弱微分

数学において、弱微分とは、微分可能ではなく積分可能、すなわちL ^p空間に属する関数に対する関数の微分（強微分）の概念の一般化である。${\displaystyle L^{1}([a,b])}$。

部分積分法は、滑らかな関数に対して次のことを行う。${\displaystyle u}$そして${\displaystyle \varphi }$我々は持っています

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)\varphi '(x)\,dx&={\Big [}u(x)\varphi (x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)\varphi (x)\,dx.\\[6pt]\end{aligned}}}$$

関数uuの弱微分であることは、基本的に、この方程式がすべての滑らかな関数に対して成り立つ必要があるという要件によって定義されます。${\displaystyle \varphi }$境界点で消滅する（${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$)

させて${\displaystyle u}$ルベーグ空間の関数である${\displaystyle L^{1}([a,b])}$私たちはこう言います${\displaystyle v}$ で${\displaystyle L^{1}([a,b])}$は弱導関数である${\displaystyle u}$もし

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt}$

すべての無限微分可能な関数に対して${\displaystyle \varphi }$と${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$[ ^{1 ] [ 2 ]​}

一般化すると${\displaystyle n}$寸法、もし${\displaystyle u}$そして${\displaystyle v}$空間の中に${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(U)}$ある開集合に対する局所的に積分可能な関数$\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$、そしてもし${\displaystyle \alpha }$は多重インデックスです。${\displaystyle v}$は$\displaystyle \alpha ^{\text{th}}}$-弱微分${\displaystyle u}$もし

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi ,}$

すべての人々のために${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$つまり、無限回微分可能なすべての関数について${\displaystyle \varphi }$コンパクトなサポート付き${\displaystyle U}$。 ここ${\displaystyle D^{\alpha }\varphi }$は次のように定義される。 $$${\displaystyle D^{\alpha }\varphi ={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$$$

もし${\displaystyle u}$弱微分を持つので、よく次のように書かれる${\displaystyle D^{\alpha }u}$弱微分は一意であるため（少なくとも測度ゼロの集合を除いて、以下を参照）。^{[ 3 ]}

• 絶対値関数${\displaystyle u:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+},u(t)=|t|}$これは、微分不可能である。${\displaystyle t=0}$弱い導関数を持つ${\displaystyle v:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$符号関数として知られ、次式で与えられる。$${\displaystyle v(t)={\begin{cases}1&{\text{if }}t>0;\\[6pt]0&{\text{if }}t=0;\\[6pt]-1&{\text{if }}t<0.\end{cases}}}$$これはuの唯一の弱微分ではありません。ほとんど至るところでvと等しい任意のwもuの弱微分です。例えば、上記のv (0) の定義は任意の実数に置き換えることができます。通常、複数の解が存在することは問題になりません。なぜなら、関数は、ほとんど至るところで等しい場合、L ^p空間やソボレフ空間の理論では同等であるとみなされるからです。
• 有理数の特性関数${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$はどこでも微分可能ではないが、弱導関数を持つ。有理数のルベーグ測度はゼロなので、$${\displaystyle \int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)\,dt=0.}$$したがって${\displaystyle v(t)=0}$は弱導関数である${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$^{。これは、L p}空間の要素として考えると、私たちの直感と一致することに注意してください。${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ゼロ関数と同一視される。
• カントール関数c は、ほとんど至るところで微分可能であるにもかかわらず、弱微分を持ちません。これは、cの弱微分は、ほとんど至るところでcの古典的な微分と等しくなければならず、古典的な微分はほとんど至るところでゼロになるからです。しかし、ゼロ関数はcの弱微分ではありません。これは、適切なテスト関数と比較することでわかります。${\displaystyle \varphi }$より理論的に言えば、c は弱い導関数を持ちません。なぜなら、c の分布導関数、すなわちカントール分布は特異な測度であり、したがって関数で表現できないからです。

2つの関数が同じ関数の弱導関数である場合、それらはルベーグ測度がゼロの集合を除いて等しい、つまりほとんどすべての点で等しい。2つの関数がほとんどすべての点で等しい場合に等価であるような関数の同値類を考えると、弱導関数は一意である。

また、uが通常の意味で微分可能である場合、その弱微分は（上述の意味で）通常の（強い）微分と同一である。したがって、弱微分は強い微分の一般化である。さらに、関数の和と積の微分に関する古典的な規則は、弱微分にも適用される。

この概念は、微分方程式の問題や関数解析において有用な、ソボレフ空間における弱解の定義につながる。

• 劣導関数
• ワイルの補題（ラプラス方程式）