時間変換対称性

時間平行移動対称性または時間平行移動対称性( TTS ) は、物理学における数学的変換であり、共通の間隔を通じてイベントの時間を移動します。時間平行移動対称性とは、そのような変換の下で物理法則が変わらない (つまり不変である) という法則です。時間平行移動対称性は、物理法則は歴史を通じて同じであるという考えを厳密に定式化する方法であり、時間平行移動対称性は、ノイマンの定理を介してエネルギー保存則と密接に関連しています。^[1]数学では、特定のシステム上のすべての時間平行移動の集合はリー群を形成します。

自然界には時間並進の他にも、空間並進対称性や回転対称性など多くの対称性があります。これらの対称性は破れることがあり、結晶、超伝導、ヒッグス機構などの多様な現象を説明します。^[2]しかし、ごく最近まで時間並進対称性は破れないと考えられていました。^{[3] 2017年に初めて観測された物質の状態で} ある時間結晶は、時間並進対称性を破ります。^[4]

概要

対称性は物理学において最も重要なものであり、特定の物理量は相対的で観測不可能であるという仮説と密接に関係している。^[5]対称性は、方程式自体の初期条件、値、大きさではなく、物理法則を支配する方程式（ハミルトニアンやラグランジアンなど）に適用され、法則が変換下でも変化しないことを示す。 ^{[1]対称性が変換下でも維持される場合、それは}不変であると言われる。自然界における対称性は、ネーターの定理によって正確に定式化される保存則に直接つながる。^[6]

ニュートン力学

時間変換対称性を正式に記述するために、ある時刻および時刻におけるシステムを記述する方程式、または法則は、およびの任意の値に対して同じであると言います。 $t$ $t+\tau$ $t$ $\tau$

たとえば、ニュートンの方程式を考えてみましょう。

m{\ddot {x}}=-{\frac {dV}{dx}}(x)

その解決策として、次の組み合わせが見つかります。 $x=x(t)$

{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}(t)^{2}+V(x(t))

は変数に依存しません。もちろん、この量は運動方程式の時間変換不変性により保存される全エネルギーを表します。対称変換、たとえば幾何学的オブジェクトの合成を研究することにより、連続した有限対称変換を考慮する場合は、それらがグループ、より具体的にはリー変換グループを形成するという結論に達します。異なる対称性は、異なる幾何学を持つ異なるグループを形成します。時間に依存しないハミルトン系は、非コンパクトなアーベルリー群によって記述される時間変換のグループを形成します。したがって、TTS は、問題となっているハミルトニアンの集合全体で同じになる運動学的対称性ではなく、動的またはハミルトニアン依存の対称性です。他の例は、古典物理学と量子物理学の時間発展方程式の研究で見ることができます。 $t$ $\mathbb {R}$

時間発展方程式を記述する微分方程式の多くは、何らかのリー群に関連付けられた不変量の表現であり、これらの群の理論は、すべての特殊関数とそのすべての特性の研究に統一的な視点を提供します。実際、ソフス・リーは、微分方程式の対称性を研究しているときにリー群の理論を発明しました。変数分離法またはリー代数法による（偏）微分方程式の積分は、対称性の存在と密接に関連しています。たとえば、量子力学におけるシュレーディンガー方程式の正確な可解性は、基礎となる不変量にまでさかのぼることができます。後者の場合、対称性の調査により、異なる構成が同じエネルギーを持つ退化を解釈できます。これは、量子システムのエネルギースペクトルで一般的に発生します。物理学における連続対称性は、有限変換ではなく無限小変換の観点から定式化されることが多く、つまり、リー変換群ではなくリー代数が考慮されます。

量子力学

時間変換における孤立系のハミルトニアンの不変性は、そのエネルギーが時間の経過に伴って変化しないことを意味します。エネルギー保存則は、ハイゼンベルクの運動方程式によれば、次のことを意味します。 ${\hat {H}}$ $[{\hat {H}},{\hat {H}}]=0$

[e^{i{\hat {H}}t/\hbar },{\hat {H}}]=0

または：

[{\hat {T}}(t),{\hat {H}}]=0

ここで、時間変換演算子は、時間変換操作下でのハミルトニアンの不変性を意味し、エネルギーの保存につながります。 ${\hat {T}}(t)=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }$

非線形システム

一般相対性理論やヤン・ミルズ理論のような多くの非線形場の理論では、基本的な場の方程式は高度に非線形であり、厳密な解は「十分に対称な」物質分布（例えば、回転対称または軸対称の構成）に対してのみ知られています。時間並進対称性は、計量が静的である時空、つまり計量係数に時間変数が含まれない座標系がある時空でのみ保証されます。多くの一般相対性システムはどの参照フレームでも静的ではないため、保存エネルギーを定義することはできません。