ユニタリ変換

数学において、ユニタリ変換は内積を保存する線形同型です。つまり、変換前の 2 つのベクトルの内積は、変換後の内積と等しくなります。

より正確には、ユニタリ変換は2つの内積空間（ヒルベルト空間など）間の等長同型である。言い換えれば、ユニタリ変換は全単射関数である。

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$

2つの内積空間の間にあり 、${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2},}$

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H_{2}}=\langle x,y\rangle _{H_{1}}\quad {\text{ for all }}x,y\in H_{1 }.}$

これは線型等長曲線であり、次のように設定するとわかる。${\displaystyle x=y.}$

と が同じ空間である場合、ユニタリ変換はそのヒルベルト空間の自己同型であり、ユニタリ演算子とも呼ばれます。 ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

これに密接に関連する概念として、反ユニタリー変換がある。これは全単射関数である。

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

2つの複素ヒルベルト空間 の間には

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$

すべておよびにおいてであり、水平バーは複素共役を表します。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle H_{1}}$

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