数学において、 2 つの 位相ベクトル空間 (TVS)の 単射テンソル積は、 アレクサンダー グロタンディーク によって導入され 、彼によって 核空間 の定義に使用されました。単射テンソル積は一般に 完全 とは限らないため、その 完備性は 完全単射テンソル積 と呼ばれます 。単射テンソル積は、核空間以外にも応用されています。特に、以下で説明するように、TVS 同型性まで、 シュワルツ空間や連続微分可能関数の空間など、実数値または複素数値関数に対して定義される多くの TVS は、ハウスドルフ 局所凸 TVS で値を取る関数に直ちに拡張でき、 定義 (「ある点で微分可能」など) を実数値/複素数値関数から - 値関数に拡張する必要はあり ませ ん 。
はい
{\displaystyle Y}
はい
{\displaystyle Y}
準備と表記 全体を通して 、および を位相ベクトル空間 とし 、 線型写像とします。
バツ 、 はい 、
{\displaystyle X,Y,}
ず
{\displaystyle Z}
ら : バツ → はい
{\displaystyle L:X\to Y}
ら : バツ → はい
{\displaystyle L:X\to Y}
は、 線形かつ連続であり、 開写像 である場合に 位相準同型 または 準同型で あり、ここで は によって誘導される部分空間位相を持つ。
ら : バツ → 私は ら
{\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}
私は ら = ら （ バツ ）
{\displaystyle \operatorname {Im} L=L(X)}
はい
{\displaystyle Y}
が の部分空間である 場合 、商写像 と正準写像は両方とも 準同型です。特に、任意の線型写像は 次のように正準分解できます。 ここで、 は 全単射を定義します。
S
{\displaystyle S}
バツ
{\displaystyle X}
バツ → バツ
/
S
{\displaystyle X\to X/S}
S → バツ
{\displaystyle S\to X}
ら : バツ → はい
{\displaystyle L:X\to Y}
バツ → バツ
/
カー ら
→
ら
0
私は ら → はい
{\displaystyle X\to X/\ker L\mathbin {\overset {L_{0}}{\rightarrow }} \operatorname {Im} L\to Y}
ら
0
（ x + カー ら ） := ら （ x ）
{\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L(x)}
連続線型写像（連続双線型写像） の集合は、 （それぞれ） で表されます。 ここで、が スカラー体である場合は、 （それぞれ ）と書くこともできます。
バツ → ず
{\displaystyle X\to Z}
バツ × はい → ず
{\displaystyle X\times Y\to Z}
ら （ バツ ; ず ）
{\displaystyle L(X;Z)}
B （ バツ 、 はい ; ず ）
{\displaystyle B(X,Y;Z)}
ず
{\displaystyle Z}
ら （ バツ ）
{\displaystyle L(X)}
B （ バツ 、 はい ）
{\displaystyle B(X,Y)}
別々に連続な双線型写像（つまり、他の変数が固定されているときに各変数が連続する） の集合は、次のように表される。 ここで、が スカラー体である場合、次のように書くこともできる。
バツ × はい → ず
{\displaystyle X\times Y\to Z}
B
（ バツ 、 はい ; ず ）
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}
ず
{\displaystyle Z}
B
（ バツ 、 はい ） 。
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y).}
の 連続双対空間を で表し、 代数双対空間（ 連続か否かを問わず 上のすべての線型関数のベクトル空間）を で表す。
バツ
{\displaystyle X}
バツ
′
{\displaystyle X^{\prime}}
バツ 、
{\displaystyle X,}
バツ
#
。
{\displaystyle X^{\#}.}
説明の明瞭性を高めるために、 の要素を 記号の後にプライムを付けて表記するという一般的な規則を使用します (たとえば、は の要素を表し 、導関数を表すわけではありません。また、変数 と は 、 何らかの形で関連している必要はありません。
バツ
′
{\displaystyle X^{\prime}}
x
′
{\displaystyle x^{\prime}}
バツ
′
{\displaystyle X^{\prime}}
x
{\displaystyle x}
x
′
{\displaystyle x^{\prime}}
トポロジの表記
σ
（
バツ 、
バツ
′
）
{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}
は、あらゆる写像を連続的に作成する 際の 最も粗い位相 を表し 、 または は この位相が備わっていること を表します 。
バツ
{\displaystyle X}
バツ
′
{\displaystyle X^{\prime}}
バツ
σ
（
バツ 、
バツ
′
）
{\displaystyle X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}}
バツ
σ
{\displaystyle X_{\sigma}}
バツ
{\displaystyle X}
σ
（
バツ
′
、 バツ
）
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
は上の 弱*位相 を表し 、 は上の弱*位相を表します。 または は 上の弱* 位相を表します 。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}}
X
σ
′
{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
任意の によって定義される 写像が誘導され、 それが X′ 上の最も粗い位相となり、そのような写像がすべて連続になること に注意してください。
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
X
′
→
R
{\displaystyle X^{\prime }\to \mathbb {R} }
λ
↦
λ
(
x
0
)
.
{\displaystyle \lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
b
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}
は、および 上の有界収束の位相
X
{\displaystyle X}
を表します。 または、は、 この位相が備わっていること を表します 。
X
b
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}}
X
b
{\displaystyle X_{b}}
X
{\displaystyle X}
b
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}
は、上の有界収束の位相
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
、または および 上の強双対位相
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
を表します 。
あるいは、 は この位相が備わっていること を表します。
X
b
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle X_{b\left(X^{\prime },X\right)}}
X
b
′
{\displaystyle X_{b}^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
いつものように、 が位相ベクトル空間として考えられているが、それがどのような位相を備えているかが明らかにされていない場合、その位相は次のように仮定される。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
b
(
X
′
,
X
)
.
{\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}
τ
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle \tau \left(X,X^{\prime }\right)}
は上の Mackey位相 、またはの 凸平衡弱コンパクト部分集合上の一様収束位相を 表す。 または 、 この位相に恵まれていること を表す。は、 連続双対空間がに等しい、 最も細かい局所凸TVS位相である。
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
τ
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle X_{\tau \left(X,X^{\prime }\right)}}
X
τ
{\displaystyle X_{\tau }}
X
{\displaystyle X}
τ
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle \tau (X,X^{\prime })}
X
{\displaystyle X}
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
τ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \tau \left(X^{\prime },X\right)}
は上の Mackey 位相 、または の凸平衡弱コンパクト部分集合上の一様収束位相 を表します。 または は、 この位相が備わっていること
を表します。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
X
τ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}}
X
τ
′
{\displaystyle X_{\tau }^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
に注意してください
τ
(
X
′
,
X
)
⊆
b
(
X
′
,
X
)
⊆
τ
(
X
′
,
X
′
′
)
.
{\displaystyle \tau \left(X^{\prime },X\right)\subseteq b\left(X^{\prime },X\right)\subseteq \tau \left(X^{\prime },X^{\prime \prime }\right).}
ε
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle \varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}
は、および の等連続部分集合上の一様収束の位相
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
を表します。 または、は この位相が備わっていること を表します 。
X
ε
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle X_{\varepsilon \left(X,X^{\prime }\right)}}
X
ε
{\displaystyle X_{\varepsilon }}
X
{\displaystyle X}
が線型写像の集合である 場合 、 が 等連続となる のは、 が原点で等連続となる場合のみで ある。つまり、 における原点の 任意 の近傍に対して、 における 原点の 近傍が存在し、任意の
H
{\displaystyle H}
X
→
Y
{\displaystyle X\to Y}
H
{\displaystyle H}
V
{\displaystyle V}
Y
,
{\displaystyle Y,}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
λ
(
U
)
⊆
V
{\displaystyle \lambda (U)\subseteq V}
λ
∈
H
.
{\displaystyle \lambda \in H.}
からへ の線型写像の 集合が 等連続 であるとは、 における原点の 任意の近傍に対してにおける 原点の 近傍が存在し、 すべての [
H
{\displaystyle H}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
V
{\displaystyle V}
Y
,
{\displaystyle Y,}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
h
(
U
)
⊆
V
{\displaystyle h(U)\subseteq V}
h
∈
H
.
{\displaystyle h\in H.}
意味 全体を通して 、およびを 連続双対空間を持つ 位相ベクトル空間 とする 。 記述される結果のほとんどが、これらのベクトル空間が体上にあるか体上にある かには依存しないことに注意する が、説明を簡単にするために、体上にあると仮定する。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
Y
′
.
{\displaystyle Y^{\prime }.}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
.
{\displaystyle \mathbb {C} .}
テンソル積としての連続双線形写像 テンソル積 は純粋に代数的な構成（定義に位相は含まれない） であるにもかかわらず、 連続双線形関数のベクトル空間は、がここで説明した方法で定義されている 場合、常に と （つまり）のテンソル積である 。
X
⊗
Y
{\displaystyle X\otimes Y}
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
=
X
⊗
Y
{\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}
⊗
{\displaystyle \,\otimes \,}
任意 の に対して、 が で定義される
上の双線型形式を表すとします。
この写像は 常に連続 であり、 を の双線型形式に 送る割り当ては、 に含まれる
像を 持つ標準写像を誘導します
。
実際、 上の任意の連続双線型形式は、 この写像の像の範囲に属します (つまり、 )。次の定理を使用して、 上記の写像と が および のテンソル積である ことを証明できます 。
(
x
,
y
)
∈
X
×
Y
,
{\displaystyle (x,y)\in X\times Y,}
x
⊗
y
{\displaystyle x\otimes y}
X
′
×
Y
′
{\displaystyle X^{\prime }\times Y^{\prime }}
(
x
⊗
y
)
(
x
′
,
y
′
)
:=
x
′
(
x
)
y
′
(
y
)
.
{\displaystyle (x\otimes y)\left(x^{\prime },y^{\prime }\right):=x^{\prime }(x)y^{\prime }(y).}
x
⊗
y
:
X
σ
′
×
Y
σ
′
→
C
{\displaystyle x\otimes y:X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }\to \mathbb {C} }
(
x
,
y
)
∈
X
×
Y
{\displaystyle (x,y)\in X\times Y}
x
⊗
y
{\displaystyle x\otimes y}
⋅
⊗
⋅
:
X
×
Y
→
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle \cdot \,\otimes \,\cdot \;:\;X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
X
⊗
Y
{\displaystyle X\otimes Y}
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
.
{\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).}
X
σ
′
×
Y
σ
′
{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }\times Y_{\sigma }^{\prime }}
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
=
span
(
X
⊗
Y
)
{\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=\operatorname {span} (X\otimes Y)}
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
⊗
{\displaystyle \,\otimes \,}
X
{\displaystyle X}
Y
.
{\displaystyle Y.}
定理 — とを ベクトル空間とし、を双線型写像とする 。 すると、 が と テンソル積 となるのは、 像が の 全体を張る （つまり、 ） 場合であり 、ベクトル空間 とが -線型的に互いに素で ある場合に限る 。これは定義 により、同じ有限長の 要素 とのすべての 列に対して、
X
,
Y
,
{\displaystyle X,Y,}
Z
{\displaystyle Z}
T
:
X
×
Y
→
Z
{\displaystyle T:X\times Y\to Z}
(
Z
,
T
)
{\displaystyle (Z,T)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
T
{\displaystyle T}
Z
{\displaystyle Z}
Z
=
span
T
(
X
×
Y
)
{\displaystyle Z=\operatorname {span} T(X\times Y)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
T
{\displaystyle T}
x
1
,
…
,
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in X}
y
1
,
…
,
y
n
∈
Y
{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in Y}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
0
=
T
(
x
1
,
y
1
)
+
⋯
+
T
(
x
n
,
y
n
)
,
{\displaystyle 0=T\left(x_{1},y_{1}\right)+\cdots +T\left(x_{n},y_{n}\right),}
すべてが 線形独立であれば、すべてが線形独立で あり 、
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
y
i
{\displaystyle y_{i}}
0
,
{\displaystyle 0,}
すべてが 線形独立であれば、すべて は
y
1
,
…
,
y
n
{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
0.
{\displaystyle 0.}
同様に、 とが-線型的に互いに素で ある ことと、 のすべての線型独立なシーケンス に対しての すべての線型独立なシーケンスが線型独立である ことは同値 である。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
T
{\displaystyle T}
x
1
,
…
,
x
m
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}
X
{\displaystyle X}
y
1
,
…
,
y
n
{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}
Y
,
{\displaystyle Y,}
{
T
(
x
i
,
y
j
)
:
1
≤
i
≤
m
,
1
≤
j
≤
n
}
{\displaystyle \left\{T\left(x_{i},y_{j}\right):1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\right\}}
トポロジー 今後、検討するすべての位相ベクトル空間は局所凸であると仮定する。が任意の 局所凸位相ベクトル空間である場合、 任意の同連続 部分集合 およびの任意 の近傍 に対して、 が 定義さ
れ
、すべての集合 が で有界となる ことが、すべての集合の集合が 上で局所凸 TVS 位相を形成するため に必要かつ十分である -位相
と呼ばれ 、ベクトル空間が -位相を備えている場合は常に、開き括弧の前に添え字として を置くことによってこれが示される 。たとえば、 -位相 を備えている場合 は と表される。 がハウスドルフである
場合 、 -位相もハウスドルフである 。
Z
{\displaystyle Z}
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
;
Z
)
⊆
B
(
X
b
′
,
Y
b
′
;
Z
)
{\textstyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime };Z\right)~\subseteq ~{\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}
G
⊆
X
′
{\displaystyle G\subseteq X^{\prime }}
H
⊆
Y
′
,
{\displaystyle H\subseteq Y^{\prime },}
N
{\displaystyle N}
Z
,
{\displaystyle Z,}
U
(
G
,
H
,
N
)
=
{
b
∈
B
(
X
b
′
,
Y
b
′
;
Z
)
:
b
(
G
,
H
)
⊆
N
}
{\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)=\left\{b\in {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)~:~b(G,H)\subseteq N\right\}}
b
(
G
×
H
)
{\displaystyle b(G\times H)}
Z
,
{\displaystyle Z,}
U
(
G
,
H
,
N
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}(G,H,N)}
B
(
X
b
′
,
Y
b
′
;
Z
)
.
{\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
B
(
X
b
′
,
Y
b
′
;
Z
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right)}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
B
ε
(
X
b
′
,
Y
b
′
;
Z
)
.
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{b}^{\prime },Y_{b}^{\prime };Z\right).}
Z
{\displaystyle Z}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
が基底スカラー体 である特殊なケースでは、 はテンソル積であり 、したがって位相ベクトル空間は と の 入射的なテンソル積 と呼ばれ 、 で表記されます。
この TVS は必ずしも 完全で はないため 、 で表記されるその 完備 が構築されます。すべての空間がハウスドルフである場合、 が 完全であることと、 が両方とも 完備であることに限ります。 この場合、 の完備化は のベクトル部分空間です。
と が ノルム空間 である場合、 もそうです。が バナッハ空間 である ことと、 と の両方がこれが真であることに限ります。
Z
{\displaystyle Z}
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
X
⊗
Y
{\displaystyle X\otimes Y}
B
ε
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
⊗
ε
Y
.
{\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y.}
X
⊗
^
ε
Y
,
{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y,}
B
ε
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
⊗
^
ε
Y
{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}
B
ε
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
.
{\displaystyle {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right).}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
B
ε
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
,
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right),}
B
ε
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
X
{\displaystyle X}
Y
.
{\displaystyle Y.}
等連続集合 等連続部分集合（すべての可能性）に収束する理由の 1 つは、次の重要な事実です。
TVS [注 1] 上の連続線形関数の集合が 等連続であるためには、それが の原点の 近傍の 極 に含まれる必要がある。つまり、
H
{\displaystyle H}
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
H
⊆
U
∘
.
{\displaystyle H\subseteq U^{\circ }.}
TVS の位相は、原点の開近傍によって完全に決定される。この事実と 双極子定理 は、部分集合の極をとる操作によって、 のすべての等連続部分集合のコレクションが の与えられた位相 に関するすべての情報を「エンコード」することを意味する 。具体的には、 上の異なる局所凸 TVS 位相は、 異なる等連続部分集合のコレクションを生成し、逆に、そのような等連続集合のコレクションが与えられた場合、そのコレクション内のすべての (等連続) 集合の極をとることによって TVS の元の位相を復元できる。したがって、この識別を通じて、等連続部分集合のコレクション上の一様収束は、本質的に TVS の位相そのもの上の一様収束である。これにより 、および の与えられた位相と直接的に関連づけることができる
。さらに、局所凸ハウスドルフ空間の位相は、 の等連続部分集合上の一様収束の位相と同一である
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
Y
.
{\displaystyle Y.}
X
{\displaystyle X}
X
′
.
{\displaystyle X^{\prime }.}
このため、この記事では、単射テンソル積を扱う上で重要な等連続集合の特性をいくつか挙げています。全体を通して 、および は任意の局所凸空間であり、は から への線型写像の集合です。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
H
{\displaystyle H}
X
{\displaystyle X}
Y
.
{\displaystyle Y.}
が等連続である場合、 上の以下の位相から継承される 部分空間位相は 同一である:
H
⊆
L
(
X
;
Y
)
{\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}
H
{\displaystyle H}
L
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L(X;Y)}
プレコンパクト収束の位相; コンパクト収束の位相; 点収束の位相。 与えられた密な部分集合上の点ごとの収束の位相
X
.
{\displaystyle X.}
等連続集合は 有界収束の位相において有界である（つまり、において有界である ）。 したがって特に、 有界収束の位相よりも粗いすべてのTVS位相において有界となる。
H
⊆
L
(
X
;
Y
)
{\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}
L
b
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L_{b}(X;Y)}
H
{\displaystyle H}
が樽型空間 で あり局所凸である 場合 、任意の部分集合に対して 以下は同値である:
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
H
⊆
L
(
X
;
Y
)
,
{\displaystyle H\subseteq L(X;Y),}
H
{\displaystyle H}
等連続である。
H
{\displaystyle H}
は点収束の位相において有界である（つまり、 において有界である ）。
L
σ
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}
H
{\displaystyle H}
は有界収束の位相において有界である（つまり、 において有界である ）。
L
b
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L_{b}(X;Y)}
特に、集合が 等連続であることを示すには、それが点収束の位相において有界であることを示すだけで十分である。
H
{\displaystyle H}
がベール空間で あれば、その 内部で有界となる部分集合 は必ず等連続となる。
X
{\displaystyle X}
H
⊆
L
(
X
;
Y
)
{\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}
L
σ
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}
が 分離可能 で 、 が距離化可能で、 がの稠密な部分集合である場合 、上の点ごとの収束の位相により距離化 可能となり 、特に、任意の等連続部分集合 が継承する部分空間位相は 距離化可能である。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
D
{\displaystyle D}
X
,
{\displaystyle X,}
D
{\displaystyle D}
L
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L(X;Y)}
H
⊆
L
(
X
;
Y
)
{\displaystyle H\subseteq L(X;Y)}
L
σ
(
X
;
Y
)
{\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}
連続双対空間の等連続部分集合 （ここで は の基礎となるスカラー体 ）に対して、次が成り立ちます。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
上の等連続な線型関数の弱閉包は、 のコンパクト部分空間である。
X
{\displaystyle X}
X
σ
′
.
{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }.}
が 可分で あれば 、 の任意の弱閉等連続部分集合は 、弱位相（つまり、 から継承された部分空間位相 ）が与えられたときに距離化可能なコンパクト空間となる。
X
{\displaystyle X}
X
σ
′
{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}
X
σ
′
{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}
がノルム可能空間である 場合、部分集合が 等連続となるのは、それが強有界（つまり、 において有界 ）である場合に限ります。
X
{\displaystyle X}
H
⊆
X
′
{\displaystyle H\subseteq X^{\prime }}
X
b
′
{\displaystyle X_{b}^{\prime }}
が樽型空間 である 場合 、任意の部分集合に対して 以下は同値である:
X
{\displaystyle X}
H
⊆
X
′
,
{\displaystyle H\subseteq X^{\prime },}
H
{\displaystyle H}
等連続である。
H
{\displaystyle H}
弱い双対位相では比較的コンパクトである。
H
{\displaystyle H}
弱有界である。
H
{\displaystyle H}
強く制限されています。 入射テンソル積に関連するいくつかの重要な基本特性についてさらに説明します。
が双線型写像で、 が フレシェ空間 、 距離化可能、局所凸である とする 。が 別々に連続であれば連続である。
B
:
X
1
×
X
2
→
Y
{\displaystyle B:X_{1}\times X_{2}\to Y}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
Y
{\displaystyle Y}
B
{\displaystyle B}
別々に連続する双線形写像と線形写像の標準的な同一視 集合の等式は 常に成り立つ。つまり、が 線型写像であれば、が 連続であることは、 が連続であることと同値であり、ここで 元の位相を持つ。
L
(
X
σ
′
;
Y
σ
)
=
L
(
X
τ
′
;
Y
)
{\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)=L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}
u
:
X
′
→
Y
{\displaystyle u:X^{\prime }\to Y}
u
:
X
σ
(
X
′
,
X
)
′
→
Y
σ
(
Y
,
Y
′
)
{\displaystyle u:X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}}
u
:
X
τ
(
X
′
,
X
)
′
→
Y
{\displaystyle u:X_{\tau \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y}
Y
{\displaystyle Y}
正準ベクトル空間同型も存在する
これを定義するには、 で定義されるすべての別々に連続する双線型形式に対して 、すべての が で定義されるものとする
。は に正準 ベクトル空間同型である
ため （ における正準写像 値を介して ）、は の元として識別され、 は で 表される。これは で与えられる
写像を定義する ので、正準同型は当然 で定義される。
J
:
B
(
X
σ
(
X
′
,
X
)
′
,
Y
σ
(
Y
′
,
Y
)
′
)
→
L
(
X
σ
(
X
′
,
X
)
′
;
Y
σ
(
Y
,
Y
′
)
)
.
{\displaystyle J:{\mathcal {B}}\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime },Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }\right)\to L\left(X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime };Y_{\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)}\right).}
B
{\displaystyle B}
X
σ
(
X
′
,
X
)
′
×
Y
σ
(
Y
′
,
Y
)
′
{\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\times Y_{\sigma \left(Y^{\prime },Y\right)}^{\prime }}
x
′
∈
X
′
,
{\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime },}
B
x
′
∈
(
Y
σ
′
)
′
{\displaystyle B_{x^{\prime }}\in \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
B
x
′
(
y
′
)
:=
B
(
x
′
,
y
′
)
.
{\displaystyle B_{x^{\prime }}\left(y^{\prime }\right):=B\left(x^{\prime },y^{\prime }\right).}
(
Y
σ
′
)
′
{\displaystyle \left(Y_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}
Y
{\displaystyle Y}
y
↦
{\displaystyle y\mapsto }
y
{\displaystyle y}
B
x
′
{\displaystyle B_{x^{\prime }}}
Y
,
{\displaystyle Y,}
B
~
x
′
∈
Y
.
{\displaystyle {\tilde {B}}_{x^{\prime }}\in Y.}
B
~
:
X
′
→
Y
{\displaystyle {\tilde {B}}:X^{\prime }\to Y}
x
′
↦
B
~
x
′
{\displaystyle x^{\prime }\mapsto {\tilde {B}}_{x^{\prime }}}
J
(
B
)
:=
B
~
.
{\displaystyle J(B):={\tilde {B}}.}
が与えられたとき、正準写像 の等連続部分集合上の一様収束の位相は TVS同型になる
特に、は 正準TVS埋め込みにすることができる。さらに、 正準写像による の 像は、 像が有限次元である 連続線型写像の空間から正確に構成される。
L
(
X
σ
σ
;
Y
σ
)
{\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\sigma };Y_{\sigma }\right)}
X
′
,
{\displaystyle X^{\prime },}
J
:
B
ε
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
→
L
ε
(
X
τ
′
;
Y
)
.
{\displaystyle J:{\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)\to L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right).}
X
⊗
ε
Y
=
B
ε
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
L
ε
(
X
τ
′
;
Y
)
{\displaystyle L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}
L
(
X
σ
′
;
Y
σ
)
{\displaystyle L\left(X_{\sigma }^{\prime };Y_{\sigma }\right)}
X
⊗
ε
Y
=
B
ε
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y=B_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
J
{\displaystyle J}
X
σ
(
X
′
,
X
)
′
→
Y
{\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}^{\prime }\to Y}
包含は 常に成り立つ。が ノルム化されている場合、は 実際には の位相ベクトル部分空間であり 、さらに が バナッハである場合、 もバナッハである （ が 完全でなくても）。
L
(
X
τ
′
;
Y
)
⊆
L
(
X
b
′
;
Y
)
{\displaystyle L\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)\subseteq L\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}
X
{\displaystyle X}
L
ε
(
X
τ
′
;
Y
)
{\displaystyle L_{\varepsilon }\left(X_{\tau }^{\prime };Y\right)}
L
b
(
X
b
′
;
Y
)
.
{\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).}
Y
{\displaystyle Y}
L
b
(
X
b
′
;
Y
)
{\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}
X
{\displaystyle X}
プロパティ 正準写像 は常に連続であり 、ε-位相は常に π-位相よりも粗く 、 π-位相は 帰納的位相 （別々に連続する最も細かい局所凸TVS位相 ）よりも粗い。空間が ハウスドルフであるためには、とが両方 とも ハウスドルフでなければならない。
⋅
⊗
⋅
:
X
×
Y
→
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to {\mathcal {B}}\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
X
×
Y
→
X
⊗
Y
{\displaystyle X\times Y\to X\otimes Y}
X
⊗
ε
Y
{\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
と がノルム化されている 場合、は ノルム化可能であり、その場合、すべての
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
⊗
ε
Y
{\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}
θ
∈
X
⊗
Y
,
{\displaystyle \theta \in X\otimes Y,}
‖
θ
‖
ε
≤
‖
θ
‖
π
.
{\displaystyle \|\theta \|_{\varepsilon }\leq \|\theta \|_{\pi }.}
とが 局所凸空間間の2つの線型写像であると する。 とが両方とも 連続であれば、それらのテンソル積も連続である 。さらに、
u
:
X
1
→
Y
1
{\displaystyle u:X_{1}\to Y_{1}}
v
:
X
2
→
Y
2
{\displaystyle v:X_{2}\to Y_{2}}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
u
⊗
v
:
X
1
⊗
ε
X
2
→
Y
1
⊗
ε
Y
2
.
{\displaystyle u\otimes v:X_{1}\otimes _{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}.}
とが 両方とも TVS埋め込み である場合、 も同様である。
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
u
⊗
^
ε
v
:
X
1
⊗
^
ε
X
2
→
Y
1
⊗
^
ε
Y
2
.
{\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.}
(resp. )が (resp. ) の線型部分空間である 場合、はの 線型部分空間に正準同型であり 、 はの線型部分空間に正準同型である
X
1
{\displaystyle X_{1}}
Y
1
{\displaystyle Y_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
Y
2
{\displaystyle Y_{2}}
X
1
⊗
ε
Y
1
{\displaystyle X_{1}\otimes _{\varepsilon }Y_{1}}
X
2
⊗
ε
Y
2
{\displaystyle X_{2}\otimes _{\varepsilon }Y_{2}}
X
1
⊗
^
ε
Y
1
{\displaystyle X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{1}}
X
2
⊗
^
ε
Y
2
.
{\displaystyle X_{2}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}.}
と の例があり 、 と は 両方とも 射影準同型であるが は 準同型で は ない。
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
u
⊗
^
ε
v
:
X
1
⊗
^
ε
X
2
→
Y
1
⊗
^
ε
Y
2
{\displaystyle u{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }v:X_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X_{2}\to Y_{1}{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y_{2}}
4つの空間すべてがノルムされている場合、
‖
u
⊗
v
‖
ε
=
‖
u
‖
‖
v
‖
.
{\displaystyle \|u\otimes v\|_{\varepsilon }=\|u\|\|v\|.}
射影テンソル積と核空間との関係 射影 位相 または -位相は 、を双線型形式に 送ることで定義される 標準写像を連続にする、 上の 最も細かい 局所凸位相である。が この位相を持つ 場合、 と の 射影テンソル積 と呼ばれる。
π
{\displaystyle \pi }
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
=
X
⊗
Y
{\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}
X
×
Y
→
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle X\times Y\to B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
(
x
,
y
)
∈
X
×
Y
{\displaystyle (x,y)\in X\times Y}
x
⊗
y
.
{\displaystyle x\otimes y.}
B
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
=
X
⊗
Y
{\displaystyle B\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)=X\otimes Y}
X
⊗
π
Y
{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y}
X
{\displaystyle X}
Y
.
{\displaystyle Y.}
以下の定義はグロタンディークによって核空間を定義するために使用された。
定義 0 : を 局所凸位相ベクトル空間とします。任意 の局所凸空間に対して、 標準ベクトル空間埋め込み が、その像が共役領域で稠密である TVS の埋め込みである場合、 は核となります。
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
Y
,
{\displaystyle Y,}
X
⊗
π
Y
→
B
ε
(
X
σ
′
,
Y
σ
′
)
{\displaystyle X\otimes _{\pi }Y\to {\mathcal {B}}_{\varepsilon }\left(X_{\sigma }^{\prime },Y_{\sigma }^{\prime }\right)}
双線型写像と線型写像の標準的な識別 このセクションでは、双線型写像と線型写像の空間間の標準的な同一視について説明します。これらの同一視は、重要な部分空間と位相（特に、核演算子 と 核空間 に関連するもの ）を定義するために使用されます。
入射テンソル積の双対空間とその完備化
が のTVS埋め込みを その完備化に表し、
がベクトル空間同型である
その 転置 であるとする
。これにより、 の連続双対空間が の 連続双対空間と同一であることが示される。
In
:
X
⊗
ε
Y
→
X
⊗
^
ε
Y
{\displaystyle \operatorname {In} :X\otimes _{\varepsilon }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}
X
⊗
ε
Y
{\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}
t
In
:
(
X
⊗
^
ε
Y
)
b
′
→
(
X
⊗
ε
Y
)
b
′
{\displaystyle {}^{t}\operatorname {In} :\left(X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }}
X
⊗
ε
Y
{\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}
X
⊗
^
ε
Y
.
{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}
恒等写像は
連続である（ π-位相
の定義により ）ので、一意の連続線型拡張が存在する。
とが ヒルベルト空間 である
場合 、は 単射であり、の双対は、 から への 核演算子 の ベクトル空間に標準等長同型である （トレースノルムを持つ）。
Id
X
⊗
Y
:
X
⊗
π
Y
→
X
⊗
ε
Y
{\displaystyle \operatorname {Id} _{X\otimes Y}:X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y}
I
^
:
X
⊗
^
π
Y
→
X
⊗
^
ε
Y
.
{\displaystyle {\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
I
^
:
X
⊗
^
π
Y
→
X
⊗
^
ε
Y
{\displaystyle {\hat {I}}:X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}
X
⊗
^
ε
Y
{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}
L
1
(
X
;
Y
′
)
{\displaystyle L^{1}\left(X;Y^{\prime }\right)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
ヒルベルト空間の入射テンソル積 によって定義される
線型写像に
送る 標準写像があり
、ここで の定義は の表現 の 特定の選択に依存しない
ことがわかる。 写像は
連続的であり、 が完全な場合、連続拡張を持つ。
K
:
X
⊗
Y
→
L
(
X
′
;
Y
)
{\displaystyle K:X\otimes Y\to L\left(X^{\prime };Y\right)}
z
=
∑
i
=
1
n
x
i
⊗
y
i
{\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}
K
(
z
)
:
X
′
→
Y
{\displaystyle K(z):X^{\prime }\to Y}
K
(
z
)
(
x
′
)
:=
∑
i
=
1
n
x
′
(
x
i
)
y
i
∈
Y
,
{\displaystyle K(z)\left(x^{\prime }\right):=\sum _{i=1}^{n}x^{\prime }(x_{i})y_{i}\in Y,}
K
(
z
)
:
X
→
Y
{\displaystyle K(z):X\to Y}
∑
i
=
1
n
x
i
⊗
y
i
{\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}}
z
.
{\displaystyle z.}
K
:
X
⊗
ε
Y
→
L
b
(
X
b
′
;
Y
)
{\displaystyle K:X\otimes _{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}
L
b
(
X
b
′
;
Y
)
{\displaystyle L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}
K
^
:
X
⊗
^
ε
Y
→
L
b
(
X
b
′
;
Y
)
.
{\displaystyle {\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right).}
とが ヒルベルト空間 である とき 、 は TVS 埋め込みと 等長写像 (空間に通常のノルムが与えられている場合) であり、その値域は から へのすべてのコンパクト線型作用素の空間 ( の閉ベクトル部分空間) である。 したがって は から へ のコンパクト作用素の空間と同一である ( のプライムに注意 )。任意の 2 つの バナッハ空間( ヒルベルト空間 を含む )間のコンパクト線型作用素の空間 と は の閉部分集合である。
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
K
^
:
X
⊗
^
ε
Y
→
L
b
(
X
b
′
;
Y
)
{\displaystyle {\hat {K}}:X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y\to L_{b}\left(X_{b}^{\prime };Y\right)}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
L
b
(
X
′
;
Y
)
.
{\displaystyle L_{b}\left(X^{\prime };Y\right).}
X
⊗
^
ε
Y
{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
Y
{\displaystyle Y}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
L
b
(
X
;
Y
)
.
{\displaystyle L_{b}(X;Y).}
さらに、正準写像は、 および がヒルベルト空間である とき、単射である。
X
⊗
^
π
Y
→
X
⊗
^
ε
Y
{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y\to X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
恒等写像を で表し
、
をその 転置 、つまり連続写像を表すものとします。 は 上の連続双線型写像の空間 と正準的に同一視されることを思い出してください。 このように、 の連続双対空間は によって表される のサブベクトル空間と正準的に同一視できます。 の元は上 の 積分 ( 双線型 ) 形式 と呼ばれます。 次の定理は、 積分 という 語を正当化します 。
Id
:
X
⊗
π
Y
→
X
⊗
ε
Y
{\displaystyle \operatorname {Id} :X\otimes _{\pi }Y\to X\otimes _{\varepsilon }Y}
t
Id
:
(
X
⊗
ε
Y
)
b
′
→
(
X
⊗
π
Y
)
b
′
{\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :\left(X\otimes _{\varepsilon }Y\right)_{b}^{\prime }\to \left(X\otimes _{\pi }Y\right)_{b}^{\prime }}
(
X
⊗
π
Y
)
′
{\displaystyle \left(X\otimes _{\pi }Y\right)^{\prime }}
B
(
X
,
Y
)
,
{\displaystyle B(X,Y),}
X
×
Y
.
{\displaystyle X\times Y.}
X
⊗
ε
Y
{\displaystyle X\otimes _{\varepsilon }Y}
B
(
X
,
Y
)
,
{\displaystyle B(X,Y),}
J
(
X
,
Y
)
.
{\displaystyle J(X,Y).}
J
(
X
,
Y
)
{\displaystyle J(X,Y)}
X
×
Y
.
{\displaystyle X\times Y.}
定理 — の双対 は 、写像の形で表現できる
連続双線型形式 v の
ここで 、およびは それぞれ の閉じた同次連続部分集合であり 、は 全質量を持つ コンパクト集合上の 正の ラドン測度 である
。さらに、 がの同次連続部分集合である 要素は、 上の ラドン測度 の空間のノルム有界部分集合を通る 固定さ およびで表すことができる
J
(
X
,
Y
)
{\displaystyle J(X,Y)}
X
⊗
^
ε
Y
{\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
b
∈
B
(
X
,
Y
)
↦
v
(
b
)
=
∫
S
×
T
b
|
S
×
T
(
x
′
,
y
′
)
d
μ
(
x
′
,
y
′
)
{\displaystyle b\in B(X,Y)\mapsto v(b)=\int _{S\times T}b{\big \vert }_{S\times T}\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)\operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime }\right)}
S
{\displaystyle S}
T
{\displaystyle T}
X
σ
′
{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}
Y
σ
′
,
{\displaystyle Y_{\sigma }^{\prime },}
μ
{\displaystyle \mu }
S
×
T
{\displaystyle S\times T}
≤
1.
{\displaystyle \leq 1.}
A
{\displaystyle A}
J
(
X
,
Y
)
{\displaystyle J(X,Y)}
v
∈
A
{\displaystyle v\in A}
S
×
T
{\displaystyle S\times T}
μ
{\displaystyle \mu }
S
×
T
.
{\displaystyle S\times T.}
積分線形演算子 線型写像が与えられたとき、 によって の
関連 双線型形式 と呼ばれる 標準双線型形式を定義できる。
連続写像は 、その関連双線型形式が整列双線型形式である場合に 積分写像 と呼ばれる。 積分写像は、 および
の適切な弱閉かつ等連続な部分 集合 に対してそれぞれ およびに対して、 の形式であり 、 全質量の正のラドン測度がある。
Λ
:
X
→
Y
,
{\displaystyle \Lambda :X\to Y,}
B
Λ
∈
B
i
(
X
,
Y
′
)
,
{\displaystyle B_{\Lambda }\in Bi\left(X,Y^{\prime }\right),}
X
×
Y
′
,
{\displaystyle X\times Y^{\prime },}
B
Λ
(
x
,
y
′
)
:=
(
y
′
∘
Λ
)
(
x
)
.
{\displaystyle B_{\Lambda }\left(x,y^{\prime }\right):=\left(y^{\prime }\circ \Lambda \right)(x).}
Λ
:
X
→
Y
{\displaystyle \Lambda :X\to Y}
Λ
:
X
→
Y
{\displaystyle \Lambda :X\to Y}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
y
′
∈
Y
′
:
{\displaystyle y^{\prime }\in Y^{\prime }:}
⟨
y
′
,
Λ
(
x
)
⟩
=
∫
A
′
×
B
′
′
⟨
x
′
,
x
⟩
⟨
y
′
′
,
y
′
⟩
d
μ
(
x
′
,
y
′
′
)
{\displaystyle \left\langle y^{\prime },\Lambda (x)\right\rangle =\int _{A^{\prime }\times B^{\prime \prime }}\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime \prime },y^{\prime }\right\rangle \operatorname {d} \mu \left(x^{\prime },y^{\prime \prime }\right)}
A
′
{\displaystyle A^{\prime }}
B
′
′
{\displaystyle B^{\prime \prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
Y
′
′
,
{\displaystyle Y^{\prime \prime },}
μ
{\displaystyle \mu }
≤
1.
{\displaystyle \leq 1.}
正規のマップ ら （ バツ ; はい ） によって定義される 線型写像に 送る 標準写像があり、ここでの定義はの表現 の 特定の選択に依存しない ことがわかる。
K
:
X
′
⊗
Y
→
L
(
X
;
Y
)
{\displaystyle K:X^{\prime }\otimes Y\to L(X;Y)}
z
=
∑
i
=
1
n
x
i
′
⊗
y
i
{\textstyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}
K
(
z
)
:
X
→
Y
{\displaystyle K(z):X\to Y}
K
(
z
)
(
x
)
:=
∑
i
=
1
n
x
i
′
(
x
)
y
i
∈
Y
,
{\textstyle K(z)(x):=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }(x)y_{i}\in Y,}
K
(
z
)
:
X
→
Y
{\displaystyle K(z):X\to Y}
∑
i
=
1
n
x
i
′
⊗
y
i
{\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\prime }\otimes y_{i}}
z
.
{\displaystyle z.}
例
加算可能な族の空間 この節では、任意の（おそらく 無数な ）集合を TVSに固定し 、 を包含によって有向される すべての有限部分集合の 有向集合 とする。
A
,
{\displaystyle A,}
X
,
{\displaystyle X,}
F
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}
A
{\displaystyle A}
⊆
.
{\displaystyle \subseteq .}
をTVSの元の族と し 、任意の有限部分 集合に対してを と する。 ネット の 極限が で何らかの元に収束する場合、 を で 総和可能 と呼ぶ（そのような元はいずれもその 和 と呼ばれる ）。そのような総和可能な族全体の集合は のベクトル部分空間であり、 で表されます。
(
x
α
)
α
∈
A
{\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}
X
{\displaystyle X}
H
⊆
A
,
{\displaystyle H\subseteq A,}
x
H
:=
∑
i
∈
H
x
i
.
{\textstyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}.}
(
x
α
)
α
∈
A
{\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}
X
{\displaystyle X}
lim
H
∈
F
(
A
)
x
H
{\textstyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}
(
x
H
)
H
∈
F
(
A
)
{\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}
X
{\displaystyle X}
X
A
{\displaystyle X^{A}}
S
.
{\displaystyle S.}
ここで、非常に自然な方法で のトポロジーを定義します。このトポロジーは 、標準的なベクトル空間同型 (明らかなもの) を介して から取得され 、 に転送される、注入トポロジーであることがわかります。これは、関数/シーケンス空間と TVS の注入テンソル積と 射影テンソル積を調べるときによく発生します。このようなテンソル積のトポロジーを (最初から) 定義する「自然な方法」は、注入テンソル積または 射影テンソル積の トポロジーと同等であることがよくあります 。
S
{\displaystyle S}
l
1
(
A
)
⊗
^
ε
X
{\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}
S
{\displaystyle S}
を 0 の凸均衡近傍の基底とし 、 それぞれについて を その ミンコフスキー汎関数 とします 。任意のそのような および任意の に対して
、
が 上の半ノルムを定義するとします。 半ノルムの族はを局所凸空間に する位相を生成します。この位相に恵まれた ベクトル空間は で表されます。 がスカラー体 である特別な場合は で表されます。
U
{\displaystyle {\mathfrak {U}}}
X
{\displaystyle X}
U
∈
U
,
{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}},}
μ
U
:
X
→
R
{\displaystyle \mu _{U}:X\to \mathbb {R} }
U
{\displaystyle U}
x
=
(
x
α
)
α
∈
A
∈
S
,
{\displaystyle x=\left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}\in S,}
q
U
(
x
)
:=
sup
x
′
∈
U
∘
∑
α
∈
A
|
⟨
x
′
,
x
α
⟩
|
{\displaystyle q_{U}(x):=\sup _{x^{\prime }\in U^{\circ }}\sum _{\alpha \in A}\left|\left\langle x^{\prime },x_{\alpha }\right\rangle \right|}
q
U
{\displaystyle q_{U}}
S
.
{\displaystyle S.}
{
q
U
:
U
∈
U
}
{\displaystyle \left\{q_{U}:U\in {\mathfrak {U}}\right\}}
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
l
1
(
A
,
X
)
.
{\displaystyle l^{1}(A,X).}
X
{\displaystyle X}
l
1
(
A
)
.
{\displaystyle l^{1}(A).}
で定義される 双線型写像を線型化することによって定義される ベクトル空間の標準埋め込みが存在する。
l
1
(
A
)
⊗
X
→
l
1
(
A
,
E
)
{\displaystyle l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)}
l
1
(
A
)
×
X
→
l
1
(
A
,
E
)
{\displaystyle l^{1}(A)\times X\to l^{1}(A,E)}
(
(
r
α
)
α
∈
A
,
x
)
↦
(
r
α
x
)
α
∈
A
.
{\displaystyle \left(\left(r_{\alpha }\right)_{\alpha \in A},x\right)\mapsto \left(r_{\alpha }x\right)_{\alpha \in A}.}
定理 ： — 正準埋め込み（ベクトル空間）は 、 が入射位相を与えられ、さらにその値域がその余領域で稠密である 場合 位相ベクトル空間の埋め込みになる が の完備化である この埋め込みの 連続拡張は TVS の同型である。したがって、特に が 完備である場合、 は と 正準同型である。
l
1
(
A
)
⊗
X
→
l
1
(
A
,
E
)
{\displaystyle l^{1}(A)\otimes X\to l^{1}(A,E)}
l
1
(
A
)
⊗
ε
X
→
l
1
(
A
,
E
)
{\displaystyle l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}(A,E)}
l
1
(
A
)
⊗
X
{\displaystyle l^{1}(A)\otimes X}
X
^
{\displaystyle {\hat {X}}}
X
{\displaystyle X}
l
1
(
A
)
⊗
^
ε
X
→
l
1
(
A
,
X
^
)
{\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)}
l
1
(
A
)
⊗
ε
X
→
l
1
(
A
,
X
)
⊆
l
1
(
A
,
X
^
)
{\displaystyle l^{1}(A)\otimes _{\varepsilon }X\to l^{1}\left(A,X\right)\subseteq l^{1}\left(A,{\hat {X}}\right)}
X
{\displaystyle X}
l
1
(
A
)
⊗
^
ε
X
{\displaystyle l^{1}(A){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}
l
1
(
A
,
E
)
.
{\displaystyle l^{1}(A,E).}
連続的に微分可能なベクトル値関数の空間 全体を通して、 は 整数 の開部分集合とし 、は 局所凸位相 ベクトル空間 (TVS) とします。
Ω
{\displaystyle \Omega }
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
Y
{\displaystyle Y}
定義 およびが関数で あり、 極限点が で あるとする。 が
で 微分可能で あるとすると、 に 偏微分と 呼ばれる ベクトルが 存在し 、
p
0
=
(
p
1
0
,
…
,
p
n
0
)
∈
Ω
{\displaystyle p^{0}=\left(p_{1}^{0},\ldots ,p_{n}^{0}\right)\in \Omega }
f
:
Dom
f
→
Y
{\displaystyle f:\operatorname {Dom} f\to Y}
p
0
∈
Dom
f
{\displaystyle p^{0}\in \operatorname {Dom} f}
p
0
{\displaystyle p^{0}}
Dom
f
.
{\displaystyle \operatorname {Dom} f.}
f
{\displaystyle f}
p
0
{\displaystyle p^{0}}
n
{\displaystyle n}
e
1
,
…
,
e
n
{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}
Y
,
{\displaystyle Y,}
f
{\displaystyle f}
lim
p
∈
domain
f
p
→
p
0
,
f
(
p
)
−
f
(
p
0
)
−
∑
i
=
1
n
(
p
i
−
p
i
0
)
e
i
‖
p
−
p
0
‖
2
=
0
in
Y
{\displaystyle \lim _{\stackrel {p\to p^{0},}{p\in \operatorname {domain} f}}{\frac {f(p)-f\left(p^{0}\right)-\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-p_{i}^{0})e_{i}}{\left\|p-p^{0}\right\|_{2}}}=0{\text{ in }}Y}
p
=
(
p
1
,
…
,
p
n
)
.
{\displaystyle p=(p_{1},\ldots ,p_{n}).}
連続的に微分可能な関数 の概念を、 上で定義される - 値関数 に自然に拡張することができます
。任意の に対して、 が 上で定義されるすべての - 値写像 のベクトル空間を表し 、 が でコンパクトな台を持つすべての写像からなる のベクトル部分空間を表すものとします 。
Y
{\displaystyle Y}
Ω
.
{\displaystyle \Omega .}
k
=
0
,
1
,
…
,
∞
,
{\displaystyle k=0,1,\ldots ,\infty ,}
C
k
(
Ω
;
Y
)
{\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}
C
k
{\displaystyle C^{k}}
Y
{\displaystyle Y}
Ω
{\displaystyle \Omega }
C
c
k
(
Ω
;
Y
)
{\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}
C
k
(
Ω
;
Y
)
{\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}
C
k
(
Ω
;
Y
)
{\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}
すると、 超関数とテスト関数の空間 に対して と 上の位相が定義される のと 同じ方法で 、 と上の位相を定義できます (記事「 ユークリッド空間からの微分可能ベクトル値関数」 を参照)。微分可能性とさまざまな位相の定義を拡張するこのすべての作業は、完成した入射テンソル積を単に取ることにまったく等しいことがわかります。
C
k
(
Ω
;
Y
)
{\displaystyle C^{k}(\Omega ;Y)}
C
c
k
(
Ω
;
Y
)
{\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega ;Y)}
C
k
(
Ω
)
{\displaystyle C^{k}(\Omega )}
C
c
k
(
Ω
)
{\displaystyle C_{c}^{k}(\Omega )}
コンパクト空間からの連続写像の空間 がノルム空間で あり、が コンパクト集合であるならば、上 の -ノルムは に等しい。 と が 2つのコンパクト空間である
ならば、 となる。 ここでこの標準写像はバナッハ空間の同型である。
Y
{\displaystyle Y}
K
{\displaystyle K}
ε
{\displaystyle \varepsilon }
C
(
K
)
⊗
Y
{\displaystyle C(K)\otimes Y}
‖
f
‖
ε
=
sup
x
∈
K
‖
f
(
x
)
‖
.
{\textstyle \|f\|_{\varepsilon }=\sup _{x\in K}\|f(x)\|.}
H
{\displaystyle H}
K
{\displaystyle K}
C
(
H
×
K
)
≅
C
(
H
)
⊗
^
ε
C
(
K
)
,
{\displaystyle C(H\times K)\cong C(H){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }C(K),}
0に収束する数列の空間 がノルム空間である とき、 が原点に収束するすべての列の成す空間を表し、この空間にノルムを与える と しよ
う。 が 表されるとする
と、任意のバナッハ空間は と正準等長同型となる。
Y
{\displaystyle Y}
l
∞
(
Y
)
{\displaystyle l_{\infty }(Y)}
(
y
i
)
i
=
1
∞
{\displaystyle \left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}
Y
{\displaystyle Y}
‖
(
y
i
)
i
=
1
∞
‖
:=
sup
i
∈
N
‖
y
i
‖
.
{\displaystyle \left\|\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\right\|:=\sup _{i\in \mathbb {N} }\left\|y_{i}\right\|.}
l
∞
{\displaystyle l_{\infty }}
l
∞
(
C
)
.
{\displaystyle l_{\infty }\left(\mathbb {C} \right).}
Y
,
{\displaystyle Y,}
l
∞
⊗
^
ε
Y
{\displaystyle l_{\infty }{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}
l
∞
(
Y
)
.
{\displaystyle l_{\infty }(Y).}
関数のシュワルツ空間 ここで、シュワルツ空間を TVSで値を取る関数に 一般化します。を、 変数の多項式 と の すべてのペアに対して、がの 有界部分集合となるようなすべてのものの空間とします。シュワルツ空間の位相をに一般化するために、関数の上の一様収束の位相を与え、変数の多項式の すべて の 可能
な ペア にわたって 変化 さ せ ます 。
L
(
R
n
;
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}
f
∈
C
∞
(
R
n
;
Y
)
{\displaystyle f\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}
P
{\displaystyle P}
Q
{\displaystyle Q}
n
{\displaystyle n}
{
P
(
x
)
Q
(
∂
/
∂
x
)
f
(
x
)
:
x
∈
R
n
}
{\displaystyle \left\{P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x):x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}
Y
.
{\displaystyle Y.}
L
(
R
n
;
Y
)
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right),}
L
(
R
n
;
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\mathbb {R} ^{n};Y\right)}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
P
(
x
)
Q
(
∂
/
∂
x
)
f
(
x
)
,
{\displaystyle P(x)Q\left(\partial /\partial x\right)f(x),}
P
{\displaystyle P}
Q
{\displaystyle Q}
n
{\displaystyle n}
参照 補助正規空間 最終位相 – いくつかの関数を連続させる最も微細な位相 帰納的テンソル積 – 位相ベクトル空間上の二項演算 Pages displaying wikidata descriptions as a fallback 積分マップ – 数学関数 Pages displaying short descriptions of redirect targets 核作用素 – 位相ベクトル空間に関連する線型作用素 核空間 – ヒルベルト空間とは異なる有限次元ユークリッド空間の一般化 射影テンソル積 – 2つの位相ベクトル空間上で定義されるテンソル積 Pages displaying wikidata descriptions as a fallback 位相テンソル積 – 位相ベクトル空間のテンソル積構成
注記
^ ハウスドルフまたは局所凸であると仮定されていない 場合でも、これは当てはまります。
X
{\displaystyle X}
参考文献
文献 ディーステル、ジョー (2008)。 テンソル積の計量理論：グロタンディークの要約の再考 。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会 。ISBN 978-0-8218-4440-3 . OCLC 185095773. エド・デュビンスキー (1979)。 核フレシェ空間の構造 。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。 ISBN 3-540-09504-7 . OCLC 5126156. グロタンディーク、グロタンディーク (1966)。 Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (フランス語)。プロビデンス: アメリカ数学協会。 ISBN 0-8218-1216-5 . OCLC 1315788. Husain, Taqdir (1978)。 位相的および順序付きベクトル空間におけるバレル性 。ベルリン、ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 3-540-09096-7 . OCLC 4493665. Khaleelulla , SM (1982)。 位相ベクトル空間における反例 。 数学講義ノート 。第936巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク： Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370. ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. Nlend, H (1977)。 『ボルノロジーと機能分析: 双対性トポロジー-ボルノロジー理論と機能分析におけるその使用に関する入門コース 』。アムステルダム、ニューヨーク、ノースホランド出版。米国およびカナダの独占販売元、エルゼビア-ノースホランド 。ISBN 0-7204-0712-5 . OCLC 2798822. Nlend, H (1981). 核空間と共核空間: 双対性の観点から見た核空間と共核空間の入門コース。アムステルダム ニューヨーク ニューヨーク、NY: North-Holland Pub. Co. 米国およびカナダの独占販売代理店、 Elsevier North-Holland。ISBN 0-444-86207-2 . OCLC 7553061. ピエチュ、アルブレヒト (1972)。 核の局所的に凸状の空間 。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。 ISBN 0-387-05644-0 . OCLC 539541. ロバートソン、AP (1973)。 位相ベクトル空間 。ケンブリッジ、イングランド：大学出版局 。ISBN 0-521-29882-2 . OCLC 589250. ライアン、レイモンド (2002)。 バナッハ空間のテンソル積入門 。ロンドン、ニューヨーク: シュプリンガー 。ISBN 1-85233-437-1 . OCLC 48092184. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135. トレヴ、フランソワ (2006) [1967]。 トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。 ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322. ウォン (1979)。 シュワルツ空間、核空間、テンソル積 。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 3-540-09513-6 . OCLC 5126158.
外部リンク
