直積

例として、標準的な52枚のトランプデッキを考えてみましょう。標準的なトランプのランク{A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}は13個の要素からなるセットです。カードのスート{♠, ♥ , ♦ , ♣ }は4個の要素からなるセットです。これらのセットの直積は、52個の順序対からなる52個の要素のセットとなり、これは52種類のトランプすべてに対応します。

Ranks × Suitsは、{(A, ♠), (A, ♥ ), (A, ♦ ), (A,♣), (K,♠), ..., (3,♣), (2, ♠), (2,,(2, ♦ ), (2, ♣ )} の形式のセットを返します。         

Suits × Ranksは、{(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3 ), (♣, 2)} の形式のセットを返します。

これら 2 つの集合は異なり、互いに素ですが、それらの間には自然な全単射があり、(3,  ♣) は (♣,  3) に対応し、以下同様です。

主な歴史的例は、解析幾何学におけるデカルト座標系です。幾何学的形状を数値的に表現し、形状の数値表現から数値情報を抽出するために、ルネ・デカルトは平面上の各点に、その座標と呼ばれる実数のペアを割り当てました。通常、このようなペアの最初の成分と2番目の成分は、それぞれx座標とy座標と呼ばれます（図を参照）。このようなすべてのペアの集合（すなわち、デカルト積）$\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$、 と${\displaystyle \mathbb {R} }$（実数を表す）は、平面上のすべての点の集合に割り当てられる。^{[ 7 ]}

A、B、Cを集合とする。

デカルト積A × Bは可換ではない。 $${\displaystyle A\times B\neq B\times A,}$$^{[ 4 ]} なぜなら、以下の条件のうち少なくとも1つが満たされない限り、順序対は^{反転するからである。 [ 8 ]}

• AはBと等しい、または
• AまたはBは空集合です。

例えば：

A = {1,2} ; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

厳密に言えば、デカルト積は結合法則を満たさない（関係する集合のいずれかが空集合でない限り）。 $${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$$ 例えば​​A = {1}の場合、( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A )となります。

例題セット

A = [1,4]、 B = [2,5]、 C = [4,7]は、A × ( B ∩ C )= (A × B) ∩ (A × C)、 A × ( B ∪ C ) = (A × B) ∪ (A × C）、 そして

A × ( B \ C ) = (A × B) \ (A × C）

例題セット

A = [2,5]、 B = [3,7]、 C = [1,3]、 D = [2,4]、

( A ∩ B ) × ( C ∩ D )= (A × C) ∩ (B × D)。

( A ∪ B ) × ( C ∪ D )≠ (A × C) ∪ (B × D）は同じ例から見ることができる。

デカルト積は、交差に関して以下の性質を満たします（中央の図を参照）。 $${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$$

ほとんどの場合、交差を和集合に置き換えると、上記の記述は正しくなくなります（右端の図を参照）。 $${\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}$$

実際、私たちはそれを持っています。 $${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}$$

集合の差についても、以下の恒等式が成り立ちます。 $${\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}$$

他の演算子との分配法則を示すルールをいくつか紹介します（左端の図を参照）：^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\cup C)&=(A\times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\setminus C)&=(A\times B)\setminus (A\times C),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle (A\times B)^{\complement }=\left(A^{\complement }\times B^{\complement }\right)\cup \left(A^{\complement }\times B\right)\cup \left(A\times B^{\complement }\right)\!,}$$ どこ${\displaystyle A^{\complement }}$はAの絶対補数を表します。

部分集合に関連するその他の特性は以下のとおりです。

$${\displaystyle {\text{もし }}A\subseteq B{\text{ならば }}A\times C\subseteq B\times C;}$$

$${\displaystyle {\text{AとBの両方が空集合でないならば、}}A\times B\subseteq C\times D\!\iff \!A\subseteq C{\text{かつ}}B\subseteq D.}$$^{[ 9 ]}

集合の濃度とは、その集合に含まれる要素の数のことです。例えば、2つの集合A = {a, b}とB = {5, 6}を定義します。集合Aと集合Bはそれぞれ2つの要素から構成されています。これらの集合の直積（A × Bと表記）は、次の要素を持つ新しい集合になります。

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}。

ここで、 Aの各要素はBの各要素とペアになっており、各ペアが出力セットの 1 つの要素を構成します。結果セットの各要素の値の数は、デカルト積が取られるセットの数に等しくなります。この場合、2 です。出力セットの濃度は、すべての入力セットの濃度の積に等しくなります。つまり、

| A × B | = | A | · | B |。 ^{[ 4 ]}

この場合、| A × B | = 4

同様に、

| A × B × C | = | A | · | B | · | C |

等々。

集合A × Bは、 AまたはBのいずれかが無限集合であり、もう一方の集合が空集合でない場合、無限集合である。 ^{[ 10 ]}

デカルト積は、n個の集合X ₁、 ...、X _n上 のn項デカルト積に一般化できます。$${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$$

n 個のタプルの集合。タプルが入れ子になった順序対として定義されている場合、 ( X ₁ × ... × X _{n −1} ) × X _nと同一視できます。タプルが{1, 2, ..., n }上の関数として定義され、そのi番目の値がタプルのi番目の要素である場合、デカルト積X ₁ × ... × X _nは関数の集合です。 $${\displaystyle \{x:\{1,\ldots ,n\}\to X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\ |\ x(i)\in X_{i}\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

集合Xの デカルト平方は、デカルト積X ² = X × Xです。例として、実数の集合Rである 2 次元平面R ² = R × Rがあります。^{[ 1 ]} R ²は、 xとyが実数であるすべての点( x、y )の集合です (デカルト座標系を参照)。

集合Xのデカルトn乗は、次のように表されます。${\displaystyle X^{n}}$は次のように定義できます。 $${\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X\ {\text{for every}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$$

その一例として、R ³ = R × R × Rがあり、Rは再び実数の集合です^{[ 1 ]} 。より一般的にはR ^{n です}。

集合Xのデカルト座標系におけるn乗は、 Xの要素のn組をXに写像する関数の集合と同一視できる。特殊な場合として、 Xのデカルト座標系における 0 乗は、唯一の要素として終域Xを持つ空関数を持つ単一要素集合である。

デカルト積が与えられているとします。 ${\displaystyle A=A_{1}\times \dots \times A_{n}}$そして${\displaystyle B=B_{1}\times \dots \times B_{n}}$。 それから

1. ${\displaystyle A\subseteq B}$、かつその場合に限る${\displaystyle A_{i}\subseteq B_{i}}$すべての人々のために${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}$; ^{[ 11 ]}
2. ${\displaystyle A\cap B=(A_{1}\cap B_{1})\times \dots \times (A_{n}\cap B_{n})}$同時に、少なくとも１つ存在する場合${\displaystyle i}$そのため${\displaystyle A_{i}\cap B_{i}=\varnothing }$、 それから${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$; ^{[ 11 ]}
3. ${\displaystyle A\cup B\subseteq (A_{1}\cup B_{1})\times \dots \times (A_{n}\cup B_{n})}$さらに、平等は次のような場合にのみ可能です。^{[ 12 ]}
   1. ${\displaystyle A\subseteq B}$または${\displaystyle B\subseteq A}$;
   2. すべての人々のために${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n\quad A_{i}=B_{i}\quad }$1つを除いて${\displaystyle i}$。
4. デカルト積の補数${\displaystyle A=A_{1}\times \dots \times A_{n}}$宇宙が定義されていれば計算できる^{[ 12 ]}${\displaystyle U=X_{1}\times \dots \times X_{n}}$式を簡略化するために、次の表記法を導入します。デカルト積を角括弧で囲まれたタプルとして表します。このタプルには、デカルト積を構成する集合が含まれます。例:

${\displaystyle A=A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}=[A_{1}\quad A_{2}\quad \dots \quad A_{n}]}$。

nタプル代数（NTA）^{[ 12 ]}では、このようなデカルト積の行列のような表現はCnタプルと呼ばれます。

これを踏まえると、同一ユニバース内で与えられたいくつかのデカルト積の和集合は、角括弧で囲まれた行列として表現でき、その行は和集合に含まれるデカルト積を表す。

${\displaystyle A\cup B=(A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n})\cup (B_{1}\times B_{2}\times \dots \times B_{n})=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{n}\\B_{1}&B_{2}&\dots &B_{n}\end{array}}\right]}$。

このような構造は、NTAではCシステムと呼ばれます。

次に、デカルト積の補数${\displaystyle A}$次元の行列として表現された次のCシステムになります${\displaystyle n\times n}$:

${\displaystyle A^{\complement }=\left[{\begin{array}{ccccc}A_{1}^{\complement }&X_{2}&\dots &X_{n-1}&X_{n}\\X_{1}&A_{2}^{\complement }&\dots &X_{n-1}&X_{n}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\X_{1}&X_{2}&\dots &A_{n-1}^{\complement }&X_{n}\\X_{1}&X_{2}&\dots &X_{n-1}&A_{n}^{\complement }\end{array}}\right]}$。

この行列の対角成分${\displaystyle A_{i}^{\complement }}$等しく${\displaystyle X_{i}\setminus A_{i}}$。

NTAでは、対角Cシステム${\displaystyle A^{\complement }}$これは、 Cnタプルの補集合を表します。${\displaystyle A}$は、逆角括弧で囲まれた対角成分のタプルとして簡潔に記述できます。

${\displaystyle A^{\complement }=]A_{1}^{\complement }\quad A_{2}^{\complement }\quad \dots \quad A_{n}^{\complement }[}$。

この構造はDn タプルと呼ばれます。次にCシステムの補集合${\displaystyle R}$構造物です${\displaystyle R^{\complement }}$は、同じ次元の逆角括弧で囲まれた行列で表され、そのすべての要素は元の行列の要素の補数に等しい。${\displaystyle R}$このような構造はDシステムと呼ばれ、必要に応じて、その中に含まれるDnタプルの共通部分として計算されます。例えば、次のCシステムが与えられた場合：

${\displaystyle R_{1}=\left[{\begin{array}{cccc}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{n}\\B_{1}&B_{2}&\dots &B_{n}\end{array}}\right]}$、

すると、その補系はDシステムになる

${\displaystyle R_{1}^{\complement }=\left]{\begin{array}{cccc}A_{1}^{\complement }&A_{2}^{\complement }&\dots &A_{n}^{\complement }\\B_{1}^{\complement }&B_{2}^{\complement }&\dots &B_{n}^{\complement }\end{array}}\right[}$。

NTA の特性を研究する過程で得られた、デカルト積を持つ構造に関するいくつかの新しい関係を考えてみましょう。^{[ 12 ]}同じ宇宙で定義された構造は、同型構造と呼ばれます。

1. Cシステムの交差。同型Cシステムが与えられていると仮定する。${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$それらの交差は、各Cnタプルの空でないすべての交差を含むCシステムを生成します。${\displaystyle P}$各Cnタプルは${\displaystyle Q}$。
2. CnタプルがDnタプルに含まれているかどうかを確認します。Cnタプルの場合${\displaystyle P=[P_{1}\quad P_{2}\quad \cdots \quad P_{N}]}$そしてDnタプル ${\displaystyle Q=]Q_{1}\quad Q_{2}\quad \cdots \quad Q_{N}[}$保持する${\displaystyle P\subseteq Q}$少なくとも1つの場合に限り${\displaystyle i}$保持する${\displaystyle P_{i}\subseteq Q_{i}}$。
3. CnタプルがDシステムに含まれているかどうかを確認します。Cnタプルの場合${\displaystyle P}$そしてDシステム${\displaystyle Q}$本当です${\displaystyle P\subseteq Q}$、すべてのDnタプルに対して、${\displaystyle Q_{i}}$から${\displaystyle Q}$保持する${\displaystyle P\subseteq Q_{i}}$。

任意の（場合によっては無限の）添え字付き集合族のデカルト積を定義することが可能です。Iが任意の添え字集合である場合、${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$は、 Iでインデックス付けされた集合の族であり、その集合の直積は${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$と定義される $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \right|\ \forall i\in I.\ f(i)\in X_{i}\right\},}$$ すなわち、インデックス集合I上で定義された関数のうち、特定のインデックスiにおける関数の値がX _iの要素となるような関数の集合。各X _iが空でない場合でも、選択公理（そのような積はすべて空でないという命題と同値）を仮定しない場合は、デカルト積は空になる可能性がある。${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$また、次のように表記される場合もあります。${\displaystyle {\mathsf {X}}}$${\displaystyle {}_{i\in I}X_{i}}$[ ^{13 ]​}

Iの各jに対して、関数 $${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},}$$ 定義される${\displaystyle \pi _{j}(f)=f(j)}$これはj番目の投影図と呼ばれます。

デカルトべき乗は、すべての因子X _iが同じ集合Xであるデカルト積です。この場合、 $${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\prod _{i\in I}X}$$はIからXへの すべての関数の集合であり、しばしばX ^Iと表記されます。このケースは基数べき乗の研究において重要です。重要な特殊なケースは、インデックス集合が の場合です。${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数：このデカルト積は、 i番目の項が対応する集合X _iに含まれるすべての無限数列の集合です。たとえば、 $${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots }$$可算無限個の実数成分を持つベクトル として視覚化できる。この集合はしばしば次のように表記される。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$、 または${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$。

複数のセットが掛け合わされている場合（例：X ₁、X ₂、X ₃、...）、一部の著者^{[ 14 ]}は、デカルト積を単に× X _iと略記することを選択しています。

fがXからAへの関数で、gがYからBへの関数である場合、それらのデカルト積f × gはX × YからA × Bへの関数で あり、$${\displaystyle (f\times g)(x,y)=(f(x),g(y)).}$$

これはタプルや無限個の関数の集合にも拡張できます。これは、集合として扱われる関数の標準的なデカルト積とは異なります。

させて${\displaystyle A}$セットであり、${\displaystyle B\subseteq A}$。それからシリンダー${\displaystyle B}$に関して${\displaystyle A}$デカルト積${\displaystyle B\times A}$の${\displaystyle B}$そして${\displaystyle A}$。

通常、${\displaystyle A}$は文脈の宇宙とみなされ、除外されます。たとえば、${\displaystyle B}$自然数の部分集合である${\displaystyle \mathbb {N} }$すると、シリンダーは${\displaystyle B}$は${\displaystyle B\times \mathbb {N} }$。

デカルト積は伝統的に集合に適用されてきましたが、圏論は数学的構造の積についてより一般的な解釈を提供します。積は、インデックス付けの圏が離散的である圏論的極限の最も単純な例です。集合の圏は離散的な圏と同一視でき、そのようにして完全な部分圏として埋め込むことができます。${\displaystyle \operatorname {Cat} }$積を表す図は、集合論的な定義に合致する集合を表す図に還元することができる。

グラフ理論では、2 つのグラフGとHのデカルト積は、 G × Hと表記されるグラフであり、その頂点集合は (通常の) デカルト積V ( G ) × V ( H )であり、2 つの頂点( u , v )と( u ′, v ′)がG × Hで隣接しているのは、 u = u ′かつvがHでv ′と隣接している場合、またはv = v ′かつuがGでu ′と隣接している場合に限ります。グラフのデカルト積は、圏論の意味での積ではありません。代わりに、圏論的な積は、グラフのテンソル積として知られています。