連続関数

機能${\displaystyle f}$定義域のある点cで連続である場合、${\displaystyle f(x),}$x が領域を通してc に近づくにつれて${\displaystyle f}$存在し、等しい${\displaystyle f(c).}$^{[ 8 ]}数学的表記では、これは次のように書かれます。 $${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=f(c).}$$ 具体的には、これは次の3つの条件を意味します。まず、${\displaystyle f}$cで定義されなければならない( cが領域内にあるという要件によって保証される)${\displaystyle f}$第二に、その方程式の極限が存在しなければならない。第三に、この極限の値は等しくなければならない。${\displaystyle f(c).}$

（ここでは、${\displaystyle f}$孤立点はありません。

点cの近傍とは、少なくともcから一定の距離内にあるすべての点を含む集合のことです。直感的に言えば、関数は点cで連続であるとは、その値域が${\displaystyle f}$cの近傍では、一点に縮小する。${\displaystyle f(c)}$cの周囲の近傍の幅がゼロに縮小するにつれて。より正確には、関数${\displaystyle f}$任意の近傍に対して、点cにおいて連続であるとは、${\displaystyle N_{1}(f(c))}$近隣地域があります${\displaystyle N_{2}(c)}$その領域内で${\displaystyle f(x)\in N_{1}(f(c))}$いつでも${\displaystyle x\in N_{2}(c).}$

近傍は任意の位相空間で定義されるため、この連続関数の定義は実関数だけでなく、定義域と値域が位相空間である場合にも適用され、したがって最も一般的な定義となります。このことから、関数はその定義域のどの孤立点においても自動的に連続となります。例えば、整数上のすべての実数値関数は連続です。

代わりに、任意のシーケンスに対して、${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$cに収束する領域内の点の数列、対応する数列${\displaystyle \left(f(x_{n})\right)_{n\in \mathbb {N} }}$収束して${\displaystyle f(c).}$数学的表記では、$${\displaystyle \forall (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset D:\lim _{n\to \infty }x_{n}=c\Rightarrow \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(c)\,.}$$

関数の極限の定義を明示的に含めることで、自己完結的な定義が得られます。関数が与えられた場合${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$上記の通り、要素${\displaystyle x_{0}}$ドメインの${\displaystyle D}$、${\displaystyle f}$点において連続であると言われている${\displaystyle x_{0}}$次の条件が成り立つ場合：任意の正の実数${\displaystyle \varepsilon >0,}$たとえ小さくても、ある正の実数が存在する${\displaystyle \delta >0}$すべての${\displaystyle x}$の領域において${\displaystyle f}$と${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta ,}$価値${\displaystyle f(x)}$満たす $${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\varepsilon <f(x)<f(x_{0})+\varepsilon .}$$

別の言い方をすれば、${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }$で${\displaystyle x_{0}\in D}$は、すべての${\displaystyle \varepsilon >0,}$存在する${\displaystyle \delta >0}$すべての${\displaystyle x\in D}$: $${\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta ~~{\text{ implies }}~~|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon .}$$

より直感的に言えば、すべての${\displaystyle f(x)}$近隣の小さな地域に滞在する価値${\displaystyle f\left(x_{0}\right),}$私たちは、${\displaystyle x}$価値観${\displaystyle x_{0}.}$それがどんなに小さくてもできるなら${\displaystyle f(x_{0})}$近隣地域は、${\displaystyle f}$連続${\displaystyle x_{0}.}$

現代的な用語で言えば、これは位相の基底（ここでは計量位相）に関する関数の連続性の定義によって一般化される。

ワイエルシュトラスは間隔を要求した${\displaystyle x_{0}-\delta <x<x_{0}+\delta }$完全にドメイン内にある${\displaystyle D}$しかし、ヨルダンはその制限を撤廃した。

証明や数値解析では、極限がどれくらいの速さで収束するか、言い換えれば剰余の制御を知る必要があることがよくあります。これを連続性の定義として形式化することができます。関数${\displaystyle C:[0,\infty )\to [0,\infty ]}$制御関数と呼ばれるのは、${\displaystyle C}$は非減少であり、${\displaystyle \inf _{\delta >0}C(\delta )=0}$。

関数${\displaystyle f:D\to R}$はC連続である${\displaystyle x_{0}}$近隣が存在する場合${\textstyle N(x_{0})}$そのため $${\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq C\left(\left|x-x_{0}\right|\right){\text{ for all }}x\in D\cap N(x_{0}).}$$

関数は連続である${\displaystyle x_{0}}$もしそうなら${\displaystyle C}$-一部の制御機能に対して連続的${\displaystyle C}$。

このアプローチは、許容される制御関数の集合を制限することによって、連続性の概念を洗練させることに自然とつながる。与えられた制御関数の集合に対して${\displaystyle {\mathcal {C}}}$関数は${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-連続的である場合${\displaystyle C}$-一部は継続的${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$例えば、指数αのリプシッツ連続関数、ヘルダー連続関数、および以下の一様連続関数は、制御関数の集合によって定義される。 $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\mathrm {Lipschitz} }=\{C:C(\delta )=K|\delta |,\ K>0\}}$$$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{{\text{Hölder}}-\alpha }=\{C:C(\delta )=K|\delta |^{\alpha },\ K>0\}}$$$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{uniform cont.}}=\{C:C(0)=0\}}$$ それぞれ。

連続性は振動の観点からも定義できる。関数${\displaystyle f}$ある点で連続している${\displaystyle x_{0}}$その点での振動がゼロである場合に限り、^{[ 9 ]}記号で表すと、${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$この定義の利点は、不連続性を定量化できる点にある。振動によって、ある点における関数の不連続性がどの程度であるかが分かる。

この定義は、記述集合論において不連続点と連続点の集合を研究するのに役立つ。連続点は、振動が以下になる集合の交点である。${\displaystyle \varepsilon }$（したがって${\displaystyle G_{\delta }}$集合）—そして、ルベーグ積分可能性条件の一方向の迅速な証明を与える。^{[ 10 ]}

振動は${\displaystyle \varepsilon -\delta }$単純な並べ替えと極限 ( lim sup、lim inf ) を用いて振動を定義することで定義します。 （与えられた点において）与えられた${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ありません${\displaystyle \delta }$それは${\displaystyle \varepsilon -\delta }$定義によれば、振動は少なくとも${\displaystyle \varepsilon _{0},}$逆に、すべての${\displaystyle \varepsilon }$望ましい${\displaystyle \delta ,}$振動は0です。振動の定義は、位相空間から距離空間への写像に自然に一般化できます。

コーシーは関数の連続性を次のような直感的な用語で定義しました。独立変数の微小変化は従属変数の微小変化に対応します（ 『解析学講義』34ページ参照）。非標準解析は、これを数学的に厳密にする方法です。実数直線は、無限数と微小数を追加して超実数を形成することによって拡張されます。非標準解析では、連続性は次のように定義できます。

実数値関数fは、超実数への自然な拡張がすべての無限小dxに対して次の性質を持つ場合、xで連続である。${\displaystyle f(x+dx)-f(x)}$極めて小さい^{[ 11 ]}

（ミクロ連続性を参照）。言い換えれば、独立変数の微小な増加は常に従属変数の微小な変化をもたらし、オーギュスタン＝ルイ・コーシーの連続性の定義を現代的に表現したものと言える。

させて${\displaystyle f(x)}$ある点で連続な関数である${\displaystyle x_{0},}$そして${\displaystyle y_{0}}$価値である${\displaystyle f\left(x_{0}\right)\neq y_{0}.}$それから${\displaystyle f(x)\neq y_{0}}$近隣のいくつかの地域で${\displaystyle x_{0}.}$^{[ 12 ]}

証明:連続性の定義により、${\displaystyle \varepsilon ={\frac {|y_{0}-f(x_{0})|}{2}}>0}$すると、${\displaystyle \delta >0}$そのため $${\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|<{\frac {\left|y_{0}-f(x_{0})\right|}{2}}\quad {\text{ whenever }}\quad |x-x_{0}|<\delta }$$ 近傍に点があると仮定します${\displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$そのために${\displaystyle f(x)=y_{0};}$すると矛盾が生じる $${\displaystyle \left|f(x_{0})-y_{0}\right|<{\frac {\left|f(x_{0})-y_{0}\right|}{2}}.}$$

中間値の定理は、実数の完全性という性質に基づいた存在定理であり、次のように述べられています。

実数値関数fが閉区間で連続である場合${\displaystyle [a,b],}$そしてkは、${\displaystyle f(a)}$そして${\displaystyle f(b),}$すると、ある数がある${\displaystyle c\in [a,b],}$そのため${\displaystyle f(c)=k.}$

例えば、子供が2歳から6歳までの間に身長が1 メートルから1.5 メートルに伸びた場合、2歳から6歳までの間のどこかの時点で、その子供の身長は1.25 メートルだったはずです。

その結果、もし${\displaystyle f}$連続している${\displaystyle [a,b]}$そして${\displaystyle f(a)}$そして${\displaystyle f(b)}$符号が異なるため、ある時点で${\displaystyle c\in [a,b],}$${\displaystyle f(c)}$ゼロに等しくなければならない。

極値定理は、関数が${\displaystyle f}$閉区間上で定義され、連続である${\displaystyle [a,b]}$（または任意の閉集合かつ有界集合）の場合、関数は最大値に達する。すなわち、${\displaystyle c\in [a,b]}$と${\displaystyle f(c)\geq f(x)}$すべての人々のために${\displaystyle x\in [a,b].}$最小値についても同様です${\displaystyle f}$関数が開区間で定義されている場合、これらの記述は一般には真ではない。${\displaystyle (a,b)}$（または、閉じていて有界ではない任意の集合）、例えば、連続関数${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},}$開区間(0,1)で定義され、上方向に有界ではないため、最大値に達しません。

すべての微分可能な関数$${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$$ は連続である。これは示すことができる。逆は成り立たない。例えば、絶対値関数は

${\displaystyle f(x)=|x|={\begin{cases}\;\;\ x&{\text{ if }}x\geq 0\\-x&{\text{ if }}x<0\end{cases}}}$

は至るところで連続である。しかし、微分可能ではない。${\displaystyle x=0}$（ただし、他のあらゆる場所で同様である）。ワイエルシュトラスの関数はあらゆる場所で連続であるが、あらゆる場所で微分可能ではない。

導関数${\displaystyle f'(x)}$微分可能な関数の${\displaystyle f(x)}$連続している必要はありません。${\displaystyle f'(x)}$連続的である、${\displaystyle f(x)}$は連続微分可能であると言われます。このような関数の集合は、${\displaystyle C^{1}((a,b)).}$より一般的には、関数の集合 $${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$$ （開区間（または開部分集合）から）${\displaystyle \mathbb {R} }$）${\displaystyle \Omega }$実数に対して）${\displaystyle f}$は${\displaystyle n}$微分可能で、${\displaystyle n}$の 階微分${\displaystyle f}$連続であることを示す${\displaystyle C^{n}(\Omega )}$;微分可能性クラスを参照。コンピュータグラフィックスの分野では、関連する（ただし同一ではない）特性は${\displaystyle C^{0},C^{1},C^{2}}$時々こう呼ばれる${\displaystyle G^{0}}$（ポジションの継続性）${\displaystyle G^{1}}$（接線の連続性）${\displaystyle G^{2}}$（曲率の連続性）；曲線と曲面の滑らかさを参照。

すべての連続関数 $${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$$ は積分可能である（例えば、リーマン積分の意味で）。逆は成り立たない。これは、（積分可能だが不連続な）符号関数が示すとおりである。

数列が与えられた場合$${\displaystyle f_{1},f_{2},\dotsc :I\to \mathbb {R} }$$ 関数の極限 $${\displaystyle f(x):=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)}$$ すべての人々のために存在する${\displaystyle x\in D}$結果として得られる関数${\displaystyle f(x)}$関数列の点ごとの極限と呼ばれる${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n\in N}.}$点ごとの極限関数は、すべての関数が連続である必要はない。${\displaystyle f_{n}}$右側のアニメーションが示すように、連続的です。しかし、${\displaystyle f}$すべての関数が連続である場合${\displaystyle f_{n}}$は連続であり、一様収束定理により数列は一様に収束します。この定理は、指数関数、対数関数、平方根関数、三角関数が連続であることを示すために使用できます。

いくつかの文脈では、空間の位相は、極限点によって便利に指定されます。これは多くの場合、点が数列の極限であるときを指定することによって実現されます。しかし、ある意味で大きすぎる空間では、点が、ネットと呼ばれる有向集合によってインデックス付けされたより一般的な点の集合の極限であるときも指定します。関数は、数列の極限を数列の極限に写像する場合に限り、（ハイネ）連続です。前者の場合、極限の保存も十分条件です。後者の場合、関数は数列のすべての極限を保存しても連続ではない可能性があり、ネットの保存は必要十分条件です。

詳細には、関数${\displaystyle f:X\to Y}$数列が連続であるのは、${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$で${\displaystyle X}$極限値に収束する${\displaystyle x,}$シーケンス${\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)}$収束して${\displaystyle f(x).}$したがって、逐次連続関数は「逐次極限を保持する」。すべての連続関数は逐次連続である。${\displaystyle X}$が第一可算空間であり、可算選択が成り立つならば、逆もまた成り立つ。すなわち、逐次極限を保存する関数は連続である。特に、${\displaystyle X}$が距離空間である場合、逐次連続性と連続性は同値である。非可算空間の場合、逐次連続性は連続性よりも厳密に弱い可能性がある。（この2つの性質が同値である空間を逐次空間と呼ぶ。）このことから、一般の位相空間では、数列の代わりにネットを検討する動機となる。連続関数はネットの極限を保存し、この性質が連続関数の特徴である。

例えば、1つの実変数の実数値関数の場合を考えてみましょう。^{[ 16 ]}

内部演算子と閉包演算子に関して、以下の等価関係が成り立ちます。

もし私たちがそれをポイントと宣言するならば${\displaystyle x}$部分集合に近い${\displaystyle A\subseteq X}$もし${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A,}$この用語を用いることで、連続性について平易な英語で説明することが可能になる。${\displaystyle f}$は、すべての部分集合に対して、${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle f}$近くの地点を地図で表示します${\displaystyle A}$に近い地点へ${\displaystyle f(A).}$同様に、${\displaystyle f}$固定された特定の点で連続である${\displaystyle x\in X}$いつでも${\displaystyle x}$部分集合に近い${\displaystyle A\subseteq X,}$それから${\displaystyle f(x)}$に近い${\displaystyle f(A).}$

位相空間をその開部分集合によって指定する代わりに、${\displaystyle X}$は、閉包演算子または内部演算子によって決定することもできます。具体的には、サブセットを送信するマップです。${\displaystyle A}$位相空間の${\displaystyle X}$その位相的閉包へ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$クラトフスキー閉包公理を満たす。逆に、任意の閉包演算子に対して${\displaystyle A\mapsto \operatorname {cl} A}$独自のトポロジーが存在する${\displaystyle \tau }$の上${\displaystyle X}$（具体的には、${\displaystyle \tau$ :=\{X\setminus \operatorname {cl} A:A\subseteq X\}} ) すべての部分集合に対して${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle \operatorname {cl} A}$位相的閉包に等しい${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}A}$の${\displaystyle A}$で${\displaystyle (X,\tau ).}$セットが${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$それぞれクロージャ演算子に関連付けられています（両方ともで表されます）。${\displaystyle \operatorname {cl} }$）それから地図${\displaystyle f:X\to Y}$連続であるのは、${\displaystyle f(\operatorname {cl} A)\subseteq \operatorname {cl} (f(A))}$すべての部分集合について${\displaystyle A\subseteq X.}$

同様に、サブセットを送信するマップ${\displaystyle A}$の${\displaystyle X}$その位相的内部へ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A}$内部演算子を定義します。逆に、任意の内部演算子${\displaystyle A\mapsto \operatorname {int} A}$独自のトポロジーを誘導する${\displaystyle \tau }$の上${\displaystyle X}$（具体的には、${\displaystyle \tau$ :=\{\operatorname {int} A:A\subseteq X\}} ) すべての${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle \operatorname {int} A}$位相的内部に等しい${\displaystyle \operatorname {int} _{(X,\tau )}A}$の${\displaystyle A}$で${\displaystyle (X,\tau ).}$セットが${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$それぞれ内部演算子に関連付けられています（両方ともで示されます）${\displaystyle \operatorname {int} }$）それから地図${\displaystyle f:X\to Y}$連続であるのは、${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} B)\subseteq \operatorname {int} \left(f^{-1}(B)\right)}$すべての部分集合について${\displaystyle B\subseteq Y.}$^{[ 17 ]}