確率空間

確率論において、確率空間または確率トリプル${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$これは、ランダムなプロセスや実験の形式的なモデルを提供する数学的な構成要素である。

確率空間は3つの要素から構成されます: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. サンプル空間、${\displaystyle \Omega }$これは、検討対象のランダム過程におけるすべての可能な結果の集合です。
2. イベントスペース、$\displaystyle {\mathcal {F}}}$これは一連の事象であり、事象とは標本空間における結果の部分集合である。
3. 確率関数、${\displaystyle P}$これは、イベント空間内の各イベントに確率を割り当てます。確率は0から1（両端を含む）の間の数値です。

確率のモデルを提供するためには、これらの要素は確率の公理を満たさなければならない。

例えば、サイコロを投げる動作をモデル化した確率空間を定義することができる。

1. サンプル空間${\displaystyle \Omega }$通常はセット${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$ここで、セット内の各要素は、サイコロがそのラベルに止まった結果を表すラベルです。たとえば、${\displaystyle 1}$これは、サイコロが1に止まった結果を表します。
2. イベントスペース$\displaystyle {\mathcal {F}}}$はサンプル空間のすべての部分集合の集合である可能性があり、その場合、次のような単純なイベントが含まれます。${\displaystyle \{5\}}$（「サイコロが5に止まる」）などの複雑なイベント、${\displaystyle \{2,4,6\}}$（「サイコロが偶数に止まる」）
3. 確率関数${\displaystyle P}$次に、各イベントをそのイベントの結果の数を6で割った数にマッピングします。たとえば、${\displaystyle \{5\}}$マッピング先は${\displaystyle 1/6}$、 そして${\displaystyle \{2,4,6\}}$マッピング先は${\displaystyle 3/6=1/2}$。

実験を行うと、必ず1つの結果が得られる。${\displaystyle \omega }$サンプル空間から${\displaystyle \Omega }$イベントスペースで開催されるすべてのイベント$\displaystyle {\mathcal {F}}}$選択された結果を含む${\displaystyle \omega }$「発生した」と言われている。確率関数${\displaystyle P}$は、実験を任意に何度も繰り返した場合、各事象の発生回数が実験の総数に対する割合として、その事象に割り当てられた確率に最も近づくように定義されなければならない。

ソ連の数学者アンドレイ・コルモゴロフは、1930年代に確率空間の概念と確率の公理を導入した。現代の確率論では、確率変数の代数など、公理化のための別のアプローチが存在する。

確率空間は数学的な三つ組である${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$これは、現実世界の特定の状況に対するモデルを提示するものです。他のモデルと同様に、最終的にどの要素が${\displaystyle \Omega }$、$\displaystyle {\mathcal {F}}}$、 そして${\displaystyle P}$含まれる。

• サンプル空間${\displaystyle \Omega }$は、起こりうるすべての結果の集合です。結果とは、モデルを一度実行した結果として得られるものです。結果には、自然の状態、可能性、実験結果などが含まれます。現実世界の状況（または実験の実行）の各インスタンスは、必ず1つの結果を生成する必要があります。実験の異なる実行の結果が何らかの点で異なっている場合、それらは異なる結果となります。どの違いが重要かは、どのような分析を行いたいかによって異なります。これにより、サンプル空間の選択が変わってきます。
• σ代数$\displaystyle {\mathcal {F}}}$は、検討したいすべてのイベントの集合です。この集合には、すべての基本イベントが含まれる場合と含まれない場合があります。ここで、「イベント」とは、0 個以上の結果の集合、つまり標本空間の部分集合です。イベントは、実験の結果がそのイベントの要素である場合に、実験中に「発生した」とみなされます。同じ結果が複数のイベントの要素となる可能性があるため、単一の結果に対して複数のイベントが発生する可能性があります。たとえば、試行が 2 つのサイコロを投げることから成り立っている場合、合計が 7 個の目となるすべての結果の集合が 1 つのイベントを構成し、奇数個の目となる結果が別のイベントを構成する可能性があります。結果が、最初のサイコロで 2 個、2 番目のサイコロで 5 個という基本イベントの要素である場合、「7 個の目」と「奇数個の目」の両方のイベントが発生したとみなされます。
• 確率尺度${\displaystyle P}$は、イベントの確率を返す集合関数です。確率は、0（不可能なイベントの確率は0ですが、確率が0のイベントが必ずしも不可能であるとは限りません）から1（イベントがほぼ確実に、ほぼ完全に発生する）までの実数です。したがって${\displaystyle P}$関数です${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1].}$確率測度関数は、次の 2 つの簡単な要件を満たす必要があります。まず、互いに排他的な事象の可算和の確率は、これらの各事象の確率の可算和に等しくなければなりません。たとえば、互いに排他的な事象の和の確率は、${\displaystyle {\text{見出し}}}$そして$\displaystyle {\text{テール}}}$1回のコイン投げのランダムな実験では、${\displaystyle P({\text{頭}}\cup {\text{尾}})}$は、確率の合計です。${\displaystyle {\text{見出し}}}$そして確率は$\displaystyle {\text{テール}}}$、${\displaystyle P({\text{頭}})+P({\text{尾}})}$第二に、標本空間の確率${\displaystyle \Omega }$は 1 と等しくなければなりません (これは、モデルの実行が与えられた場合、何らかの結果が発生する必要があるという事実を考慮したものです)。前の例では、結果のセットの確率は${\displaystyle P(\{{\text{頭}},{\text{尾}}\})}$は 1 に等しくなければならない。なぜなら、結果は必ず 1 になるからである。${\displaystyle {\text{見出し}}}$または$\displaystyle {\text{テール}}}$（このモデルは他の可能性を一切考慮していない）1回のコイン投げで。

サンプル空間のすべての部分集合ではない${\displaystyle \Omega }$必ずしもイベントとして捉える必要はありません。部分集合の中には、単純に興味の対象とならないものや、「測定」できないものがあるからです。コイン投げのような場合、これはそれほど明白ではありません。別の例として、やり投げの飛距離を考えてみましょう。この場合、イベントは通常、「60メートルから65メートルの間」といった区間や、そのような区間の和集合であり、「60メートルから65メートルの間の無理数」といった集合ではありません。

つまり、確率空間とは、空間全体の測度が1に等しい測度空間のことである。

拡張された定義は次のとおりです。確率空間は三つ組です${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$構成：

• サンプル空間${\displaystyle \Omega }$– 任意の空でない集合、
• σ代数$\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }}$（σフィールドとも呼ばれる） – サブセットの集合${\displaystyle \Omega }$（イベントと呼ばれる）以下の通りである。
  • $\displaystyle {\mathcal {F}}}$サンプル空間を含む：${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$、
  • $\displaystyle {\mathcal {F}}}$補集合に関して閉じている:${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$そしてまた${\displaystyle (\Omega \setminus A)\in {\mathcal {F}}}$、
  • $\displaystyle {\mathcal {F}}}$可算和集合の下で閉じている:${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$のために${\displaystyle i=1,2,\dots }$そしてまた${\textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
    • 前述の2つの性質とド・モルガンの法則から導かれる結論は、$\displaystyle {\mathcal {F}}}$可算交差の下でも閉じている:${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$のために${\displaystyle i=1,2,\dots }$そしてまた${\textstyle (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
• 確率尺度${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1]}$– 関数$\displaystyle {\mathcal {F}}}$すなわち、以下の通りである。
  • Pは可算加法的である（σ加法的とも呼ばれる）：$\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}}$は互いに素な集合の可算集合である。${\textstyle P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}),}$
  • 標本空間全体の尺度は1に等しい。${\displaystyle P(\Omega )=1}$。

可算標本空間の場合${\displaystyle \Omega }$確率は、${\displaystyle \Omega }$離散確率分布によって${\displaystyle p:\Omega \to [0,1]}$そのため${\textstyle \sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1,}$それによってすべてのサブセット${\displaystyle \Omega }$イベントとして扱うことができる（したがって、${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\オメガ }}$はべき集合であり、確率測度は次の形式をとる。

最大のσ代数${\displaystyle {\mathcal {F}}=2^{\オメガ }}$完全な情報を記述します。一般に、σ代数は$\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }}$有限または可算な分割に対応する${\displaystyle \Omega =B_{1}\cup B_{2}\cup \dots }$イベントの一般的な形式${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$いる${\displaystyle A=B_{k_{1}}\cup B_{k_{2}}\cup \dots }$。

ケース${\displaystyle p(\omega )=0}$定義上は許可されているが、めったに使われない。なぜなら、${\displaystyle \omega }$標本空間から安全に除外できる。

Ωが非可算集合であっても、あるωに対してP ( ω )≠0となる場合があります。このようなωはアトムと呼ばれます。アトムは最大で可算集合（空集合の場合もある）であり、その確率はすべてのアトムの確率の合計です。この合計が1に等しい場合、他のすべての点は標本空間から安全に除外でき、離散的なケースに戻ります。そうでない場合、すべてのアトムの確率の合計が0から1の間にある場合、確率空間は離散的な（アトム的な）部分（空集合の場合もある）と非アトム的な部分に分解されます。

すべてのω ∈ Ωに対してP ( ω ) = 0であれば、Ω は非可算集合でなければなりません (そうでなければ、公理P (Ω) = 1が成り立たなくなります)。また、式 ( 1 ) は適用されません。集合の確率は、必ずしもその要素の確率の合計ではありません。なぜなら、総和は可算個の要素に対してのみ定義されているからです。このため、確率空間理論はより技術的なものとなります。総和よりも強力な定式化である測度論が適用可能です。最初は、確率はいくつかの「生成」集合に割り当てられます (例を参照)。次に、極限操作によって、生成集合の列の極限、極限の極限などである集合に確率を割り当てることができます。これらの集合はすべて σ 代数です。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$技術的な詳細については、カラテオドリの拡張定理を参照してください。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$これらは可測集合と呼ばれます。一般的に、これらは生成集合よりもはるかに複雑ですが、非可測集合よりははるかに優れています。

確率空間${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;P)}$すべての に対して が完全確率空間であると言われる。${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$と${\displaystyle P(B)=0}$そしてすべて${\displaystyle A\;\subset \;B}$1つは${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$確率空間の研究は、多くの場合、完全確率空間に限定される。

• 空間（数学）
• 空間を測定する
• ファジィ測度理論
• フィルタリングされた確率空間
• タラグランドの集中不等式

• ピエール・シモン・ド・ラプラス（1812年）確率の解析理論

微積分と確率論を融合した最初の主要な論文、原文はフランス語: Théorie Analytique des Probabilités。

• アンドレイ・ニコラエヴィチ・コルモゴロフ（1950）確率論の基礎

確率論の現代の測度理論的基礎。オリジナルのドイツ語版 ( Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung ) は 1933 年に出版されました。

• ハロルド・ジェフリーズ（1939）『確率論』

確率論の基礎に対する、経験主義的かつベイズ的なアプローチ。

• エドワード・ネルソン（1987）『根本的に初等的な確率論』

非標準解析に基づく確率論の基礎。ダウンロード可能。http ://www.math.princeton.edu/~nelson/books.html

• パトリック・ビリングスリー：確率と測度、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ニューヨーク、トロント、ロンドン、1979年。
• ヘンク・ティムス（2004）確率の理解

初心者向けの確率論の分かりやすい入門書、ケンブリッジ大学出版局。

• デイビッド・ウィリアムズ（1991）マルチンゲールを用いた確率論

学部生向け測度論的確率論入門、ケンブリッジ大学出版局。

• ガット、アラン（2005）。確率論：大学院コース。シュプリンガー。ISBN 0-387-22833-0。

• サゾノフ、VV（2001）[1994]、「確率空間」、数学百科事典、EMS Press
• サイコロの確率空間を示すアニメーション
• 確率と統計の仮想実験室（主著者：カイル・シーグリスト）、特に確率空間
• シチズンディウム
• 完全確率空間
• ワイススタイン、エリック W. 「確率空間」 . MathWorld .