フォックスペース

フォック空間は、量子力学において、単一の粒子ヒルベルト空間Hから、可変または未知数の同一粒子の量子状態空間を構築するために用いられる代数構成である。これは、1932年の論文「配置空間と第2量子化」で初めて導入したVA フォックにちなんで名付けられた。 ^{[1] [2]}

非公式には、フォック空間は、ゼロ粒子状態、1粒子状態、2粒子状態などを表すヒルベルト空間の集合の和です。同一の粒子がボソンである場合、n粒子状態は、 n個の単一粒子ヒルベルト空間Hの対称化 テンソル積のベクトルです。同一の粒子がフェルミオンである場合、n粒子状態は、 n 個の単一粒子ヒルベルト空間Hの反対称化テンソル積のベクトルです(それぞれ対称代数と外積代数を参照)。フォック空間の一般的な状態は、 n粒子状態 (各nに対して 1 つ)の線形結合です。

技術的には、フォック空間は、一粒子ヒルベルト空間Hのテンソル冪における対称テンソルまたは反対称テンソルの直和（のヒルベルト空間 完備化）である。 $${\displaystyle F_{\nu }(H)={\overline {\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}}}~.}$$

ここでは、ヒルベルト空間がボソン統計に従う粒子を記述するかフェルミオン統計に従う粒子を記述するかによって、テンソル を対称化または反対称化する演算子があり、上線は空間の完備化を表します。ボソン (またはフェルミオン) フォック空間は、対称テンソル(または交代テンソル) (のヒルベルト空間完備化) として構築することもできます。H のすべての基底に対して、フォック空間の自然な基底、つまりフォック状態 が存在します。 ${\displaystyle S_{\nu}}$ ${\displaystyle (\nu =+)}$ ${\displaystyle (\nu =-)}$ ${\displaystyle F_{+}(H)={\overline {S^{*}H}}}$ ${\textstyle F_{-}(H)={\overline {{\bigwedge }^{*}H}}}$

フォック空間は、一粒子ヒルベルト空間のコピーのテンソル積の（ヒルベルト）直和である。${\displaystyle H}$

$${\displaystyle F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \cdots }$$

ここで、複素スカラーは、粒子が存在しない状態、粒子が 1 つ存在する状態、同一粒子が 2 つ存在する状態など から構成されます。${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle H}$${\displaystyle S_{\nu }(H\otimes H)}$

の一般的な状態は次のように表される 。${\displaystyle F_{\nu }(H)}$

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots }$$ どこ

• ${\displaystyle |0\rangle }$は真空状態と呼ばれる長さ1のベクトルであり、複素係数である。${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \in H}$は単一粒子ヒルベルト空間の状態であり、複素係数である。${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} }$
• ${\textstyle |\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }=a_{ij}|\psi _{i}\rangle \otimes |\psi _{j}\rangle +a_{ji}|\psi _{j}\rangle \otimes |\psi _{i}\rangle \in S_{\nu }(H\otimes H)}$、複素係数などです。${\displaystyle a_{ij}=\nu a_{ji}\in \mathbb {C} }$

この無限和の収束は、がヒルベルト空間になるために重要である。技術的には、代数的直和のヒルベルト空間完備化が要求される。これは、内積によって定義される ノルムが有限であるようなすべての無限組から成り 、粒子ノルムは、すなわち、テンソル積に対するノルム の制限によって定義される。 ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=(|\Psi _{0}\rangle _{\nu },|\Psi _{1}\rangle _{\nu },|\Psi _{2}\rangle _{\nu },\ldots )}$$${\displaystyle \||\Psi \rangle _{\nu }\|_{\nu }^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }<\infty }$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }=\sum _{i_{1},\ldots i_{n},j_{1},\ldots j_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}^{*}a_{j_{1},\ldots ,j_{n}}\langle \psi _{i_{1}}|\psi _{j_{1}}\rangle \cdots \langle \psi _{i_{n}}|\psi _{j_{n}}\rangle }$$ ${\displaystyle H^{\otimes n}}$

2 つの一般状態とに対して 、 上の内積 はと定義されます 。 ここで、各 - 粒子ヒルベルト空間上の内積を使用します。特に、粒子部分空間は異なる に対して直交することに注意してください。 $${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots ,}$$$${\displaystyle |\Phi \rangle _{\nu }=|\Phi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =b|0\rangle \oplus \sum _{i}b_{i}|\phi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}b_{ij}|\phi _{i},\phi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots }$$${\displaystyle F_{\nu }(H)}$$${\displaystyle \langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\sum _{n}\langle \Psi _{n}|\Phi _{n}\rangle _{\nu }=a^{*}b+\sum _{ij}a_{i}^{*}b_{j}\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle +\sum _{ijkl}a_{ij}^{*}b_{kl}\langle \psi _{i}|\phi _{k}\rangle \langle \psi _{j}|\phi _{l}\rangle _{\nu }+\cdots }$$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

フォック空間の積状態は、次の形式の状態で ある。

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }=|\phi _{1}\rangle \otimes |\phi _{2}\rangle \otimes \cdots \otimes |\phi _{n}\rangle }$$

これは粒子の集合を記述しており、そのうちの1つは量子状態、別の1つは、というように番目の粒子まで続きます。各粒子は、単一粒子ヒルベルト空間 の任意の状態です。ここで、並置（単一粒子ケットを なしで並べて書く）は、対称（反対称）テンソル代数における対称（反対称）乗算です。フォック空間の一般的な状態は、積状態の線形結合です。積状態の凸和として書くことができない状態は、エンタングルメント状態と呼ばれます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \phi _{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \otimes }$

状態 にある 1 つの粒子${\displaystyle \phi _{i}}$について話すとき、量子力学では同一の粒子は区別できないということを念頭に置く必要があります。同じフォック空間では、すべての粒子は同一です。(多くの種類の粒子を記述するために、検討対象の粒子の種類と同じ数の異なるフォック空間のテンソル積をとります)。この形式主義の最も強力な特徴の 1 つは、状態が暗黙的に適切に対称化されていることです。たとえば、上記の状態がフェルミオンである場合、反対称(外積 )であるため、 2 つ (またはそれ以上) が等しい場合は 0 になります。これは、2 つ (またはそれ以上) のフェルミオンが同じ量子状態になることはできないというパウリの排他原理の数学的定式化です。実際、形式積の項が線形従属である場合は常に、反対称テンソルの積は 0 になります。また、正規直交状態の積は、構成上適切に正規直交です (ただし、2 つの状態が等しいフェルミの場合は 0 になる可能性があります)。 ${\displaystyle |\Psi \rangle _{-}}$${\displaystyle \phi _{i}}$${\displaystyle |\phi _{i}\rangle |\phi _{i}\rangle =0}$

フォック空間の便利で便利な基底は占有数基底である。基底が与えられれば、 状態 の粒子、 状態 の粒子、...、状態 の粒子、そして残りの状態に粒子がない状態を次のように表すことができる。 ${\displaystyle \{|\psi _{i}\rangle \}_{i=0,1,2,\dots }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$${\displaystyle n_{1}}$${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$${\displaystyle n_{k}}$${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$

$${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}},}$$

ここで、フェルミオン粒子の場合はそれぞれ0 または 1 の値を取り、ボソン粒子の場合は 0、1、2、... の値を取ります。末尾のゼロは状態を変えずに省略できることに注意してください。このような状態はフォック状態と呼ばれます。 が自由場の定常状態として理解される場合、フォック状態は一定数の相互作用しない粒子の集合を表します。最も一般的なフォック状態は、純粋状態の線形重ね合わせです。 ${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

非常に重要な 2 つの演算子は、生成演算子と消滅演算子です。これらは、フォック状態に作用して、指定された量子状態の粒子を追加または削除します。これらは、それぞれ、生成、消滅で表されます。粒子を作成 (「追加」) するには、量子状態を で対称または外積します。また、粒子を消滅 (「削除」) するには、の随伴である で(偶数または奇数の)内積をとります。 の基底の状態を使用して、これらの演算子が特定の基底状態にある粒子を 1 つだけ削除および追加するようにすると便利なことがよくあります。これらの演算子は、フォック空間に作用するより一般的な演算子の生成元としても機能します。たとえば、特定の状態にある粒子の数を与える数演算子は です。 ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )\,}$${\displaystyle a(\phi )}$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle \langle \phi |}$${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )}$${\displaystyle H}$${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}$

多くの場合、1 つの粒子空間は、測度を持つ空間上の二乗可積分関数の空間として与えられます(厳密に言えば、測度 0 の集合上で関数が異なる場合に関数が同値となる二乗可積分関数の同値類)。典型的な例は、 3 次元空間上の二乗可積分関数の空間を持つ自由粒子です。フォック空間は、次のように対称または反対称二乗可積分関数として自然に解釈できます。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle L_{2}(X,\mu )}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle H=L_{2}(\mathbb {R} ^{3},d^{3}x)}$

と、、、などとする。点の組の空間を考える。これは互いに素な和集合である。${\displaystyle X^{0}=\{*\}}$${\displaystyle X^{1}=X}$${\displaystyle X^{2}=X\times X}$${\displaystyle X^{3}=X\times X\times X}$

$${\displaystyle X^{*}=X^{0}\bigsqcup X^{1}\bigsqcup X^{2}\bigsqcup X^{3}\bigsqcup \cdots .}$$

はとなる自然な測度を持ち、から への制限はです。偶フォック空間はの対称関数の空間と同一視でき、奇フォック空間は反対称関数の空間と同一視できます。この同一視は等長写像 から直接得られます。 ${\displaystyle \mu ^{*}}$${\displaystyle \mu ^{*}(X^{0})=1}$${\displaystyle \mu ^{*}}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle \mu ^{n}}$${\displaystyle F_{+}(L_{2}(X,\mu ))}$${\displaystyle L_{2}(X^{*},\mu ^{*})}$${\displaystyle F_{-}(L_{2}(X,\mu ))}$$${\displaystyle L_{2}(X,\mu )^{\otimes n}\to L_{2}(X^{n},\mu ^{n})}$$ $${\displaystyle \psi _{1}(x)\otimes \cdots \otimes \psi _{n}(x)\mapsto \psi _{1}(x_{1})\cdots \psi _{n}(x_{n})}$$

波動関数が与えられた場合、スレーター行列式${\displaystyle \psi _{1}=\psi _{1}(x),\ldots ,\psi _{n}=\psi _{n}(x)}$

$${\displaystyle \Psi (x_{1},\ldots x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}(x_{1})&\cdots &\psi _{n}(x_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{1}(x_{n})&\cdots &\psi _{n}(x_{n})\\\end{vmatrix}}}$$ は 上の反対称関数です。したがって、これは奇フォック空間の - 粒子セクターの要素として自然に解釈できます。正規化は、関数が正規直交である場合に となるように選択されます。行列式をパーマネントに置き換えた同様の「スレーター パーマネント」があり、これは偶フォック空間の - セクターの要素を与えます。 ${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \|\Psi \|=1}$${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}$${\displaystyle n}$

ガウス測度に関して平方積分可能な複素正則関数のセガル・バーグマン空間 ^[3]を定義する： ${\displaystyle B_{N}}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}\left(\mathbb {C} ^{N}\right)=\left\{f\colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} \mid \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}<\infty \right\},}$$ ここで 、空間を整数上の空間の入れ子の和集合として定義すると、Segal ^[4]と Bargmann ^{[5] [6]}は、ボゾンフォック空間と同型である ことを示した。単項式 はフォック状態 $${\displaystyle \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}:=\int _{\mathbb {C} ^{N}}\vert f(\mathbf {z} )\vert ^{2}e^{-\pi \vert \mathbf {z} \vert ^{2}}\,d\mathbf {z} .}$$${\displaystyle B_{\infty }}$${\displaystyle B_{N}}$${\displaystyle N\geq 0}$${\displaystyle B_{\infty }}$$${\displaystyle x_{1}^{n_{1}}...x_{k}^{n_{k}}}$$$${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}}.}$$

• q-フォック空間に関連するファインマン図とウィック積 - 非可換解析、Edward G. Effros および Mihai Popa、UCLA 数学部
• R. Geroch, 数理物理学、シカゴ大学出版局、第21章。