固有関数

数学において、ある関数空間上で定義された線型演算子Dの固有関数とは、 Dの作用を受けると、固有値と呼ばれるあるスケーリング係数のみが乗じられる、その空間内の任意の非ゼロ関数である。方程式として、この条件は、 あるスカラー固有値に対して次のように記述できる ^{[1] [2] [3]}この方程式の解は、許容される固有値と固有関数を制限する境界条件の影響を受けることもある。 ${\displaystyle f}$$${\displaystyle Df=\lambda f}$$${\displaystyle \lambda .}$

固有関数は、固有ベクトルの一種です。

一般に、あるベクトル空間上で定義された線型作用素Dの固有ベクトルは、 Dの領域内の非ゼロベクトルであり、D がそれに作用すると、固有値と呼ばれるスカラー値によって単純にスケールされます。D が関数空間上で定義されている特殊なケースでは、固有ベクトルは固有関数と呼ばれます。つまり、関数fがDの固有関数である場合、それは次の式を満たします。

ここでλはスカラーである。^{[1] [2] [3]式（} １ ）の解は境界条件に従うこともある。境界条件のため、λの可能な値は一般に、例えば離散集合λ1、λ2、…、またはある範囲にわたる連続集合に制限される_。Dのすべての可能な固有値の集合はスペクトルと呼ばれることもあり、離散的、_連続的、またはその両方の組み合わせである。^[1]

λの各値は1つ以上の固有関数に対応する。複数の線形独立な固有関数が同じ固有値を持つ場合、その固有値は退化していると言われ、同じ固有値に関連付けられた線形独立な固有関数の最大数は、その固有値の退化度または幾何学的多重度である。^{[4] [5]}

無限次元空間に作用する線型作用素の広く使われているクラスは、実数または複素数引数tの無限微分可能な実数または複素数関数の空間C ^∞上の微分作用素である。例えば、固有値方程式を持つ 微分作用素を考える。${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$

この微分方程式は、両辺にを掛けて積分することで解くことができます。その解である指数関数は、 微分演算子の固有関数です。ここで、 f ₀は境界条件に依存するパラメータです。この場合、固有関数自体は、関連する固有値 λ の関数であり、任意の実数値または複素数値を取ることができることに注意してください。特に、λ = 0 の場合、固有関数f ( t ) は定数であることに注意してください。 ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$ $${\displaystyle f(t)=f_{0}e^{\lambda t},}$$

この例では、f ( t ) が境界条件f (0) = 1 およびに従うと仮定します。すると、 λ = 2 が境界条件を満たす微分方程式の唯一の固有値であることがわかります。 ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$$${\displaystyle f(t)=e^{2t},}$$

固有関数は列ベクトルとして表現でき、線形演算子は行列として表現できますが、無限次元になることもあります。その結果、行列の固有ベクトルに関連する概念の多くは、固有関数の研究にも引き継がれます。

D がt について Ω と呼ばれる関心のある範囲にわたって積分されたものとして定義されて いる関数空間で内積を定義します。*は複素共役を表します。 $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }\ f^{*}(t)g(t)dt,}$$

関数空間が関数の集合{ u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )}によって与えられる正規直交基底を持つと仮定します。ここで、 nは無限大です。正規直交基底の場合、 δ _{ij は}クロネッカーのデルタ であり、単位行列の要素と考えることができます。 $${\displaystyle \langle u_{i},u_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},}$$

関数は、たとえばf ( t )のフーリエ展開を通じて、基底関数の線形結合として記述できます 。係数b _{j は}、 n行 1 列の列ベクトルb = [ b ₁ b ₂ … b _n ] ^Tに積み重ねることができます。正弦関数のフーリエ級数の係数などの特殊なケースでは、この列ベクトルは有限次元を持ちます。 $${\displaystyle f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),}$$

さらに、線形演算子Dの行列表現を要素で 定義する。$${\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt.}$$

関数Df ( t )は基底関数の線形結合として、またはf ( t )の展開に作用するDとして記述することができます。 $${\displaystyle Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t).}$$

この方程式の各辺と任意の基底関数u _i ( t ) との内積をとると、$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}}$$

これは、加算記法で書かれた行列乗算Ab = cであり、正規直交基底で表現された関数f ( t ) に作用する演算子 D の行列等価物です。f ( t ) が固有値 λ を持つDの固有関数である場合、Ab = λbです。

物理学で遭遇する演算子の多くはエルミート演算子です。線形演算子D が関数空間に作用するとします。関数空間はヒルベルト空間であり、正規直交基底は関数の集合 { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )} で与えられます。ここでn は無限大です。この基底では、演算子D は行列表現A を持ち、その要素は t について Ω で示される対象範囲にわたって積分されます。 $${\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).}$$

エルミート行列との類推により、DはA _ij = A _ji *のときエルミート演算子となる。つまり^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\[-1pt]\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}.\end{aligned}}}$$

固有値λ1 _、λ2、…と対応する固有関数f1 ( t )、_f2 ( t ) 、…を持つエルミート演算子Dを考えます。このエルミート演算子には次の特性があり _ます。

• その固有値は実数であり、λ _i = λ _i * ^{[4] [6]}
• その固有関数は、 i ≠ jの場合には直交条件に従う^{[6] [7] [8]}${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =0}$

2 番目の条件は、常にλ _i ≠ λ _jの場合に成立します。同じ固有値λ _iを持つ退化した固有関数の場合、たとえばグラム・シュミット過程を使用して、 λ _iに関連付けられた固有空間にまたがる直交固有関数を常に選択できます。^[5]スペクトルが離散か連続かに応じて、固有関数の内積をそれぞれクロネッカーのデルタ関数またはディラックのデルタ関数のいずれかに設定することで、固有関数を正規化できます。^{[8] [9]}

多くのエルミート作用素、特にシュトゥルム・リウヴィル作用素の場合、3番目の性質は

• その固有関数は、演算子が定義される関数空間の基底を形成する^[5]

その結果、多くの重要なケースでは、エルミート演算子の固有関数は正規直交基底を形成します。これらのケースでは、任意の関数はエルミート演算子の固有関数の線形結合として表現できます。

h ( x , t ) は、弦楽器の振動弦などの応力を受けた弾性弦の横方向の変位を、弦に沿った位置xと時間tの関数として表すものとします。弦の微小部分に力学法則を適用すると、関数h は (1 次元)波動方程式と呼ばれる偏微分方程式を満たします。ここでc は弦の張力と質量に依存する一定の速度です。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},}$$

この問題は変数分離法で解くことができます。h ( x , t ) をX ( x ) T ( t )の積として表せると仮定すると、常微分方程式のペアを作成できます。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.}$$

これらはそれぞれ、固有値と− ω ²を持つ固有値方程式です。 ωとcの任意の値に対して、方程式は関数によって満たされ 、位相角φとψ は任意の実定数です。 ${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$$${\displaystyle X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),}$$

境界条件を課すと、例えば弦の端がx = 0とx = Lに固定され、つまりX (0) = X ( L ) = 0、T (0) = 0となり、固有値が制約されます。これらの境界条件では、sin( φ ) = 0およびsin( ψ ) = 0 となるため、位相角φ = ψ = 0となり、 $${\displaystyle \sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.}$$

この最後の境界条件は、ω が値ω _n = ⁠を取るように制約する。いいえ/ら⁠、ここでnは任意の整数である。したがって、クランプされた弦は、次のような定在波の族を支える。 $${\displaystyle h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).}$$

弦楽器の例では、周波数ωn_はn次の高調波の周波数であり、( n −1)次の倍音と呼ばれます。

量子力学では、 ハミルトニアンが時間に明示的に依存しない場合、ハミルトニアン演算子 を含むシュレーディンガー方程式は変数分離によって解くことができる。 ^[10]その場合、波動関数Ψ( r , t )= φ ( r ) T ( t )は2つの微分方程式につながる。 $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$ $${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)}$$

これらの微分方程式は両方とも固有値Eを持つ固有値方程式である。前の例で示したように、式（3）の解は指数関数である。 $${\displaystyle T(t)=e^{{-iEt}/{\hbar }}.}$$

式（２ ）は時間に依存しないシュレーディンガー方程式である。ハミルトニアン演算子の固有関数φk_は量子力学系の定常状態であり、それぞれ対応するエネルギーEk_を持つ。それらは系の許容エネルギー状態を表し、境界条件によって制約されることがある。

ハミルトニアン演算子Hは、その固有関数が正規直交基底を形成するエルミート演算子の一例である。ハミルトニアンが時間に明示的に依存しない場合、シュレーディンガー方程式の一般解は、定常状態と振動T ( t ) の積の線形結合である[ 11 ] 。または^、 連続スペクトルを持つシステムの場合は、 ${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/{\hbar }}}$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dE\,c_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{{-iEt}/{\hbar }}.}$$

シュレーディンガー方程式が水素のスペクトル特性を説明することに成功したことは、20 世紀物理学の最大の成果の 1 つと考えられています。

信号とシステムの研究において、システムの固有関数とは、システムに入力されると応答y ( t ) = λf ( t )を生成する信号f ( t )であり、ここでλは複素スカラー固有値である。^[12]

• 固有値と固有ベクトル
• ヒルベルト・シュミットの定理
• 常微分方程式のスペクトル理論
• 固定小数点コンビネータ
• フーリエ変換固有関数

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