開写像定理（関数解析）

関数解析において、開写像定理は、バナッハ-シャウダー定理またはバナッハの定理^[1]（ステファン・バナッハとユリウス・シャウダーにちなんで命名）としても知られ、バナッハ空間間の有界または連続線型作用素が射影的である場合、それは開写像であるという基本的な結果である。

特殊なケースは有界逆定理（逆写像定理またはバナッハ同型定理とも呼ばれる）とも呼ばれ、あるバナッハ空間から別のバナッハ空間への全単射有界線型演算子には有界逆が存在することを述べています。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{-1}}$

ここでの証明はベールのカテゴリ定理を使用しており、 との両方の完全性が定理の本質です。 どちらかの空間がノルムベクトル空間のみであると仮定すると、定理の記述はもはや正しくありません。§ 反例を参照してください。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

証明は、次の補題に基づいていますが、これらも多少は独立した興味の対象です。位相ベクトル空間間の線型写像は、各零近傍に対して閉包に零近傍が含まれる場合、ほぼ開いていると言われます。次の補題は、開写像定理の弱いバージョンと考えることができます。 ${\displaystyle f:E\to F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\overline {f(U)}}}$

証明: を縮小すると、 は中心がゼロの開いた球体であると仮定できます。 となります。したがって、 には内点が含まれます。つまり、ある半径 に対して、 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f(E)=f\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nU\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(nU)}$${\displaystyle {\overline {f(nU)}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle B(y,r)\subset {\overline {f(nU)}}.}$

すると、 の任意の に対して、線型性、凸性、および により、 ${\displaystyle v}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \|v\|<r}$${\displaystyle (-1)U\subset U}$

${\displaystyle v=v-y+y\in {\overline {f(-nU)}}+{\overline {f(nU)}}\subset {\overline {f(2nU)}}}$、

これは で割ることで補題を証明します。 (がプレフレシェ空間である 場合も同じ証明が行えます。)${\displaystyle 2n}$${\displaystyle \square }$${\displaystyle E,F}$

ドメインの完全性により、ほぼオープンからオープンにアップグレードできるようになります。

証明:を とし、ある数列とします。次が成り立ちます。したがって、および のそれぞれに対して、およびでとなるを見つけることができます。したがって、 をとると、 となる を見つけることができます。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle B(0,\delta )}$${\displaystyle c_{n}>0}$${\displaystyle {\overline {B(0,\delta )}}\subset {\overline {f(B(0,1))}}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \|x\|<\delta ^{-1}\|z\|}$${\displaystyle z}$${\displaystyle B(f(x),\epsilon )}$${\displaystyle z=y}$${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle \|y-f(x_{1})\|<c_{1},\,\|x_{1}\|<\delta ^{-1}\|y\|.}$

に同じ議論を適用すると 、${\displaystyle z=y-f(x_{1})}$${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle \|y-f(x_{1})-f(x_{2})\|<c_{2},\,\|x_{2}\|<\delta ^{-1}c_{1}}$

ここで を観察しました。以下同様です。したがって、 の場合、が収束し となるような数列を見つけました。また、 ${\displaystyle \|x_{2}\|<\delta ^{-1}\|z\|<\delta ^{-1}c_{1}}$${\displaystyle c:=\sum c_{n}<\infty }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x=\sum _{1}^{\infty }x_{n}}$${\displaystyle f(x)=y}$

${\displaystyle \|x\|\leq \sum _{1}^{\infty }\|x_{n}\|\leq \delta ^{-1}\|y\|+\delta ^{-1}c.}$

なので、を十分に小さくすることで、 を達成できます。 (がプレフレシェ空間である 場合にも、同じ証明が有効です。)${\displaystyle \delta ^{-1}\|y\|<1}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \|x\|<1}$${\displaystyle \square }$${\displaystyle E,F}$

定理の証明: ベールのカテゴリ定理により、最初の補題が適用されます。次に、定理の結論は 2 番目の補題から導かれます。${\displaystyle \square }$

一般に、位相空間間の連続的な一対一性は必ずしも同相写像ではありません。開写像定理が適用される場合、一対一性だけで十分であることを意味します。

上記の有界逆定理は開写像定理の特別な場合であるが、開写像定理はそこから導かれる。実際、射影線型作用素は次のように因数 分解される。${\displaystyle T:E\to F}$

${\displaystyle T:E{\overset {p}{\to }}E/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}F.}$

ここで、は全単射であり、したがって有界逆定理により同相写像である。特に、これは開写像である。位相群の商写像が開写像であるので、は開写像である。 ${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T}$

開写像定理と有界逆定理は本質的に同じ結果であるため、単にバナッハの定理と呼ばれることがよくあります。

ここでは、演算子の 転置に関して開写像定理の定式化を示します。

証明: 1. 2. のアイデアは次を示すことです。これはハーン・バナッハの定理から導かれます。 2. 3. は、§ 説明と証明の 2 番目の補題とまったく同じです。最後に、3. 4. は自明であり、4. 1. は開写像定理から簡単に導かれます。${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle y\notin {\overline {T(B_{X})}}\Rightarrow \|y\|>\delta ,}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \square }$

あるいは、1. はが単射であり閉像を持つことを意味し、閉範囲定理より、 はそれぞれ稠密な像と閉像を持つことを意味し、つまり は全射である。したがって、上記の結果は閉範囲定理の特殊なケースの変形である。 ${\displaystyle T^{*}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

テレンス・タオは、この定理を次のように定量的に定式化している。^[9]

証明: 2. 1. は通常の開写像定理です。 ${\displaystyle \Rightarrow }$

1. 4.: ある に対して、 が成り立ちます。ここで は開球を意味します。次に内のある に対して が成り立ちます。つまり、のとき が成り立ちます。 ${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle B(0,2)\subset T(B(0,r))}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\frac {f}{\|f\|}}=T\left({\frac {u}{\|f\|}}\right)}$${\displaystyle {\frac {u}{\|f\|}}}$${\displaystyle B(0,r)}$${\displaystyle Tu=f}$${\displaystyle \|u\|<r\|f\|}$

4. 3.:稠密な部分空間内でと書き、和がノルムで収束するように書くことができます。すると、は完全であるため、およびは必要な解です。最後に、 3. 2. は自明です。${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle f=\sum _{0}^{\infty }f_{j}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle u=\sum _{0}^{\infty }u_{j}}$${\displaystyle \|u_{j}\|\leq C\|f_{j}\|}$${\displaystyle Tu_{j}=f_{j}}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \square }$

開写像定理は、完全でないノルム空間では成立しない可能性がある。これを最も簡単に理解する方法は、開写像定理の帰結である閉グラフ定理が完全性なしでは成立しないことに注目することである。しかし、より具体的な反例がある。有限個の非ゼロ項のみを持つシーケンスx  :  N  →  Rの空間Xを考え、最大ノルムを備える。写像T  :  X  →  X は次のように定義される。

${\displaystyle Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)}$

は有界、線形、可逆であるが、T ^{−1 は}有界ではない。これは有界逆定理と矛盾しない。なぜなら、Xは完全ではなく、したがってバナッハ空間ではないからである。完全でないことを確認するには、次に示す シーケンスのシーケンスx ^{( n )}  ∈  Xを考えてみよう。

${\displaystyle x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)}$

n → ∞のとき、次式で表される  数列x ^{(∞)に収束する。}

${\displaystyle x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),}$

そのすべての項はゼロ以外であり、したがってXには存在しません。

Xの完備化は、ゼロに収束するすべてのシーケンスの空間${\displaystyle c_{0}}$であり、ℓ _p空間ℓ _∞ ( N ) の（閉じた）部分空間であり、すべての有界シーケンスの空間です。ただし、この場合、写像T は全射ではなく、したがって一対一ではありません。これを確認するには、シーケンス

${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right),}$

は の要素ですが、 の範囲内にはありません。 にも同じ論理が当てはまり、も において直積ではないことがわかります。たとえば、は の範囲内にありません。 ${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle T:c_{0}\to c_{0}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle l^{\infty }}$${\displaystyle x=\left(1,1,1,\dots \right)}$${\displaystyle T}$

オープンマッピング定理にはいくつかの重要な結果があります。

• がバナッハ空間間の全単射連続線型作用素である場合、逆作用素も連続である（これを有界逆定理と呼ぶ）。^[10]${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle T^{-1}:Y\to X}$
• がバナッハ空間と間の線型作用素であり、かつ とを持つ内の任意の列に対して が連続であることが従うならば、は連続である（閉グラフ定理）。^[11]${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{n}\to 0}$${\displaystyle Tx_{n}\to y}$${\displaystyle y=0,}$${\displaystyle T}$
• ノルム空間間の有界作用素が与えられたとき、の像が非希薄であり、が完備であれば、は開射影的であり、は完備である（これを確認するには、定理の証明の2つの補題を使用する）。^[12]${\displaystyle T:E\to F}$${\displaystyle T}$${\displaystyle E}$${\displaystyle T}$${\displaystyle F}$
• バナッハ空間（またはより一般的にはフレシェ空間）の正確な列は位相的に正確です。
• 閉範囲定理は、演算子（ある仮定の下）が閉像を持つ場合、かつその転置が閉像を持つ場合に限ります（閉範囲定理#証明の概要を参照）。

開写像定理は、連続射影線型作用素が連続線型切断を許容することを意味しない。我々が持っているのは、次のことである: ^[9]

• バナッハ空間間の射影連続線型作用素は、核が位相的に補完的である場合に限り、連続線型切断を許容します。

特に、上記はヒルベルト空間間の作用素や有限次元核を持つ作用素に当てはまる（ハーン・バナッハの定理による）。切断が線型であるという要件を捨てれば、バナッハ空間間の射影連続線型作用素は連続切断を許容する。これがバートル・グレイブスの定理である。^{[13] [14]}

または の局所凸性は証明に必須ではありませんが、完全性は必須です。つまり、およびがF-空間の  場合でも定理は成り立ちます。さらに、定理は次のようにしてベールのカテゴリ定理と組み合わせることができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

（証明は本質的にバナッハやフレシェの場合と同じですが、凸性の使用を避けるために証明を少し変更しています。）

さらに、後者の場合、がの核であれば、の標準因数分解が の形で 存在し 、ここで はの閉部分空間による商空間（F空間でもある）である。 商写像は開いており、写像は位相ベクトル空間の同型である。^[16]${\displaystyle N}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y}$$${\displaystyle X/N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle N.}$${\displaystyle X\to X/N}$${\displaystyle \alpha }$

この定理の重要な特別なケースは次のようにも言える。

一方、最初のことを意味するより一般的な定式化は次のようになります。

ほぼオープンな線形マップ

2つの位相ベクトル空間（TVS）間の線型写像は、${\displaystyle A:X\to Y}$ほぼ開写像（または、時には、ほぼ開写像）とは、定義域内の原点のすべての近傍に対して内の原点の近傍となることを^。[18] 多くの著者は、「ほぼ開写像」の異なる定義を使用しており、 の閉包が内の原点の近傍となることするが^[18]、全射写像の場合、これらの定義は同等である。全単射線型写像がほぼ開写像となるのは、その逆写像が連続する場合に限る。^[18]局所凸 TVS樽型 TVSへ のすべての全射線型写像は、ほぼ開写像である。^[19]同じことが、TVS からBaireTVS へのすべての全射線型写像にも当てはまる。^[19]${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {cl} A(U)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle A(U)}$${\displaystyle A(X)}$${\displaystyle Y,}$

ウェブ空間は、開写像定理と閉グラフ定理が成り立つ位相ベクトル空間のクラスです。

• ほぼ開いた線形マップ - 開いたマップと同様の条件を満たすマップ。Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 有界逆定理 – 線形演算子が開となるための条件Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 閉グラフ – 積空間で閉じたマップのグラフPages displaying short descriptions of redirect targets
• 閉グラフ定理 – グラフの連続性に関する定理
• 閉グラフ定理（関数解析）  – グラフの連続性と閉包性を結びつける定理
• 開写像定理（複素解析）  – 複素領域上の正則関数は開写像であるという定理Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• フレシェ空間の全射 – 全射性の特徴
• ウルシェスク定理 – 閉グラフ、開写像、一様有界性定理の一般化
• ウェブ空間 – 開写像と閉グラフ定理が成り立つ空間

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• 「バナッハ空間の複合体が凝縮アーベル群として正確になるのはいつですか？」。MathOverflow。2021年2月6日。