反射的な空間

関数解析として知られる数学の分野において、反射空間は局所凸位相 ベクトル空間であり、 からその双対（ の強双対の強双対）への標準評価写像が同相写像（または同等のTVS 同型）である。ノルム空間が反射的であるための必要十分条件は、この標準評価写像が全射である場合であり、その場合、この（常に線形の）評価写像は等長同型であり、ノルム空間はバナッハ空間である。標準評価写像が全射である空間は半反射空間と呼ばれる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

1951 年、RC ジェームズは、現在ジェームズ空間として知られるバナッハ空間を発見しました。これは反射的ではありません(つまり、標準評価写像は同型ではありません) が、それでもその双対に等長同型です (このような等長同型は必ずしも標準評価写像ではありません)。したがって、重要なことは、バナッハ空間が反射的であるためには、その双対に等長同型であるだけでは不十分であり、特に標準評価写像が同相でなければならないということです。

反射空間は、局所凸TVSの一般理論、特に バナッハ空間の理論において重要な役割を果たします。ヒルベルト空間は反射バナッハ空間の代表的な例です。反射バナッハ空間は、多くの場合、その幾何学的特性によって特徴付けられます。

バイデュアルの定義

が体（実数または複素数）上の位相ベクトル空間（TVS）であり、その連続双対空間 が上の点を分離する（つまり、任意の に対して、となるような が存在する）と仮定する。（テキストによっては と書く）が上の連続線型汎関数のベクトル空間で、の有界部分集合上で一様収束する位相を備えたものであるとする。この位相は強双対位相とも呼ばれ、連続双対空間に配置される「デフォルト」の位相である（別の位相が指定されない限り）。 がノルム空間である場合、 の強双対は、通常のノルム位相を持つ連続双対空間である。によって表されるの双対は、の強双対である。つまり、空間 である。^[1]がノルム空間である 場合、 は、通常のノルム位相を持つ バナッハ空間の連続双対空間である。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,x\neq 0}$${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$${\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0}$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle X_{\beta}^{\prime}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X^{\prime \prime },}$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime \prime}}$${\displaystyle X_{b}^{\prime}}$

評価マップと再帰空間の定義

任意の に対してが で定義され、はにおける評価写像と呼ばれる線型写像である;は必然的に連続なので、 となる。は で定義される線型写像上の点を分離する ので は単射であり、この写像は評価写像または標準写像と呼ばれる。が全単射（または同値で、全射）である場合、 を半反射的と呼び、さらに がTVS の同型である場合、 を反射的と呼ぶ。 ^[1]規範可能 空間が反射的であるためには、半反射的である必要があり、同値で、評価写像が全射である場合、 および ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$${\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime }\right)=x^{\prime }(x),}$${\displaystyle J_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$${\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }.}$${\displaystyle X^{\prime}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$${\displaystyle J(x):=J_{x}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$

が数体または（実数または複素数）上のノルムベクトル空間で、ノルムがであるとする。すべての連続線型関数から成り、次式で定義される 双対ノルムを備えたその双対ノルム空間を考える。${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|.}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }}$$${\displaystyle \|f\|^{\prime }=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|=1\}.}$$

双対はノルム空間（正確にはバナッハ空間）であり、その双対ノルム空間はの双対空間と呼ばれる。双対はすべての連続線型関数から成り、 のノルム双対を備えている。各ベクトルは、式によって スカラー関数を生成する。 およびは、 上の連続線型関数である。つまり、 である。このようにして、評価マップ と呼ばれる線型 マップが得られる 。これは、 である。これは、が単射でノルムを保存するハーン・バナッハの定理に従う。 つまり、は の像に等長的に写像する。 さらに、 の像はで閉じているが、 と等しい必要はない。${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime \prime }=\left(X^{\prime }\right)^{\prime }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle h:X^{\prime }\to \mathbb {F} }$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime \prime }}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle J(x):X^{\prime }\to \mathbb {F} }$$${\displaystyle J(x)(f)=f(x)\qquad {\text{ for all }}f\in X^{\prime },}$$${\displaystyle J(x)}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle J(x)\in X^{\prime \prime }.}$$${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$$${\displaystyle J}$$${\displaystyle {\text{ for all }}x\in X\qquad \|J(x)\|^{\prime \prime }=\|x\|,}$$${\displaystyle J}$${\displaystyle X}$${\displaystyle J(X)}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$${\displaystyle J(X)}$${\displaystyle X^{\prime \prime },}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

ノルム空間は、次の同値な条件を満たす場合、 反射的と呼ばれます。${\displaystyle X}$

1. 評価マップは全射であり、${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
2. 評価写像はノルム空間の等長同型写像であり、${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
3. 評価写像はノルム空間の同型写像である。${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$

反射空間はバナッハ空間である。なぜなら、反射空間はバナッハ空間と等長だからである。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$

バナッハ空間は、この標準埋め込みの下でその双双対に線型等長である場合に反射的である。ジェームズ空間は、その双双対に線型等長である非反射的空間の例である。さらに、ジェームズ空間の標準埋め込みによる像は、その双双対で 余次元が1である。 ^[2] バナッハ空間は、商が有限次元を持つ場合（順序が）準反射的と呼ばれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle J.}$ ${\displaystyle J}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle X^{\prime \prime }/J(X)}$${\displaystyle d.}$

1. すべての有限次元ノルム空間は反射的です。これは単純に、この場合、空間、その双対、および双対がすべて同じ線型次元を持ち、したがって、階数零定理により、定義からの線型注入が全単射であるためです。${\displaystyle J}$
2. 無限遠で 0 に向かうスカラー列のバナッハ空間は、上限ノルムを備えており、反射的ではない。以下の一般的な性質から、およびは反射的ではないことがわかる。なぜなら、はの双対に同型であり、はの双対に同型だからである。${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{1}.}$
3. すべてのヒルベルト空間は反射的であり、の Lp 空間も 同様です。より一般的には、すべての一様凸バナッハ空間は、ミルマン・ペティスの定理によれば反射的です。および空間は反射的ではありません (ただし、 が有限集合上の測度である場合などに有限次元である場合を除きます)。同様に、上の連続関数のバナッハ空間は反射的ではありません。${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 1<p<\infty .}$${\displaystyle L^{1}(\mu )}$${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle C([0,1])}$${\displaystyle [0,1]}$
4. ヒルベルト空間上のシャッテン類の作用素の空間は、次の場合に一様凸、つまり反射的である。 の次元が無限大のとき、（トレース類）は反射的でない。なぜなら、それは に同型な部分空間を含み、（ 上の有界線型作用素）は反射的でない。なぜなら、それは に同型な部分空間を含むからである。 どちらの場合も、部分空間は、 の与えられた正規直交基底に関して作用素の対角となるように選ぶことができる。${\displaystyle S_{p}(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle 1<p<\infty .}$${\displaystyle H}$${\displaystyle S_{1}(H)}$${\displaystyle \ell ^{1},}$${\displaystyle S_{\infty }(H)=L(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$${\displaystyle H.}$

すべての有限次元ノルム空間は反射的なバナッハ空間であるため、無限次元空間のみが非反射的になり得ます。

バナッハ空間が反射的バナッハ空間と同型であれば、反射的である。^[3]${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

反射空間のすべての閉じた 線型部分空間は反射的である。反射空間の連続双対は反射的である。反射空間を閉じた部分空間で割った商はすべて反射的である。 ^[4]

をバナッハ空間とします。以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. 空間は反射的です。${\displaystyle X}$
2. の連続的な双対は反射的である。^[5]${\displaystyle X}$
3. の閉単位球は弱位相においてコンパクトである。（これは角谷の定理として知られている。）^[6]${\displaystyle X}$
4. のすべての有界列には弱収束する部分列が存在する。^[7]${\displaystyle X}$
5. リースの補題の命題は、実数^[注1]が正確に^[8]であるときに成り立つ。具体的には、の任意の閉じた適切なベクトル部分空間に対して、任意の${\displaystyle 1.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle u\in X}$${\displaystyle \|u\|=1}$${\displaystyle \|u-y\|\geq 1}$${\displaystyle y\in Y.}$
   • ベクトルと集合の間の距離を表すためにを使用すると、これをより簡単な言葉で言い換えると、 は反射的であり、その場合のみ、 の閉じた適切なベクトル部分空間ごとに、 の単位球面上に、その部分空間から常に少なくとも の距離離れたベクトルが存在することになります。${\displaystyle d(u,Y):=\inf _{y\in Y}\|u-y\|}$${\displaystyle u}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 1=d(u,Y)}$
   • たとえば、反射的バナッハ空間が通常のユークリッドノルムを備え、 が平面である場合、点は結論を満たします。が-軸である場合、平面内の単位円に属するすべての点は結論を満たします。${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \{0\}}$${\displaystyle x-y}$${\displaystyle u=(0,0,\pm 1)}$${\displaystyle d(u,Y)=1.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x-y}$
6. 上の任意の連続線型関数は、^[9]の閉単位球上で最大値に達する（ジェームズの定理）${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

バナッハ空間のノルム閉凸集合は弱閉であるため、 ^[10] 3番目の性質から、反射空間の閉有界凸集合は弱コンパクトであることが分かる。したがって、すべての空でない閉有界凸集合の減少列に対して、交差は空でない。結果として、の閉凸集合上の連続凸関数のうち、集合が 空でなく、ある実数に対して有界であるものは、その最小値をとる。${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle C_{t}=\{x\in C\,:\,f(x)\leq t\}}$$${\displaystyle t,}$${\displaystyle C.}$

反射的バナッハ空間の約束された幾何学的性質は次のとおりです。 が反射空間の閉じた空でない凸部分集合である場合、任意の に対して、と の点間の距離を最小化するが存在する。 これは、 に適用された凸関数に関する前述の結果から導かれる。と 間の 最小距離はによって一意に定義されるが、は定義されないことに注意。 が一様凸である場合、最も近い点は一意である。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle \|x-c\|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle f(y)+\|y-x\|.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle X}$

反射的バナッハ空間が可分なのは、その連続双対が可分な場合のみである。これは、任意のノルム空間に対して連続双対の可分性が^[11]の可分性を意味するという事実から導かれる。${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y^{\prime }}$${\displaystyle Y.}$

非公式には、超反射的バナッハ空間は次の性質を持つ: 任意のバナッハ空間が与えられたとき、のすべての有限次元部分空間が のどこかに非常に類似したコピーを持つ場合、その空間は反射的でなければならない。この定義により、空間自体は反射的でなければならない。基本的な例として、2次元部分空間が の部分空間に等長であるすべてのバナッハ空間は平行四辺形法則を満たすため、^{[12] は}ヒルベルト空間であり、したがって反射的である。超反射的も同様である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X=\ell ^{2}}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

正式な定義では等長変換は使用されないが、ほぼ等長変換が使用される。バナッハ空間が バナッハ空間で有限表現可能^[13]とは、任意の有限次元部分空間と任意のに対して、と間の乗法バナッハ・マズール距離が次を満たす ような部分空間が存在することである。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y_{0}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \epsilon >0,}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle Y_{0}}$$${\displaystyle d\left(X_{0},Y_{0}\right)<1+\varepsilon .}$$

で有限表現可能なバナッハ空間はヒルベルト空間である。すべてのバナッハ空間はで有限表現可能である。Lp 空間はで有限表現可能である。${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle c_{0}.}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$${\displaystyle \ell ^{p}.}$

バナッハ空間が超反射的であるとは、 において有限表現可能なバナッハ空間がすべて反射的である場合、または言い換えると、 において非反射的な空間が有限表現可能ではない場合である。バナッハ空間の族の超積 の概念^[14]によって 簡潔な定義が可能になる。バナッハ空間は、その超冪が反射的である場合に超反射的である。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

ジェームズは、空間が超反射的であるためには、その双対も超反射的である必要があることを証明した。^[13]

ジェームズによる超反射性の特徴付けの 1 つは、分離された木の成長を利用することです。^[15] ベクトル二分木の説明は、ベクトルでラベル付けされた根付き二分木から始まります。バナッハ空間の高さ の木は、連続するレベルに編成できる のベクトルの族です。レベル 0 は、木の根である単一のベクトルで構成され、その後に、レベル の頂点の子 である2 つのベクトルの族が続き、レベル を形成します。木構造 に加えて、ここでは木の内部頂点である各ベクトルが、2 つの子の間の中点である必要があります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2^{n+1}-1}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x_{\varnothing },}$${\displaystyle k=1,\ldots ,n,}$${\displaystyle s^{k}}$${\displaystyle k:}$ $${\displaystyle \left\{x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}\right\},\quad \varepsilon _{j}=\pm 1,\quad j=1,\ldots ,k,}$$${\displaystyle k-1.}$$${\displaystyle x_{\emptyset }={\frac {x_{1}+x_{-1}}{2}},\quad x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k}}={\frac {x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}+x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}}{2}},\quad 1\leq k<n.}$$

正の実数が与えられた場合、すべての内部頂点に対して、2 つの子が指定された空間ノルム内で - 分離されて いる場合、木は- 分離されていると言われます。${\displaystyle t,}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle \left\|x_{1}-x_{-1}\right\|\geq t,\quad \left\|x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},1}-x_{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{k},-1}\right\|\geq t,\quad 1\leq k<n.}$$

定理^[15] バナッハ空間が超反射的であるための必要十分条件は、任意のに対して、単位球に含まれる任意の-分離木の高さが${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in (0,2\pi ],}$${\displaystyle n(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n(t).}$

一様凸空間は超反射的である。^[15] が一様凸で、凸性の法則が で、がの実数であるとする。凸性の法則の性質 により、単位球に含まれる高さの 分離木は、半径の球に含まれるすべてのレベルの点を持つ必要がある。帰納法により、すべてのレベルの点は半径の球に含まれること になる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta _{X}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (0,2].}$${\displaystyle t}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle 1-\delta _{X}(t)<1.}$${\displaystyle n-k}$$${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{j},\ j=1,\ldots ,n.}$$

高さが非常に大きい場合、 仮定に反して、最初のレベルの 2 つのポイントは分離できません。これにより、必要な境界関数はのみになります。 ${\displaystyle n}$$${\displaystyle \left(1-\delta _{X}(t)\right)^{n-1}<t/2,}$$${\displaystyle x_{1},x_{-1}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle n(t),}$${\displaystyle \delta _{X}(t)}$

エンフロは、木の特徴付けを用いて、 超反射的バナッハ空間が同等の一様凸ノルムを許容することを証明した^{[16] 。バナッハ空間内の木は、ベクトル値}マルチンゲールの特別な例である。スカラーマルチンゲール理論の手法を加えて、ピシエは、エンフロの結果を改善し、^[17]超反射的空間が、ある定数とある実数に対して、凸性の係数が満たす同等の一様凸ノルムを許容することを示した。${\displaystyle X}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle q\geq 2,}$ $${\displaystyle \delta _{X}(t)\geq c\,t^{q},\quad {\text{ whenever }}t\in [0,2].}$$

反射バナッハ空間の概念は、次のように 位相ベクトル空間に一般化できます。

を数体（実数または複素数）上の位相ベクトル空間とします。 の強双対空間について考えます。この空間はすべての連続線型関数から成り、という強い位相、つまり における有界部分集合上の一様収束の位相を備えています。 空間は位相ベクトル空間（より正確には、局所凸空間）なので、 に対する強双対空間と呼ばれる強双対空間を考えることができます。この空間はすべての連続線型関数から成り、 という強い位相を備えています。各ベクトルは次の式により マップを生成します。 これは 上の連続線型関数で、つまり です。これにより、評価マップと呼ばれるマップが生成されます。 このマップは線型です。 が局所凸である場合、ハーン・バナッハの定理から は単射かつ開である（つまり、におけるゼロの各近傍に対してとなるにおけるゼロの近傍が存在する）ことがわかります。 ただし、 は非全射および/または不連続になることがあります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right),}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$${\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right).}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }$$${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X^{\prime }.}$$${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$${\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle J}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle J(U)\supseteq V\cap J(X)}$

局所凸空間は ${\displaystyle X}$

• 評価マップ が全射的（つまり全単射）であれば半反射的、${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
• 評価写像が全射かつ連続であれば 反射的である（この場合は 位相ベクトル空間の同型である^[18]）。${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$${\displaystyle J}$

がハウスドルフ局所凸空間である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$半反射的である。
2. 上の弱位相はハイン・ボレル性質を持つ（つまり、弱位相に対しての任意の閉有界部分集合は弱コンパクトである）。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$${\displaystyle X_{\sigma }}$
3. 連続な線型形式が強双対位相を持つとき、それは弱位相を持つとき連続である。 ^[24]${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X^{\prime }}$
4. ${\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}$樽詰めされている^[24]
5. ${\displaystyle X}$弱い位相を持つは準完全である。^[24]${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$

がハウスドルフ局所凸空間である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$反射的です。
2. ${\displaystyle X}$半反射的で下向きに伸びる。[ ^23]
3. ${\displaystyle X}$半反射的で樽状です。
4. ${\displaystyle X}$は樽型であり、上の弱い位相はハイン・ボレル性質を持つ（つまり、弱い位相に対してのすべての閉じた有界部分集合は弱コンパクトである）。^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right),}$${\displaystyle X_{\sigma }}$
5. ${\displaystyle X}$半反射的かつ準樽型である。^[25]

がノルム空間である 場合、以下は同値です。${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$反射的です。
2. 閉じた単位球は、弱い位相を持つときにコンパクトである^[26]${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right).}$
3. ${\displaystyle X}$はバナッハ空間であり反射的である。^[27]${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$
4. の空でない閉有界凸部分集合のすべてに対してとなるすべての列には、空でない交差が存在する。^[28]${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty },}$${\displaystyle C_{n+1}\subseteq C_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

正規空間

半反射的なノルム空間は反射的バナッハ空間である。^[30] 反射的バナッハ空間の閉じたベクトル部分空間は反射的である。^[23]

をバナッハ空間、を の閉ベクトル部分空間とします。と のうち2つが反射的であれば、それらはすべて反射的です。^{[23]これが、反射性が}3空間特性と呼ばれる理由です。^[23]${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X,M,}$${\displaystyle X/M}$

位相ベクトル空間

樽型局所凸ハウスドルフ空間が半反射的であれば、それは反射的である。^[1]

反射的空間の強い双対は反射的である。^[31]すべてのモンテル空間は反射的である。^{[26]そして}モンテル空間の強い双対はモンテル空間である（したがって反射的である）。^[26]

局所凸ハウスドルフ反射空間は樽型である。がノルム空間であれば、は^[30]の閉部分空間への等長変換である。この等長変換は次のように表される。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle I:X\to X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$$${\displaystyle \|x\|=\sup _{\stackrel {x^{\prime }\in X^{\prime },}{\|x^{\prime }\|\leq 1}}\left|\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \right|.}$$

がノルム空間であり、その双対空間に双対ノルムが備わっているとする。すると、の単位球は弱位相に対して の 単位球に稠密となる ^[30]${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle I(\{x\in X:\|x\|\leq 1\})}$${\displaystyle \left\{x^{\prime \prime }\in X^{\prime \prime }:\left\|x^{\prime \prime }\right\|\leq 1\right\}}$${\displaystyle X^{\prime \prime }}$${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right).}$

1. すべての有限次元ハウスドルフ位相ベクトル空間は反射的です。これは、線形代数により全単射であり、有限次元ベクトル空間上には一意のハウスドルフベクトル空間位相が存在するためです。${\displaystyle J}$
2. ノルム空間がノルム空間として反射的であるためには、局所凸空間として反射的である必要があります。これは、ノルム空間の双対ノルム空間が位相ベクトル空間として強双対空間と一致するという事実から生じます。結果として、評価マップは評価マップと一致し、次の条件は同値になります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime },}$
   1. ${\displaystyle X}$は反射的ノルム空間である（つまり、ノルム空間の同型である）、${\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }}$
   2. ${\displaystyle X}$は反射的局所凸空間である（つまり、位相ベクトル空間の同型である^[18]）、${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
   3. ${\displaystyle X}$は半反射的局所凸空間（つまり、射影的）である。${\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$
3. 反射的ではない半反射的空間の（やや不自然な）例は、次のようにして得られる。 を無限次元反射的バナッハ空間とし、 を位相ベクトル空間、つまり弱い位相を備えたベクトル空間とすると、 との連続双対は同じ関数の集合となり、 の有界部分集合（つまり、 の弱有界部分集合）はノルム有界となるため、バナッハ空間はの強双対となる。 は反射的であるため、 の連続双対は標準埋め込みの下での の像に等しいが 、 上の位相（ の弱い位相）はのノルム位相に等しい強位相ではない。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right),}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y^{\prime }}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X^{\prime }=Y^{\prime }}$${\displaystyle J(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle J,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right),}$${\displaystyle Y.}$
4. モンテル空間は反射的局所凸位相ベクトル空間である。特に、関数解析で頻繁に使用される以下の関数空間は反射的局所凸空間である: ^[32]
   • 任意の（実）滑らかな多様体上の滑らかな関数の空間と、そのコンパクトな台を持つ超関数の強い双対空間${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle \left(C^{\infty }\right)^{\prime }(M)}$${\displaystyle M,}$
   • 任意の（実）滑らかな多様体上のコンパクトな台を持つ滑らかな関数の空間と、その超関数の強双対空間${\displaystyle {\mathcal {D}}(M)}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\prime }(M)}$${\displaystyle M,}$
   • 任意の複素多様体上の正則関数の空間と、その強双対な解析関数の空間${\displaystyle {\mathcal {O}}(M)}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\prime }(M)}$${\displaystyle M,}$
   • 上のシュワルツ空間 と、その強双対緩和超関数空間${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\prime }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

• 強双対が反射的な非反射的局所凸TVSが存在する。^[33]

ステレオタイプ空間、または極反射空間は、反射性の同様の条件を満たす位相ベクトル空間(TVS) として定義されますが、双対空間の定義において、 （有界部分集合の代わりに）全有界部分集合上の一様収束の位相を持ちます。より正確には、TVS は、第 2 の双対空間への評価写像が位相 ベクトル空間の同型 である場合に、極反射^[34]またはステレオタイプと呼ばれます。^[18]ここで、ステレオタイプ双対空間は、内の全有界集合上の一様収束の位相を備えた連続線型関数の空間として定義されます(ステレオタイプの第 2 の双対空間は、同じ意味でのの双対空間です)。 ${\displaystyle X^{\prime }.}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle J:X\to X^{\star \star },\quad J(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }}$$${\displaystyle X^{\star }}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\star \star }}$${\displaystyle X^{\star }}$

古典的な反射空間とは対照的に、ステレオタイプ空間のクラスSteは非常に広く (特に、すべてのフレシェ空間と、したがってすべてのバナッハ空間)、閉じたモノイドカテゴリを形成し、閉じた部分空間、商空間、射影および単射極限、作用素の空間、テンソル積など、新しい空間を構築する標準的な操作 ( Ste内で定義) を許可します。カテゴリSteは、非可換群の双対性理論に応用されています。

同様に、双対空間の定義におけるにおける有界（および全有界）部分集合のクラスを、他の部分集合のクラス、例えば におけるコンパクト部分集合のクラスに置き換えることができます。対応する反射条件によって定義される空間は反射的と呼ばれ、^{[35] [36]}それらはSteよりもさらに広いクラスを形成しますが、このクラスがSteと同様の特性を持つカテゴリを形成するかどうかは明らかではありません（2012）。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{\prime },}$${\displaystyle X}$

• グロタンディーク空間
  • 反射空間のいくつかの性質を持ち、実用上重要な多くの空間を含む一般化がグロタンディーク空間の概念である。
• 反射的作用素代数 – それを特徴付けるのに十分な不変部分空間を持つ作用素代数Pages displaying wikidata descriptions as a fallback