射影（線形代数）

• 正方行列${\displaystyle P}$が二乗に等しい場合、射影行列と呼ばれます。つまり、${\displaystyle P^{2}=P}$[ ^{2 ] ： 38ページ}
• 正方行列${\displaystyle P}$が直交射影行列と呼ばれるのは、${\displaystyle P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }}$実数行列の場合、それぞれ${\displaystyle P^{2}=P=P^{*}}$複素行列の場合、${\displaystyle P^{\mathrm {T} }}$の転置を表す${\displaystyle P}$そして${\displaystyle P^{*}}$は、の随伴またはエルミート転置を表す 。${\displaystyle P}$[ ^{2 ] ： 223ページ}
• 直交射影行列ではない射影行列は、斜交射影行列と呼ばれます。

射影行列の固有値は0または1でなければならない。

例えば、点をマッピングする関数${\displaystyle (x,y,z)}$三次元空間において$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$要点を言うと${\displaystyle (x,y,0)}$これはxy平面への直交射影です。この関数は行列で表されます。 $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$$

この行列が任意のベクトルに及ぼす作用は $${\displaystyle P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}.}$$

それを見るために${\displaystyle P}$これは確かに投影です。つまり、${\displaystyle P=P^{2}}$計算します $${\displaystyle P^{2}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.}$$

観察すると、${\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P}$これは、その投影が直交投影であることを示している。

非直交（斜交）投影の簡単な例は次のとおりです。 $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.}$$

行列乗算により、次のことがわかる。 $${\displaystyle P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.}$$ 示している${\displaystyle P}$それは確かに予測である。

投影${\displaystyle P}$直交するのは、${\displaystyle \alpha =0}$なぜならその時だけ${\displaystyle P^{\mathrm {T} }=P.}$

定義上、投影${\displaystyle P}$冪等である（つまり${\displaystyle P^{2}=P}$)

すべての射影は、その像への開写像であり、つまり、領域内の各開集合を像の部分空間トポロジー内の開集合に写像します。 つまり、任意のベクトルに対して${\displaystyle \mathbf {x} }$そしてどんなボールでも${\displaystyle B_{\mathbf {x} }}$（正の半径）中心は${\displaystyle \mathbf {x} }$ボールが存在する${\displaystyle B_{P\mathbf {x} }}$（正の半径）中心は${\displaystyle P\mathbf {x} }$画像に完全に含まれている${\displaystyle P(B_{\mathbf {x} })}$。

させて${\displaystyle W}$有限次元ベクトル空間であり、${\displaystyle P}$投影する${\displaystyle W}$部分空間を仮定すると${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$は、​​​${\displaystyle P}$それぞれ。それから${\displaystyle P}$以下の特性を持つ。

1. ${\displaystyle P}$は恒等演算子です${\displaystyle I}$の上${\displaystyle U}$:$${\displaystyle \forall \mathbf {x} \in U:P\mathbf {x} =\mathbf {x} .}$$
2. 直接合計があります${\displaystyle W=U\oplus V}$すべてのベクトル${\displaystyle \mathbf {x} \in W}$一意に分解できる${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }$と${\displaystyle \mathbf {u} =P\mathbf {x} }$そして${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} -P\mathbf {x} =\left(I-P\right)\mathbf {x} }$、そして${\displaystyle \mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V.}$

投影の画像とカーネルは相補的であり、${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q=I-P}$オペレーター${\displaystyle Q}$は、イメージとカーネルとしての投影でもある。${\displaystyle P}$核となり、イメージとなる${\displaystyle Q}$そしてその逆もまた然り。${\displaystyle P}$は、${\displaystyle V}$に${\displaystyle U}$（カーネル/イメージ）と${\displaystyle Q}$は、${\displaystyle U}$に${\displaystyle V}$。

無限次元ベクトル空間では、射影のスペクトルは${\displaystyle \{0,1\}}$として $${\displaystyle (\lambda I-P)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}I+{\frac {1}{\lambda (\lambda -1)}}P.}$$射影の固有値は 0または1のみである。これは直交射影が${\displaystyle P}$は常に正定値半行列です。一般に、対応する固有空間は（それぞれ）射影の核と像です。ベクトル空間の直和への分解は一意ではありません。したがって、部分空間が与えられた場合${\displaystyle V}$範囲（またはカーネル）が${\displaystyle V}$。

射影が非自明であれば、最小多項式を持つ${\displaystyle x^{2}-x=x(x-1)}$これは、個別の線形因子に分解され、したがって${\displaystyle P}$対角化可能である。

射影の積は、たとえそれらが直交していても、一般には射影とはならない。2つの射影が可換であれば、それらの積は射影となるが、その逆は成り立たない。つまり、2つの非可換な射影の積は、射影となる場合もあれば、そうでない場合もある。

2つの直交射影が可換であれば、それらの積は直交射影となる。2つの直交射影の積が直交射影であれば、2つの直交射影は可換である（より一般的には、2つの自己共役自己準同型写像が可換であるのは、それらの積が自己共役である場合に限る）。

ベクトル空間${\displaystyle W}$内積を持ち、完備（ヒルベルト空間）である場合、直交性の概念を使用できます。直交射影とは、範囲が${\displaystyle U}$そしてカーネル${\displaystyle V}$は直交部分空間である。したがって、すべての に対して${\displaystyle \mathbf {x} }$そして${\displaystyle \mathbf {y} }$で${\displaystyle W}$、${\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0}$同等に： $${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .}$$

射影が直交するのは、それが自己共役である場合に限る。自己共役性と冪等性を利用して、${\displaystyle P}$どのような場合でも${\displaystyle \mathbf {x} }$そして${\displaystyle \mathbf {y} }$で${\displaystyle W}$我々は持っています${\displaystyle P\mathbf {x} \in U}$、${\displaystyle \mathbf {y} -P\mathbf {y} \in V}$、 そして $${\displaystyle \langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} -P\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\left(P-P^{2}\right)\mathbf {y} \rangle =0}$$ どこ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$は、${\displaystyle W}$。 したがって、${\displaystyle P}$そして${\displaystyle I-P}$直交射影である。^{[ 3 ]}反対方向、つまり、${\displaystyle P}$が直交ならば自己共役であり、次の含意から導かれる。${\displaystyle \langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =0}$に $${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P^{*}\mathbf {y} \rangle }$$ すべての${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$で${\displaystyle W}$; したがって${\displaystyle P=P^{*}}$。

閉部分空間への直交射影の存在は、ヒルベルト射影定理から導かれる。

斜投影という用語は、直交投影以外の投影を指す場合にも用いられることがあります。これらの投影は、直交投影ほど頻繁ではありませんが、2次元図面で空間図形を表現するためにも使用されます（斜投影を参照）。通常の最小二乗回帰の適合値を計算するには直交投影が必要ですが、操作変数回帰の適合値を計算するには斜投影が必要です。

射影は、その核と、その像域（核の補空間）を特徴付けるために使用される基底ベクトルによって定義されます。これらの基底ベクトルが核と直交する場合、その射影は直交射影と呼ばれます。これらの基底ベクトルが核と直交しない場合、その射影は斜射影、または単に射影と呼ばれます。

Let ${\displaystyle V}$ be a vector space (in this case a plane) spanned by orthogonal vectors ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}}$. Let ${\displaystyle y}$ be a vector. One can define a projection of ${\displaystyle \mathbf {y} }$ onto ${\displaystyle V}$ as $${\displaystyle \operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} ={\frac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {u} ^{i}}{\mathbf {u} ^{i}\cdot \mathbf {u} ^{i}}}\mathbf {u} ^{i}}$$ where repeated indices are summed over (Einstein sum notation). The vector ${\displaystyle \mathbf {y} }$ can be written as an orthogonal sum such that ${\displaystyle \mathbf {y} =\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} +\mathbf {z} }$. ${\displaystyle \operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} }$ is sometimes denoted as ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$. There is a theorem in linear algebra that states that this ${\displaystyle \mathbf {z} }$ is the smallest distance (the orthogonal distance) from ${\displaystyle \mathbf {y} }$ to ${\displaystyle V}$ and is commonly used in areas such as machine learning.