アダマール空間

幾何学において、ジャック・アダマールにちなんで名付けられたアダマール空間は、ヒルベルト空間の非線形一般化である。文献では、これらは完全CAT(0)空間とも同義に定義される。

アダマール空間は、任意の点が与えられたときに、空でない完備距離空間として定義される^{[ 1 ]。}${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y,}$ある点が存在する${\displaystyle m}$すべての点に対して${\displaystyle z,}$$$\displaystyle d(z,m)^{2}+{d(x,y)^{2} \over 4}\leq {d(z,x)^{2}+d(z,y)^{2} \over 2}.$$

要点${\displaystyle m}$は、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y:}$${\displaystyle d(x,m)=d(y,m)=d(x,y)/2.}$

ヒルベルト空間では、上記の不等式は等式（${\displaystyle m=(x+y)/2}$）、一般に、上記の不等式が等式となる場合、アダマール空間は平坦であると言われます。平坦なアダマール空間は、ヒルベルト空間の閉凸部分集合と同型です。特に、ノルム空間がアダマール空間であるのは、それがヒルベルト空間である場合に限ります。

アダマール空間の幾何学はヒルベルト空間の幾何学に似ているため、剛性定理の研究に適した環境である。アダマール空間では、任意の2点間に一意の測地線が存在する。特に、縮約可能である。一般に、${\displaystyle B}$が距離空間の有界部分集合である場合、それを含む最小半径の閉球の中心は、の外心と呼ばれます。${\displaystyle B.}$^{[ 2 ]}アダマール空間の有界部分集合はすべて最小の閉球（凸包の閉包と同じ）に含まれる。${\displaystyle \Gamma }$は、不変なアダマール空間の等長変換群である。${\displaystyle B,}$それから${\displaystyle \Gamma }$外心を修正する${\displaystyle B}$（ブルハット・ティッツの不動点定理）

非正曲率多様体に関する基本的な結果は、カルタン・アダマールの定理である。アダマール空間についても同様の定理が成り立つ。すなわち、アダマール空間と局所的に等長な完備連結計量空間は、その普遍被覆としてアダマール空間を持つ。その変形は、非正曲率オービフォールドにも適用される。（ルーリーを参照。）

アダマール空間の例としては、ヒルベルト空間、ポアンカレ円盤、完全実木（例えば、完全ブルハット・ティッツビルディング）などがある。${\displaystyle (p,q)}$-スペース付き${\displaystyle p,q\geq 3}$そして${\displaystyle 2pq\geq p+q,}$そしてアダマール多様体、すなわち非正の断面曲率を持つ完備な単連結リーマン多様体。アダマール多様体の重要な例としては、非正の曲率を持つ単連結な対称空間が挙げられる。

アダマール空間の応用は幾何学に限られません。1998年、ドミトリ・ブラーゴとセルジュ・フェルレジェ^{[ 3 ]}はCAT(0)幾何学を用いて動的ビリヤードの問題を解きました。硬球の気体において、衝突回数に一様な上限があるかどうかです。この解法は、対応するビリヤード台のコピーを結合して得られる動的システムの構成空間を構築することから始まり、それがアダマール空間であることが判明します。

• CAT( k ) – 数学における距離空間の一種
• アダマール多様体

• Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999),非正曲率の計量空間, Springer
• パパドプロス、アタナセ（2014）「計量空間、凸性、非正曲率」、IRMA数学・理論物理学講義、第 6巻（第2 版）、欧州数学会、ISBN 978-3-03719-132-3
• ドミトリ・ブラーゴ、ユーリ・ブラーゴ、セルゲイ・イワノフ。『計量幾何学入門』アメリカ数学会。（1984年）
• ジェイコブ・ルーリー：アダマール空間の理論に関する覚書
• アレクサンダー S.、カポビッチ V.、ペトルニン A.アレクサンドロフ幾何学に関するメモ