マルチンゲール法（確率論）

確率論 において、マルチンゲールとは、過去のすべての観測値が与えられた場合、次の観測値の期待値が直近の値と等しくなる確率過程のことである。言い換えれば、過去の値が与えられた場合、次の値の条件付き期待値は現在の値と等しくなる。マルチンゲールは、過去の結果に関わらず将来の期待収益が現在の金額と等しくなる公平なゲームをモデル化するために使用される。

元々、マーチンゲールとは18世紀のフランスで流行した賭け戦略の一種を指していた。^{[ 1 ] [ 2 ]}

この概念の歴史的発展は、以下のように要約できる。

• これらの戦略の中で最も単純なものは、コインが表になれば賭け金が勝ち、裏になれば賭け金を失うというゲームのために考案されたものだ。
• この戦略では、ギャンブラーは負けるたびに賭け金を倍にすることで、最初の勝利でそれまでの損失をすべて取り戻し、さらに最初の賭け金と同額の利益を得ることができた。
• ギャンブラーの資産と利用可能な時間が共に無限に近づくにつれて、最終的に表が出る確率は1に近づくため、マーチンゲール法による賭け戦略は確実なもののように思える。
• しかし、賭け金が指数関数的に増加すると、資金が限られているため、最終的には利用者は破産してしまう。このようなゲームの軌跡をモデル化するには、マルチンゲール過程である停止ブラウン運動を用いることができる。
• 確率論におけるマルチンゲールの概念は、 1934年にポール・レヴィによって導入されたが、彼はそれを正式に命名しなかった。
• 「マルチンゲール」という用語は後にヴィル（1939）によって導入され、彼はその定義を連続マルチンゲールにも拡張した。
• この理論の初期段階における発展の多くは、ジョセフ・レオ・ドゥーブらによって行われた。初期の研究の動機の一つは、ギャンブルにおいて成功する賭け戦略が不可能であることを数学的に証明することであった。

離散時間マルチンゲールの基本的な定義は、離散時間確率過程（すなわち、確率変数の列）である。${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$いつでも満足できる${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \mathbf {E} [\vert X_{n}\vert ]<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n}.}$

つまり、過去のすべての観測値が与えられた場合の、次の観測値の条件付き期待値は、直近の観測値と等しいということである。

• 次元数に関わらず、偏りのないランダムウォークはマルチンゲールの例である。例えば、各時間ステップにおいて右方向または左方向への移動が等しい確率で起こる1次元ランダムウォークを考えてみよう。
• ギャンブラーの財産（資本）は、ギャンブラーがプレイするすべての賭けゲームが公平である場合、マルチンゲールである。${\displaystyle X_{n}}$ギャンブラーの運は${\displaystyle n}$公平なコイン投げが行われ、表が出ればギャンブラーは1ドル勝ち、裏が出れば1ドル負ける。過去の出目を踏まえた上で、次のゲーム後のギャンブラーの条件付き期待値は、現在のギャンブラーの財産と等しい。
• させて${\displaystyle Y_{n}=X_{n}^{2}-n}$どこ${\displaystyle X_{n}}$これは前の例のギャンブラーの財産です。次に、数列${\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,\dots \}}$これはマルチンゲール法です。これを用いると、ギ​​ャンブラーの総利益または総損失が、プレイしたゲーム数の平方根のプラスマイナスの範囲内で概ね変動することを示すことができます。
• ド・モアブルのマルチンゲール：コイン投げの結果が不公平（偏っている）であると仮定し、確率は${\displaystyle p}$表が出る確率${\displaystyle q=1-p}$テールの。

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1}$

表の場合は「+」、裏の場合は「−」とする。

${\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}}$

それから${\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,\dots \}}$は、に関してマルチンゲールである。${\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,\dots \}}$これを示すには：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} [Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p) ^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}$

• ポーヤの壺には、さまざまな色のビー玉が複数入っています。各反復処理において、壺からビー玉がランダムに1つ選ばれ、同じ色のビー玉が数個補充されます。任意の色について、壺の中にあるその色のビー玉の割合はマルチンゲールです。
• 統計学における尤度比検定：確率変数${\displaystyle X}$確率密度に従って分布していると考えられている${\displaystyle f}$または異なる確率密度${\displaystyle g}$ランダムサンプル${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$が取られています。${\displaystyle Y_{n}}$「尤度比」とは、

${\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}$

もし${\displaystyle X}$実際には密度に応じて分布している${\displaystyle f}$それよりも${\displaystyle g}$、 それから${\displaystyle \{Y_{n}\}}$は、に関してマルチンゲールである。${\displaystyle \{X_{n}\}}$。

• ドゥーブ・マーチンゲール：${\displaystyle Y}$を有限の期待値を持つ任意の確率変数とし、${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}}$濾過である。定義されるシーケンス${\displaystyle X_{n}=\mathbf {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{n}]}$これはマルチンゲールです。これは、の逐次更新された最良推定値を表します。${\displaystyle Y}$より詳しい情報が入手可能になり次第。

• 生態系において、特定の種の個体数は時間とともに変化し、一連の確率変数として捉えることができる。この数列は、生物多様性と生物地理学の統一中立理論の下ではマルチンゲールとなる。
• 集団遺伝学において、遺伝的浮動（突然変異や自然選択がない場合）によって進化する一定サイズの集団における対立遺伝子の頻度は、マルチンゲールに従う。これはライト・フィッシャーモデルの特徴的な性質である。
• もし${\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}}$強度を持つポアソン過程である${\displaystyle \lambda }$補償されたポアソン過程${\displaystyle \{N_{t}-\lambda t:t\geq 0\}}$これは、右連続/左極限サンプルパスを持つ連続時間マルチンゲールです。
• 指数マルチンゲール:もし${\displaystyle W_{t}}$が標準的な一次元ブラウン運動である場合、プロセスは${\displaystyle Z_{t}=\exp \left(\theta W_{t}-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}t\right)}$は任意の実数パラメータに対する連続時間マルチンゲールである。${\displaystyle \theta }$このプロセスは、確率微分方程式と確率測度の変化に関するギルサノフの定理において重要な役割を果たします。
• ウォルドのマルチンゲール：もし${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$は、モーメント母関数を持つ独立同分布の確率変数である。${\displaystyle M(\theta )=\mathbf {E} [\exp(\theta X_{1})]}$、そしてそれらの部分和は で表される。${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\dots +X_{n}}$すると、次のシーケンス${\displaystyle W_{n}=\exp(\theta S_{n})/M(\theta )^{n}}$これはマルチンゲールです。
• 数理ファイナンスにおける資産価格決定：資産価格決定の基本定理によれば、無裁定市場では、あらゆる取引可能な資産の割引価格は、リスク中立測度の下でマルチンゲールとなる。例えば、${\displaystyle S_{t}}$株価と${\displaystyle r}$リスクフリー金利は、${\displaystyle e^{-rt}S_{t}}$は、同等のマルチンゲール測度の下でのマルチンゲールである。
• A${\displaystyle d}$次元プロセス${\displaystyle M=(M^{(1)},\dots ,M^{(d)})}$ある空間で${\displaystyle S^{d}}$各コンポーネントがマルチンゲールである場合${\displaystyle T_{i}(M)=M^{(i)}}$は、${\displaystyle S}$。

現在の観測値が${\displaystyle X_{n}}$これは必ずしも将来の条件付き期待値と等しいわけではなく、むしろ条件付き期待値の上限または下限として機能します。

これらの一般化は、マルチンゲール理論とポテンシャル理論（調和関数の研究）の関係を反映している。

• 連続時間マルチンゲールが満たすのと同様に${\displaystyle \mathbf {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]-X_{s}=0}$すべての人々のために${\displaystyle s\leq t}$調和関数${\displaystyle f}$偏微分方程式を満たす${\displaystyle \Delta f=0}$どこ${\displaystyle \Delta }$はラプラシアン演算子です。
• ブラウン運動過程が与えられた場合${\displaystyle W_{t}}$そして調和関数${\displaystyle f}$結果として生じるプロセス${\displaystyle f(W_{t})}$これもマルチンゲールです。

サブマルチンゲール:

• 離散時間サブマルチンゲールは、${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$積分可能な確率変数の条件を満たすもの：

${\displaystyle \mathbf {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.}$

• 同様に、連続時間サブマルチンゲールは以下を満たす。

${\displaystyle \mathbf {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

• ポテンシャル理論では、サブハーモニック関数${\displaystyle f}$満たす${\displaystyle \Delta f\geq 0}$球の境界上のすべての点において調和関数によって上から制限される任意の劣調和関数は、球の内部では調和関数によって上から制限される。
• 同様に、サブマルチンゲールとマルチンゲールがある時点において同等の期待値を持つ場合、サブマルチンゲールの履歴はマルチンゲールの履歴によって上から抑えられる傾向がある。大まかに言えば、接頭辞「sub-」は、現在の観測値が${\displaystyle X_{n}}$条件付き期待値以下である（または等しい）。したがって、このプロセスは将来的に増加する傾向がある。

スーパーマルチンゲール：

• 同様に、離散時間スーパーマルチンゲールは以下を満たす。

${\displaystyle \mathbf {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.}$

• 同様に、連続時間スーパーマルチンゲールは以下を満たす。

${\displaystyle \mathbf {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

• ポテンシャル理論では、超調和関数${\displaystyle f}$満たす${\displaystyle \Delta f\leq 0}$。
• 大まかに言えば、接頭辞「super-」は、現在の観察結果と矛盾しない。${\displaystyle X_{n}}$条件付き期待値以上である（または等しい）。したがって、このプロセスは将来的に減少する傾向がある。

確率変数のシーケンスに関する停止時間${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$確率変数${\displaystyle \tau }$各${\displaystyle t}$事象の発生または非発生${\displaystyle \tau =t}$値のみに依存する${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}}$定義の背後にある直感は、特定の時点で${\displaystyle t}$これまでの経過を見て、停止すべきタイミングを判断できます。例えば、ギャンブラーがギャンブルテーブルを離れるタイミングは、過去の勝利額によって決まるかもしれませんが、まだプレイされていないゲームには左右されません。

文脈によっては、時間の停止という概念は、事象の発生または非発生のみを要求することによって定義される。${\displaystyle \tau =t}$確率的に独立している${\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},\dots }$しかし、それはこれまでの歴史によって完全に決定されるわけではない${\displaystyle t}$。

マルチンゲールの基本的な性質の1つは、${\displaystyle (X_{t})_{t>0}}$は（サブ/スーパー）マルチンゲールであり、${\displaystyle \tau }$停止時間である場合、対応する停止プロセス${\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}}$定義される${\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}}$は（劣／優）マルチンゲールでもある。

停止マルチンゲールの概念は、一連の重要な定理につながります。その中には、特定の条件下では、停止時点におけるマルチンゲールの期待値が初期値と等しくなることを述べる任意停止定理が含まれます。

マルチンゲール問題は、確率解析における枠組みの一つであり、マルチンゲール条件を通して確率微分方程式（SDE）の解を特徴づけるためのものである。

マルチンゲールは、現代の定量金融および資産価格理論の基礎となる数学的原理を構成する。

• 資産価格決定の基本定理：この定理は、金融市場に裁定取引が存在しないのは、リスク中立的な確率測度（等価マルチンゲール測度とも呼ばれる）が存在する場合に限る、と述べている。
• リスク中立価格設定：この等価マルチンゲール尺度の下では、あらゆる取引可能な資産の割引価格プロセスはマルチンゲールとなる。これは、資産の現在の価格が、将来の割引ペイオフの期待値と完全に等しいことを意味する。
• デリバティブ価格設定：ブラック・ショールズ・モデルなどのモデルは、マルチンゲール表現に大きく依存しています。ギルサノフの定理を用いて適切なマルチンゲール測度を求めることで、株式市場の実際の動向を予測することなく、複雑な金融デリバティブやオプションの価格を正確に算出することが可能になります。

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