テンソル積

数学において、 2 つのベクトル空間VとW (同じ体上)のテンソル積は 、ペアを⁠ ⁠で示されるの元に写す双線型写像が関連付けられているベクトル空間です。 ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\times W\rightarrow V\otimes W}$${\displaystyle (v,w),\ v\in V,w\in W}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle v\otimes w}$

形式の元は、vとwのテンソル積と呼ばれます。 の元はテンソルであり、2 つのベクトルのテンソル積は、基本テンソルまたは分解可能テンソルと呼ばれることもあります。 の基本テンソルは、 のすべての元が基本テンソルの和であるという意味で広がります。 VとWの基底が与えられている場合、 の基底は、Vの基底元とWの基底元のすべてのテンソル積によって形成されます。 ${\displaystyle v\otimes w}$${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle V\otimes W}$

2 つのベクトル空間のテンソル積は、 から別のベクトル空間Zへの双線型写像が線型写像を通じて一意に因数分解されるという意味で、すべての双線型写像の特性を捉えます(「普遍的特性」を参照)。 ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle V\otimes W\to Z}$

テンソル積は、物理学や工学を含む多くの応用分野で使用されています。たとえば、一般相対性理論では、重力場は計量テンソルによって記述されます。計量テンソルはテンソル場（ベクトル場と似ていますが、ベクトルではなくテンソルを使用します）であり、時空 多様体の各点に 1 つのテンソルがあり、各テンソルは、その点における余接空間とそれ自体とのテンソル積に属します。

2 つのベクトル空間のテンソル積は、同型まで定義されるベクトル空間です。これを定義するには、いくつかの同等な方法があります。そのほとんどは、テンソル積と呼ばれるベクトル空間を明示的に定義することから成り、一般に、同値性の証明は、そのように定義されたベクトル空間の基本的な特性からほぼ直ちに得られます。

テンソル積は、普遍的性質を通じて定義することもできます。以下の § 普遍的性質を参照してください。すべての普遍的性質と同様に、その性質を満たすすべてのオブジェクトは、普遍的性質と互換性のある一意の同型性を通じて同型です。この定義を使用すると、他の定義は、普遍的性質を満たすオブジェクトの構成と見なすことができ、普遍的性質を満たすオブジェクトが存在すること、つまりテンソル積が存在することの証明として見なすことができます。

VとW を、それぞれ基底と⁠ ⁠ を持つ体F上の2つのベクトル空間とします。 ${\displaystyle B_{V}}$${\displaystyle B_{W}}$

VとWのテンソル積は、 および⁠ ⁠ を満たすすべての集合を基底とするベクトル空間です。この定義は、次のように形式化できます (この形式化は実際にはめったに使用されません。通常は前述の非公式な定義で十分です)。は、有限個の非ゼロ値を持つ、直積からFへの関数の集合です。点ごとの演算によってベクトル空間が作成されます。を 1に、の他の要素を0にマッピングする関数は⁠ ⁠と表されます。 ${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle v\otimes w}$${\displaystyle v\in B_{V}}$${\displaystyle w\in B_{W}}$${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$${\displaystyle v\otimes w}$

すると、この集合は単純に⁠ ⁠の基底となり、これは⁠ ⁠と⁠ ⁠のテンソル積と呼ばれます。 ${\displaystyle \{v\otimes w\mid v\in B_{V},w\in B_{W}\}}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle B_{V}}$${\displaystyle B_{W}}$

同様に、 ⁠ ⁠ の有限個の元でのみ非ゼロとなる ⁠ 上の双線型形式の集合を ⁠ ⁠ と定義することもできます。これを確認するために、⁠ ⁠ と双線型形式⁠ ⁠が与えられている場合、と を基底およびで次のように分解できます。 ここで、 および は有限個の元でのみ非ゼロとなり、 の双線型性によって次が求められます。 ${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$${\displaystyle B:V\times W\to F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle B_{V}}$${\displaystyle B_{W}}$$${\displaystyle x=\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v\quad {\text{and}}\quad y=\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w,}$$${\displaystyle x_{v}}$${\displaystyle y_{w}}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle B(x,y)=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,B(v,w)}$$

したがって、任意の に対するの値は、 ⁠ ⁠でとる値によって一意かつ完全に決定されることがわかります。これにより、次のようにして、以前と同じようにで定義されたマップを双線型マップに拡張できます。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$${\displaystyle v\otimes w}$${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$${\displaystyle v\otimes w:V\times W\to F}$$${\displaystyle (v\otimes w)(x,y):=\sum _{v'\in B_{V}}\sum _{w'\in B_{W}}x_{v'}y_{w'}\,(v\otimes w)(v',w')=x_{v}\,y_{w}.}$$

すると、任意の双線型形式を、次式に従って、写像 の（潜在的に無限の）形式的な線型結合として表現することができます。これにより、 これらの写像は、⁠ ⁠上のすべての双線型形式のベクトル空間に対するSchauder 基底に類似したものになります。代わりにこれを適切なハメル基底にするには、 ⁠ ⁠の有限個の要素のみで がゼロでないという要件を追加し、代わりにそのような写像の部分空間を考慮するだけです。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle v\otimes w}$$${\displaystyle B=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}B(v,w)(v\otimes w)}$$${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W;F)}$${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$

どちらの構成でも、2 つのベクトルのテンソル積は、それらの基底分解から定義されます。より正確には、前と同じように と の基底分解をとります。 ${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle y\in W}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x\otimes y&={\biggl (}\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v{\biggr )}\otimes {\biggl (}\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w{\biggr )}\\[5mu]&=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,v\otimes w.\end{aligned}}}$$

この定義は、上で行ったように、基底と⁠ ⁠を使用したの双線型性による展開における の係数から非常に明確に導出されます。この定義により、写像がから への双線型写像であり、テンソル積の任意の構成が満たす普遍的性質を満たすことを簡単に検証できます(以下を参照)。 ${\displaystyle B(v,w)}$${\displaystyle B(x,y)}$${\displaystyle B_{V}}$${\displaystyle B_{W}}$${\displaystyle {\otimes }:(x,y)\mapsto x\otimes y}$${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle V\otimes W}$

長方形の配列に配置すると、の座標ベクトルは⁠ ⁠の座標ベクトルの 外積になります。したがって、テンソル積は外積の一般化、つまり座標ベクトルを超えた抽象化です。 ${\displaystyle x\otimes y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

このテンソル積の定義の制限は、基底を変更すると、異なるテンソル積が定義されることです。ただし、一方の基底の要素をもう一方の基底に分解すると、ベクトル空間の 2 つのテンソル積の間に標準同型性が定義され、これらを識別できるようになります。また、次の 2 つの代替定義とは対照的に、この定義は、環上の加群のテンソル積の定義に拡張することはできません。

基底に依存しないテンソル積の構成は、次のようにして得ることができます。

VとW を体F上の2 つのベクトル空間とします。

まず、直積を基底とするベクトル空間L を考えます。つまり、Lの基底要素は、および⁠ ⁠のペアです。このようなベクトル空間を得るには、有限個の非ゼロ値を持ち、で値1をとり、それ以外で値0 をとる関数と同一視される関数のベクトル空間として定義できます。 ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle V\times W\to F}$${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle (v,w)}$

R を、テンソル積が満たさなければならない関係によって張られるLの線形部分空間とします。より正確には、 R は次のいずれかの形式の要素 によって張られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}(v_{1}+v_{2},w)&-(v_{1},w)-(v_{2},w),\\(v,w_{1}+w_{2})&-(v,w_{1})-(v,w_{2}),\\(sv,w)&-s(v,w),\\(v,sw)&-s(v,w),\end{aligned}}}$

ここで、⁠ ⁠${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\in V}$、および⁠ ⁠。 ${\displaystyle w,w_{1},w_{2}\in W}$${\displaystyle s\in F}$

そして、テンソル積は商空間として定義されます。

${\displaystyle V\otimes W=L/R,}$

そしてこの商における の像は⁠ ⁠ と表される。 ${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle v\otimes w}$

この構成の結果が以下で検討する普遍的性質を満たすことは簡単に証明できます。(非常によく似た構成を使用して、モジュールのテンソル積を定義できます。)

この節では、テンソル積が満たす普遍的性質について説明します。すべての普遍的性質と同様に、その性質を満たす 2 つのオブジェクトは、一意の同型性によって関連付けられます。したがって、これは 2 つのベクトル空間のテンソル積を定義する (非構成的な) 方法です。この文脈では、前述のテンソル積の構成は、このように定義されたテンソル積の存在の証明と見なすことができます。

このアプローチの結果、テンソル積のすべての特性は普遍的特性から演繹することができ、実際にはその存在を証明するために使用された方法を忘れてしまう可能性があります。

2 つのベクトル空間のテンソル積の「普遍的性質の定義」は次のとおりです (双線形写像は、各引数に対して 個別に 線形である関数であることを思い出してください)。

2つのベクトル空間VとWのテンソル積は、⁠ ⁠と表記されるベクトル空間と、⁠ ⁠から⁠ ⁠への双線型写像で構成され、任意の双線型写像⁠ ⁠に対して、 となる一意の線型写像⁠ ⁠が存在します(つまり、任意の ⁠ ⁠ ⁠および⁠ ⁠に対して)。${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle {\otimes }:(v,w)\mapsto v\otimes w}$${\displaystyle V\times W}$${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle h:V\times W\to Z}$${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to Z}$${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ {\otimes }}$${\displaystyle h(v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle w\in W}$

上記の普遍的性質と同様に、次の特徴付けは、与えられたベクトル空間と与えられた双線形写像がテンソル積を形成するかどうかを判断するためにも使用できます。^[1]

例えば、とが正の整数であれば、と⁠ ⁠のテンソル積を形成するように送ることで定義される双線型写像となることが直ちに分かります。^[2]多くの場合、この写像は⁠ ⁠で表され、は⁠ ⁠におけるこの双線型写像の値を表します。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Z:=\mathbb {C} ^{mn}}$${\displaystyle T:\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{mn}}$${\displaystyle (x,y)=\left(\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right)}$${\displaystyle \left(x_{i}y_{j}\right)_{\stackrel {i=1,\ldots ,m}{j=1,\ldots ,n}}}$${\displaystyle X:=\mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle Y:=\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \,\otimes \,}$${\displaystyle x\otimes y\;:=\;T(x,y)}$${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$

別の例として、が、点ごとに定義された加算とスカラー乗算を持つ集合上のすべての複素数値関数のベクトル空間であるとします（つまり、 は写像であり、は写像⁠ ⁠）とします。および を任意の集合とし、任意の⁠ ⁠ ⁠に対して、 が ⁠ ⁠ で定義される関数を表すものとします。およびがベクトル部分空間である場合、 のベクトル部分空間は双線型写像とともに、 と⁠ ⁠ のテンソル積を形成します。^[2]${\displaystyle \mathbb {C} ^{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle s\mapsto f(s)+g(s)}$${\displaystyle cf}$${\displaystyle s\mapsto cf(s)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{S}}$${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{T}}$${\displaystyle f\otimes g\in \mathbb {C} ^{S\times T}}$${\displaystyle (s,t)\mapsto f(s)g(t)}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{S}}$${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {C} ^{T}}$${\displaystyle Z:=\operatorname {span} \left\{f\otimes g:f\in X,g\in Y\right\}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{S\times T}}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\;&&X\times Y&&\;\to \;&Z\\[0.3ex]&&(f,g)&&\;\mapsto \;&f\otimes g\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

VとW が有限次元のベクトル空間である場合、 は有限次元であり、その次元はVとWの次元の積です。 ${\displaystyle V\otimes W}$

これは、 の基底がVの基底要素とWの基底要素のすべてのテンソル積をとることによって形成されるという事実から生じます。 ${\displaystyle V\otimes W}$

テンソル積は、3つのベクトル空間が与えられたときに、標準同型が存在する という意味で結合的です。${\displaystyle U,V,W}$

${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W),}$

⁠ ⁠にマッピングされます。 ${\displaystyle (u\otimes v)\otimes w}$${\displaystyle u\otimes (v\otimes w)}$

これにより、2 つ以上のベクトル空間またはベクトルのテンソル積で括弧を省略できるようになります。

2つのベクトル空間のテンソル積は、標準同型が存在するという意味で 可換である。${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V,}$

⁠ ⁠にマッピングされます。 ${\displaystyle v\otimes w}$${\displaystyle w\otimes v}$

一方、⁠ ⁠${\displaystyle V=W}$の場合でも、ベクトルのテンソル積は可換ではありません。つまり、一般には⁠ ⁠${\displaystyle v\otimes w\neq w\otimes v}$です。

から への 写像は、それ自身に線型自己同型写像​​を誘導し、これは${\displaystyle x\otimes y\mapsto y\otimes x}$${\displaystyle V\otimes V}$編み込み写像。より一般的に、そしていつものように (テンソル代数)、 はベクトル空間Vnのテンソル積を表すもの最初のn 個の順列sに対して、写像: ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

${\displaystyle x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\mapsto x_{s(1)}\otimes \cdots \otimes x_{s(n)}}$

⁠ ⁠${\displaystyle V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}}$の線型自己同型写像​​を誘導します。これは編組写像と呼ばれます。

線型写像⁠ ⁠${\displaystyle f:U\to V}$とベクトル空間Wが与えられた場合、テンソル積は次のようになります。

${\displaystyle f\otimes W:U\otimes W\to V\otimes W}$

は、次の唯一の線形写像である。

${\displaystyle (f\otimes W)(u\otimes w)=f(u)\otimes w.}$

テンソル積も同様に定義されます。 ${\displaystyle W\otimes f}$

2つの線型写像と⁠ ⁠が与えられた場合、それらのテンソル積は次のようになります。 ${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle g:W\to Z}$

${\displaystyle f\otimes g:U\otimes W\to V\otimes Z}$

は、次を満たす唯一の線形写像です。

${\displaystyle (f\otimes g)(u\otimes w)=f(u)\otimes g(w).}$

1つは次の通りです:

${\displaystyle f\otimes g=(f\otimes Z)\circ (U\otimes g)=(V\otimes g)\circ (f\otimes W).}$

圏論の観点から言えば、これはテンソル積がベクトル空間の圏からそれ自身への双関数であることを意味する。^[3]

fとg が両方とも単射または全射である場合、上で定義されたすべての線型写像について同じことが当てはまります。特に、ベクトル空間とのテンソル積は正確な関数です。つまり、すべての正確なシーケンスは正確なシーケンスにマッピングされます (モジュールのテンソル積は単射を単射に変換しませんが、正確な関数です)。

関係するすべてのベクトル空間の基底を選択することにより、線型写像fとg を行列で表すことができます。次に、テンソルがベクトル化される方法に応じて、テンソル積を記述する行列は2 つの行列のクロネッカー積になります。たとえば、上記のV、X、W、およびYがすべて 2 次元で、そのすべてに対して基底が固定されており、fとg がそれぞれ行列 で与えられる 場合 、これら 2 つの行列のテンソル積は次のようになります。 ${\displaystyle v\otimes w}$${\displaystyle f\otimes g}$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\[3pt]a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}$$

結果のランクは最大 4 なので、結果の次元は 4 になります。ここでのランクはテンソルのランク、つまり必要なインデックスの数を示します (一方、行列のランクは結果の配列の自由度の数をカウントします)。⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B}$。

二項積は、同じ次元の 2 つのベクトル間のテンソル積の特殊なケースです。

非負の整数rとsに対して、ベクトル空間V上の型テンソルは次の要素です。 ここでは、双対ベクトル空間( Vから基底体Kへのすべての線型写像fで構成される)です。 ${\displaystyle (r,s)}$ $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s}=V^{\otimes r}\otimes \left(V^{*}\right)^{\otimes s}.}$$${\displaystyle V^{*}}$

テンソルの積と呼ばれる積写像がある：^[4] $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}(V).}$$

これは、発生するすべての「因子」V をグループ化することによって定義されます。Vの要素については次のように書き、双対空間の要素については次のように書きます。 ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$$${\displaystyle (v_{1}\otimes f_{1})\otimes (v'_{1})=v_{1}\otimes v'_{1}\otimes f_{1}.}$$

V が有限次元の場合、 Vの基底と対応する の双対基底を選択すると、自然にの基底が誘導されます（この基底はクロネッカー積の記事で説明されています）。これらの基底に関して、 2つ（またはそれ以上）のテンソルの（テンソル）積の成分を計算できます。たとえば、FとG がそれぞれm 次とn 次の共変テンソルである場合（つまり、と）、それらのテンソル積の成分は次のように与えられます。^[5]${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$${\displaystyle F\in T_{m}^{0}}$${\displaystyle G\in T_{n}^{0}}$ $${\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}\cdots i_{m+n}}.}$$

したがって、2 つのテンソルのテンソル積の成分は、各テンソルの成分の通常の積です。別の例: U を(1, 1)型の成分⁠ ⁠${\displaystyle U_{\beta }^{\alpha }}$を持つテンソルとし、V を型の成分⁠ ⁠を持つテンソルとします。すると、 次のよう になります。 ${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle V^{\gamma }}$$${\displaystyle \left(U\otimes V\right)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }=U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }}$$$${\displaystyle (V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }=V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }.}$$

テンソルとその積演算はテンソル代数と呼ばれる代数を形成します。

(1, 1)型のテンソルには、 純粋なテンソルに対する作用によって定義される 標準的な評価マップ が存在する。$${\displaystyle V\otimes V^{*}\to K}$$$${\displaystyle v\otimes f\mapsto f(v).}$$

より一般的には、⁠ ⁠型のテンソル（ ${\displaystyle (r,s)}$r、s > 0 ）に対して、テンソル縮約と呼ばれるマップが存在します。 （このマップを適用する と の コピー を指定する必要があります。）$${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).}$$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$

一方、が有限次元の場合、反対方向には標準写像（共評価写像と呼ばれる）が存在します。 ここで は⁠ ⁠の任意の基底であり、 はその双対基底です。この写像は基底の選択に依存しません。^[6]${\displaystyle V}$$${\displaystyle {\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end{cases}}}$$${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v_{i}^{*}}$

評価と共評価の相互作用は、基底を参照せずに有限次元ベクトル空間を特徴付けるために使用できます。^[7]

テンソル積は、対角作用によってリー代数の加群として自然に考えることができる。簡単にするために、 ⁠ ⁠と仮定すると、各⁠ ⁠に対して、 はuの転置、つまり⁠ ⁠上の明らかなペアリングに関して、 ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$${\displaystyle r=s=1}$${\displaystyle u\in \mathrm {End} (V)}$$${\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),}$$${\displaystyle u^{*}\in \mathrm {End} \left(V^{*}\right)}$${\displaystyle V\otimes V^{*}}$$${\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle .}$$

次のような標準的な同型が存在する: ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)}$$${\displaystyle (a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.}$$

この同型性の下では、内のすべてのu は、まず ⁠ ⁠ の自己準同型として見られ、次に⁠ ⁠の自己準同型として見られます。実際、それは⁠ ⁠の随伴表現ad( u )です。 ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$${\displaystyle T_{1}^{1}(V)}$${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$

同じ体K上の2 つの有限次元ベクトル空間U、Vが与えられ、Uの双対空間をU*、UからVへのすべての線型写像のKベクトル空間をHom( U , V )と表記します。同型性があります。これは、 ⁠ ⁠の元への 純粋テンソルの作用によって定義されます。 $${\displaystyle U^{*}\otimes V\cong \mathrm {Hom} (U,V),}$$${\displaystyle f\otimes v\in U^{*}\otimes V}$${\displaystyle U}$$${\displaystyle (f\otimes v)(u)=f(u)v.}$$

その「逆」は、上記の「評価マップとテンソル収縮」のセクションのように、 基底とその双対基底を使用して定義できます。${\displaystyle \{u_{i}\}}$${\displaystyle \{u_{i}^{*}\}}$$${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {Hom} (U,V)\to U^{*}\otimes V\\F\mapsto \sum _{i}u_{i}^{*}\otimes F(u_{i}).\end{cases}}}$$

この結果は次を意味します。 これは、 がUとVの基底である の基底を形成する という重要な事実を自動的に与えます。 $${\displaystyle \dim(U\otimes V)=\dim(U)\dim(V),}$$${\displaystyle \{u_{i}\otimes v_{j}\}}$${\displaystyle U\otimes V}$${\displaystyle \{u_{i}\},\{v_{j}\}}$

さらに、3 つのベクトル空間U、V、Wが与えられた場合、テンソル積は次のように すべての線形マップのベクトル空間にリンクされます。これは随伴関数 の例です。テンソル積は Hom に対して「左随伴」です。 $${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathrm {Hom} (V,W)).}$$

可換環R上の 2 つのモジュール AとBのテンソル積は、体上のベクトル空間のテンソル積とまったく同じ方法で定義されます。 ここで、は直積によって生成される自由Rモジュールであり、 G はこれらの関係によって生成されるRモジュールです。 $${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G,}$$${\displaystyle F(A\times B)}$

より一般的には、環が非可換であってもテンソル積を定義できます。この場合、 A は右R加群、B は左R加群でなければならず、上記の最後の 2 つの関係の代わりに、関係: が適用されます。R が非可換である場合、これはもはやR加群ではなく、単なるアーベル群です。 $${\displaystyle (ar,b)\sim (a,rb)}$$

普遍的性質もわずかに修正されて継承される。つまり、によって定義される写像は中線型写像（「標準中線型写像」^[8]と呼ばれる）であり、つまり次式を満たす：^[9]${\displaystyle \varphi :A\times B\to A\otimes _{R}B}$${\displaystyle (a,b)\mapsto a\otimes b}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (a+a',b)&=\varphi (a,b)+\varphi (a',b)\\\varphi (a,b+b')&=\varphi (a,b)+\varphi (a,b')\\\varphi (ar,b)&=\varphi (a,rb)\end{aligned}}}$$

最初の 2 つの性質により、 φ はアーベル群 ⁠ ⁠${\displaystyle A\times B}$の双線型写像になります。 ⁠ ⁠の任意の中線型写像に対して、 ⁠ ⁠の唯一の群準同型f は⁠ ⁠ を満たし、この性質により群内同型が決定されます。詳細についてはメインの記事を参照してください。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle A\otimes _{R}B}$${\displaystyle \psi =f\circ \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

Aを右R加群、B を左R 加群とします。AとBのテンソル積は次のように定義されるアーベル群です。 ここで は上の自由アーベル群であり、G は の関係によって生成される の部分群です。 $${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G}$$${\displaystyle F(A\times B)}$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle F(A\times B)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,{\text{ for all }}r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{aligned}}}$$

普遍的性質は次のように述べることができます。Gを、次の意味で双線型である 写像を持つアーベル群とします。${\displaystyle q:A\times B\to G}$$${\displaystyle {\begin{aligned}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\\q(a,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\\q(ar,b)&=q(a,rb).\end{aligned}}}$$

すると、すべてのおよび⁠ ⁠に対してとなるような一意の写像が存在します。 ${\displaystyle {\overline {q}}:A\otimes B\to G}$${\displaystyle {\overline {q}}(a\otimes b)=q(a,b)}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$

さらに、いくつかの追加条件下でモジュール構造を与えることができます。 ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

1. Aが ( S , R )-双加群である場合、 は左S -加群であり、ここで⁠ ⁠です。${\displaystyle A\otimes _{R}B}$${\displaystyle s(a\otimes b):=(sa)\otimes b}$
2. B が( R , S )-双加群である場合、 は右S -加群であり、ここで⁠ ⁠です。${\displaystyle A\otimes _{R}B}$${\displaystyle (a\otimes b)s:=a\otimes (bs)}$
3. A が( S , R )-双加群で、B が( R , T )-双加群である場合、 は( S , T )-双加群であり、ここで左作用と右作用は前の 2 つの例と同じ方法で定義されます。${\displaystyle A\otimes _{R}B}$
4. R が可換環であれば、 AとB は( R , R )-双加群( ⁠ ⁠ ) です。3) により、 は( R , R )-双加群であると結論付けることができます。${\displaystyle ra:=ar}$${\displaystyle br:=rb}$${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

ベクトル空間の場合、上で述べたように、 WのVの基底によって⁠ ⁠の基底が直ちに決定されるため、テンソル積はすぐに計算されます。一般 (可換) 環上の加群の場合、すべての加群が自由であるとは限りません。たとえば、Z / n Z は自由アーベル群 ( Z加群) ではありません。Z / n Zとのテンソル積は次のように表されます。 ${\displaystyle V\otimes W}$${\displaystyle V\otimes W}$$${\displaystyle M\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} =M/nM.}$$

より一般的には、いくつかのRモジュールM、つまり関係を伴う 生成元の数の表現が与えられると、 テンソル積は次のコカーネルとして計算できます。 ${\displaystyle m_{i}\in M,i\in I}$$${\displaystyle \sum _{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,\qquad a_{ij}\in R,}$$$${\displaystyle M\otimes _{R}N=\operatorname {coker} \left(N^{J}\to N^{I}\right)}$$

ここで⁠ ⁠${\displaystyle N^{J}=\oplus _{j\in J}N}$であり、写像はのj番目のコピーの一部を( ⁠ ⁠内)に送ることで決定されます。口語的には、これはMの表現が⁠ ⁠の表現を生み出すと言い換えることができます。これは、テンソル積が右完全関数であると言われることによって示されます。これは一般に左完全ではありません。つまり、R加群の単射写像⁠ ⁠が与えられた場合、テンソル積: は 通常単射ではありません。たとえば、n、n  : Z → Zとの乗算によって与えられた (単射) 写像をZ / n Zでテンソル化すると、ゼロ写像0 : Z / n Z → Z / n Zが生成されますが、これは単射ではありません。より高次のTor 関数は、テンソル積が左完全ではないという欠陥を測定します。 ${\displaystyle N^{J}\to N^{I}}$${\displaystyle n\in N}$${\displaystyle N^{J}}$${\displaystyle a_{ij}n}$${\displaystyle N^{I}}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle M_{1}\to M_{2}}$$${\displaystyle M_{1}\otimes _{R}N\to M_{2}\otimes _{R}N}$$

R を可換環とする。R加群のテンソル積は、特にAとBがR代数である場合に適用されます。この場合、テンソル積は次のように置くことで R代数自体になります。 たとえば、 ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$$${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})\cdot (a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}\cdot a_{2})\otimes (b_{1}\cdot b_{2}).}$$$${\displaystyle R[x]\otimes _{R}R[y]\cong R[x,y].}$$

特別な例としては、AとB が共通の部分体R を含む体である場合が挙げられます。体のテンソル積はガロア理論と密接に関連しています。たとえば、A = R [ x ] / f ( x )で、f がRに係数を持つ既約多項式である場合、テンソル積は次のように計算できます。 ここで、f は同じ多項式として解釈されますが、その係数はBの要素と見なされます。より大きな体Bでは、多項式は既約になる可能性があり、ガロア理論が導入されます。たとえば、A = B がRのガロア拡大である場合、次式は ( A代数 として) ⁠ ⁠と同型です。 $${\displaystyle A\otimes _{R}B\cong B[x]/f(x)}$$$${\displaystyle A\otimes _{R}A\cong A[x]/f(x)}$$${\displaystyle A^{\operatorname {deg} (f)}}$

体の要素を持つ正方行列は、 ベクトル空間の線型写像、たとえば⁠ ⁠ の線型写像、および⁠ ⁠上の射影空間の線型写像を表します。が特異でない場合、 はどこでも明確に定義され、の固有ベクトルは⁠ ⁠の不動点に対応します。がジェネリックであり代数的に閉じている場合、の固有構成は⁠ ⁠内の点で構成されます。非線形写像の不動点は、テンソルの固有ベクトルです。 を、特性0の代数的に閉じた体にある要素を持つ形式の 次元テンソルとします。このようなテンソルは、座標を持つ多項式写像とを定義します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$${\displaystyle \psi :\mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A=(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n\times n\times \cdots \times n}$${\displaystyle (a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{d}})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A\in (K^{n})^{\otimes d}}$ ${\displaystyle K^{n}\to K^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$$${\displaystyle \psi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j_{2}=1}^{n}\sum _{j_{3}=1}^{n}\cdots \sum _{j_{d}=1}^{n}a_{ij_{2}j_{3}\cdots j_{d}}x_{j_{2}}x_{j_{3}}\cdots x_{j_{d}}\;\;{\mbox{for }}i=1,\ldots ,n}$$

したがって、 の各座標は⁠ ⁠の次数の同次多項式です。 の固有ベクトルは制約の解です。 そして、固有配置はこの行列の小行列式の多様体 によって与えられます。^[10]${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{i}}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\mbox{rank}}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\\psi _{1}(\mathbf {x} )&\psi _{2}(\mathbf {x} )&\cdots &\psi _{n}(\mathbf {x} )\end{pmatrix}}\leq 1}$$${\displaystyle 2\times 2}$

ヒルベルト空間は、有限次元ベクトル空間を任意の次元に一般化する。ヒルベルト空間を対称モノイド圏にする「テンソル積」とも呼ばれる類似の演算がある。これは本質的には、上で議論した代数的テンソル積の計量空間完備化として構成される。しかし、テンソル積を定義する普遍的性質の明らかな類似を満たさない。^{[11]その性質の射影は}ヒルベルト・シュミット演算子に制限されなければならない。^[12]

内積の適用が不適切である状況でも、代数テンソル積を位相テンソル積として完成させることは可能です。しかし、そのような構成はもはや一意に指定されません。多くの場合、代数テンソル積には複数の自然な位相が存在します。

いくつかのベクトル空間は、部分空間の直和に分解できます。このような場合、2 つの空間のテンソル積は、部分空間の積の和に分解できます (乗算が加算に分配されるのと同様に)。

追加の乗法構造を備えたベクトル空間は代数と呼ばれます。このような代数のテンソル積はリトルウッド-リチャードソン規則によって記述されます。

2つの多重線型形式 と体上のベクトル空間が与えられた場合、それらのテンソル積は多重線型形式である: ^[13]${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})}$${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).}$$

これは、テンソルを多重線型写像とみなした場合のテンソル積の特殊なケースです（多重線型写像としてのテンソルも参照）。したがって、多重線型形式のテンソル積の成分は、クロネッカー積によって計算できます。

「テンソル積」と呼ばれていますが、これは上記の意味でのグラフのテンソル積ではないことに注意してください。実際には、グラフとグラフ準同型のカテゴリのカテゴリ理論的積です。ただし、実際にはグラフの隣接行列のクロネッカーテンソル積です。上記の「線形マップのテンソル積」のセクションも比較してください。

テンソル積の最も一般的な設定はモノイドカテゴリです。これは、テンソル化の対象を具体的に参照することなく、テンソル化の代数的本質を捉えています。したがって、すべてのテンソル積は、モノイドカテゴリを特定の設定に適用し、特定のオブジェクトに作用することで表現できます。

テンソル代数の重要な部分空間の多くは商として構築できます。これには、外積代数、対称代数、クリフォード代数、ワイル代数、および一般的な普遍包絡代数が含まれます。

外積代数は外積から構成されます。ベクトル空間Vが与えられた場合、外積は次のように定義されます。 ${\displaystyle V\wedge V}$$${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V{\big /}\{v\otimes v\mid v\in V\}.}$$

Vの基底体が特性 2 を持たない場合、この定義は次の定義と同等になります。 $${\displaystyle V\wedge V:=V\otimes V{\big /}{\bigl \{}v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}{\bigr \}}.}$$

外積におけるの像は通常 と表され、構成により⁠ ⁠を満たします。同様の構成は( n因子) に対しても可能で、Vのn次外乗⁠ ⁠を生じます。後者の概念は微分n形式の基礎となります。 ${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}}$${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}}$${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}=-v_{2}\wedge v_{1}}$${\displaystyle V\otimes \dots \otimes V}$${\displaystyle \Lambda ^{n}V}$

対称代数は、対称積から同様の方法で構築されます。 $${\displaystyle V\odot V:=V\otimes V{\big /}{\bigl \{}v_{1}\otimes v_{2}-v_{2}\otimes v_{1}\mid (v_{1},v_{2})\in V^{2}{\bigr \}}.}$$

より一般的には: $${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}V:=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n}{\big /}(\dots \otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \dots -\dots \otimes v_{i+1}\otimes v_{i}\otimes \dots )}$$

つまり、対称代数では、隣接する 2 つのベクトル (したがって、それらすべて) を交換することができます。結果として得られるオブジェクトは対称テンソルと呼ばれます。

配列プログラミング言語には、このパターンが組み込まれている場合があります。たとえば、APLでは、テンソル積は○.×(たとえばA ○.× BまたはA ○.× B ○.× C) として表現されます。J では、テンソル*/積は(たとえばa */ bまたは)の 2 項形式ですa */ b */ c。

J の扱いにより、テンソル場を として表現することもできa、 はb定数ではなく関数になることがあります。この 2 つの関数の積は導関数であり、aと が微分可能であればb、は微分可能です。 a */ b

ただし、このような表記法は、配列言語に普遍的に存在するわけではありません。他の配列言語では、インデックスの明示的な処理が必要な場合があります ( MATLABなど)。また、ヤコビ微分などの高階関数をサポートしていない場合もあります( Fortran /APL など)。

• 二元論 – ベクトル代数における 2 次テンソル
• スカラーの拡張
• モノイド圏 – テンソル積を許容する圏
• テンソル代数 – 多重線型代数における普遍的な構成
• テンソル収縮 – 数学と物理学における演算
• 位相テンソル積 – 位相ベクトル空間のテンソル積構成

• ブルバキ、ニコラス（1989）。数学の要素、代数I。シュプリンガー出版社。ISBN 3-540-64243-9。
• Gowers, Timothy . 「テンソル積に対する恐怖をなくす方法」。2021年5月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• グリレット、ピエール A. (2007)。抽象代数。Springer Science+Business Media, LLC。ISBN 978-0387715674。
• ハルモス、ポール（1974）。有限次元ベクトル空間。シュプリンガー。ISBN 0-387-90093-4。
• ハンガーフォード、トーマス W. (2003)。代数学。シュプリンガー。ISBN 0387905189。
• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001
• Mac Lane, S. ; Birkhoff, G. (1999).代数学. AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2。
• Aguiar, M.; Mahajan, S. (2010).モノイド関数、種、ホップ代数。CRMモノグラフシリーズ第29巻。ISBN 978-0-8218-4776-3。
• トレヴス、フランソワ(2006) [1967].位相ベクトル空間、分布、カーネル. ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• 「群の非可換テンソル積に関する参考文献」。