったことが確実にわかります。結果が だった場合、それは決定的ではありません。がに直交する状態であるPVM についても同様の推論が当てはまります。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle \{|\psi \rangle \langle \psi |,|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|\}}$${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$${\displaystyle |\varphi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}$${\displaystyle \{|\varphi \rangle \langle \varphi |,|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|\}}$${\displaystyle |\varphi ^{\perp }\rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

しかし、これは不十分である。なぜなら、1回の測定で両方を検出することはできず、決定的な結果を得る確率はPOVMよりも低いからである。このタスクで決定的な結果を得る確率が最も高いPOVMは^{[8] [9]で与えられる。}${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|}$

${\displaystyle F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }={\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,}$

どこ

${\displaystyle |\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).}$

であることに注意してください。したがって、結果が得られた場合には、量子状態は であることが確実であり、結果が得られた場合には、量子状態は であることが確実です。 ${\displaystyle \operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

決定的な結果が出る確率は次のように表される。

${\displaystyle 1-|\langle \varphi |\psi \rangle |,}$

量子系が状態にあるとき、または同じ確率であるとき。この結果は、UQSD研究の先駆者である著者にちなんでイヴァノビッチ・ディークス・ペレス限界として知られています。^{[10] [11] [12]}${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi \rangle }$

POVMはランク1なので、上記の構成の単純なケースを使用して、このPOVMを物理的に実現する射影測定を得ることができます。拡大されたヒルベルト空間の3つの可能な状態を、、、とラベル付けすると、結果として得られるユニタリは状態を次のように 取ることがわかります。${\displaystyle |{\text{result ψ}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{result φ}}\rangle }$${\displaystyle |{\text{result ?}}\rangle }$${\displaystyle U_{\text{UQSD}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\psi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle ,}$

そして同様に、国家は ${\displaystyle |\varphi \rangle }$

${\displaystyle U_{\text{UQSD}}|\varphi \rangle ={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|{\text{result ?}}\rangle .}$

投影測定では、POVM と同じ確率で目的の結果が得られます。

このPOVMは、光子の非直交偏光状態を実験的に区別するために使用されてきた。射影測定によるPOVMの実現は、ここで説明したものとは少し異なっていた。^{[13] [14]}

• SIC-POVM
• 量子測定
• 量子力学の数学的定式化
• 密度行列
• 量子演算
• 投影値測定
• ベクトル測定

• POVMs
  • K. Kraus、「状態、効果、および操作」、物理学講義ノート 190、Springer (1983)。
  • AS Holevo、「量子論の確率的および統計的側面」、North-Holland Publ. Cy.、アムステルダム (1982)。

• 量子状態識別に関するインタラクティブなデモンストレーション