3次元のスピノル

数学では、3次元に特化したスピノルの概念は、ドット積とクロス積という伝統的な概念によって扱うことができる。これは、回転群SO(3)の詳細な代数的議論の一部である。

スピノルと2×2複素トレース レスエルミート行列との関連はエリー・カルタンによって定式化された。^[1]

詳細には、実数（または複素数）の ベクトルx = ( x ₁ , x ₂ , x _{3 )が与えられた場合、複素行列を関連付けることができる。}

${\displaystyle {\vec {x}}\rightarrow X\ =\left({\begin{matrix}x_{3}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}&-x_{3}\end{matrix}}\right).}$

物理学では、これはドット積 と表記されることが多く、 はパウリ行列のベクトル形式です。この形式の行列には、3次元空間の幾何学に本質的に関連する次の特性があります。 ${\displaystyle X\equiv {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {\sigma }}\equiv (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$

• ${\displaystyle \det X=-|{\vec {x}}|^{2}}$ここで、 は行列式を表します。${\displaystyle \det}$
• ${\displaystyle X^{2}=|{\vec {x}}|^{2}I}$ここで、I は単位行列です。
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(XY+YX)=({\vec {x}}\cdot {\vec {y}})I}$ ^{[1] : 43}
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(XY-YX)=iZ}$ここで、Z は外積に関連付けられた行列です。${\displaystyle {\vec {z}}={\vec {x}}\time {\vec {y}}}$
• が単位ベクトルである場合、 は に直交する平面で反射して得られるベクトルに関連付けられた行列です。${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle -UXU}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {u}}}$

最後の特性は回転操作を簡略化するために使用できます。3次元空間における任意の回転は 2 つの反射の合成として因数分解されるというのは、線形代数の基本的な事実です。(より一般的には、任意の方向反転直交変換は、反射または 3 つの反射の積です。) したがって、 Rが、単位ベクトルに垂直な平面での反射とそれに続く に垂直な平面での反射として分解される回転である場合、行列はR を通るベクトルの回転を表します。 ${\displaystyle {\vec {u}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {u}}_{2}}$${\displaystyle U_{2}U_{1}XU_{1}U_{2}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

3次元空間の回転線形幾何学のすべてを複素2×2行列の集合に効果的にコード化したので、2×1行列（つまり列ベクトル）が果たす役割は何かと問うのは当然である。暫定的に、スピノルは列ベクトルである。

${\displaystyle \xi =\left[{\begin{matrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matrix}}\right],}$複素要素ξ ₁とξ ₂を持つ。

スピノルの空間は、明らかに複素 2×2 行列によって作用されます。上に示したように、一対の単位ベクトルの 2 つの反射の積は、ユークリッド ベクトルに対する作用が回転である 2×2 行列を定義します。したがって、スピノルに対する回転の作用があります。ただし、重要な注意点が 1 つあります。回転の因数分解は一意ではありません。明らかに、が回転の表現である場合、R を− Rに置き換えると同じ回転が生成されます。実際、これが生じる唯一の曖昧さであることは簡単に示すことができます。したがって、スピノルに対する回転の作用は常に二重値です。 ${\displaystyle X\mapsto RXR^{-1}}$

カルタンの2×2複素行列に関する研究には、いくつかの先駆的な研究がありました。ヴォルフガング・パウリは、これらの行列を非常に集中的に使用していたため、4次元部分空間の特定の基底の要素はパウリ行列σ _iと呼ばれ、エルミート行列はパウリベクトルとして表されます ^[2] 19世紀半ばには、この4次元複素数の代数演算が双四元数として研究されました。 ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}.}$

マイケル・ストーンとポール・ゴールドバーは、物理学のための数学の中で、これに異議を唱え、「スピン表現は、物理学で必要になる数年前の1913年にエリー・カルタンによって発見された」と述べています。

スピノルは、四元数構成を使わずに、3次元空間の等方性ベクトルから直接構築できます。スピノルの導入の動機として、X が複素3次元空間のベクトルx を表す行列であると仮定します。さらに、x が等方性であると仮定します。つまり、

${\displaystyle {\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {x} }=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=0.}$

Xの行列式はゼロなので、その行または列の間には比例関係があります。したがって、行列は2 つの複素 2 ベクトルの 外積として表すことができます。

${\displaystyle X=2\left[{\begin{matrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}-\xi _{2}&\xi _{1}\end{matrix}}\right].}$

この因数分解により、ベクトルxの座標における過剰決定方程式系が得られます。

制約を受ける

このシステムは解決策を認める

どちらの符号を選択​​しても、システム ( 1 ) は解けます。したがって、スピノルは、符号の選択とともに、等方性ベクトルと見なすことができます。対数分岐のため、 ( 3 ) が座標x間の完全な回転に沿って連続的に変化するように、一貫して符号を選択​​することは不可能であることに注意してください。スピノル上の回転の表現のこの曖昧さにもかかわらず、回転は、比ξ ₁ : ξ _2の分数線形変換によって明確に作用します。これは、解 ( 3 ) での 1 つの符号の選択が、2 番目の符号の選択を強制するためです。特に、スピノルの空間は、直交群の 射影表現です。

この観点から、スピノルは等方性ベクトルの一種の「平方根」とみなすことができる。具体的には、行列

${\displaystyle C=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\right),}$

系( 1 )は未定スピノルξについてX = 2 ξ ^t ξ Cを解くことと同等である。

ましてや、 ξとxの役割が逆転すると、形式Q ( ξ​​ ) = xは、各スピノルξに対して、 ξの成分の二次ベクトルx を定義します。この二次形式が分極されると、スピノルQ ( μ , ξ )上の双線形ベクトル値形式が決まります。この双線形形式は、反射または回転によってテンソル変換されます。

上記の考察は、検討中の元のユークリッド空間が実数であるか複素数であるかに関係なく、同様に当てはまります。ただし、空間が実数の場合、スピノルは回転群の表現の完全な記述を容易にする追加の構造を持ちます。簡単にするために、3 次元空間の内積が正定値シグネチャを持つと仮定します。

この慣例により、実ベクトルはエルミート行列に対応する。さらに、形式( 4 )を保存する実回転は(二重値の意味で)行列式が1のユニタリ行列に対応する。現代的な言葉で言えば、これは特殊ユニタリ群SU(2)をSO(3)の二重被覆として表す。結果として、スピノルエルミート積

すべての回転によって保存されるため、標準的です。

しかし、3次元空間上の内積の符号が不定（つまり、非退化だが正定値でもない）である場合、前述の分析はこれを反映するように調整されなければならない。3次元空間上の長さ形式が次のように与えられると仮定する。

次に、前のセクションのスピノルの構築が続行されますが、すべての式で が置き換えられます。この新しい規則により、実数ベクトルに関連付けられた行列自体が実数になります。 ${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{3}&x_{1}-x_{2}\\x_{1}+x_{2}&-x_{3}\end{matrix}}\right)}$。

形式（5）は、実回転（または反転）に対して不変ではなくなる。これは、（4′）を安定化する群がローレンツ群O（2,1）になったためである。代わりに、反エルミート形式

${\displaystyle \langle \mu |\xi \rangle ={\bar {\mu }}_{1}\xi _{2}-{\bar {\mu }}_{2}\xi _{1} }$

このメトリック署名のスピノルの適切な内積の概念を定義します。この形式は、O(2,1) の恒等式の連結成分の変換に対して不変です。

どちらの場合も、4次形式

${\displaystyle \langle \mu |\xi \rangle ^{2}={\hbox{length}}\left(Q({\bar {\mu }},\xi )\right)^{2}}$

は、O(3)（またはO(2,1)）の下で完全に不変である。ここで、Qは、前のセクションで説明したベクトル値の双線形形式である。これが2次不変量ではなく4次不変量であるという事実は、重要な結果をもたらす。特殊直交変換のグループに注意を限定すると、この形式の平方根を取って、スピノルとその双対を同一視することが一義的に可能である。表現論の言葉で言えば、これは、同型性を除いてSO(3)（またはSO(2,1)）の既約スピン表現が1つしかないことを意味する。しかし、反転（たとえば、平面での反射）も許される場合、反射の適用時に符号が変わるため、スピノルとその双対を同一視することはもはや不可能である。したがって、O(3)（またはO(2,1)）の既約スピン表現は2つあり、ピン表現と呼ばれることもある。

これら 2 つのシグネチャの違いは、スピノルの空間上の現実構造の概念によってコード化できます。非公式には、これはスピノルの複素共役を取るための規定ですが、スピノルの成分ごとの通常の共役とは一致しない場合があります。具体的には、現実構造は、それ自身との積が単位行列であるエルミート 2 × 2 行列Kによって指定されます。K ² = Id 。現実構造Kに関するスピノルの共役は、次のように定義されます。

${\displaystyle \xi ^{*}=K{\bar {\xi }}.}$

ベクトルの内積の特定の形式（例えば（４）または（４′））は、（係数−１までの）現実構造を決定する。

${\displaystyle {\bar {X}}=KXK\,}$X が実数ベクトルに関連付けられた行列である場合に限ります。

したがって、K = i C はユークリッド署名（4）の現実構造であり、K = Idは署名（ 4′ ）の現実構造である。現実構造がわかれば、次の結果が得られる。

• Xが実ベクトルに関連付けられた行列である場合、そしてその場合のみ、$${\displaystyle {\bar {X}}=KXK\,.}$$
• μ とξ がスピノルである場合、内積は適切な直交変換に対して不変なエルミート形式を決定します。$${\displaystyle \langle \mu |\xi \rangle =i\,^{t}\mu ^{*}C\xi }$$

多くの場合、物理学の学生が最初に遭遇するスピノルの例は、パウリの電子スピンの理論で使用される 2×1 スピノルです。パウリ行列は、スピン演算子 として使用される3 つの 2×2行列のベクトルです。

3 次元の単位ベクトル( a、b、c ) が与えられた場合、パウリのスピン行列とのドット積をとって、単位ベクトルの方向のスピンのスピン行列を取得します。

そのスピン行列の固有ベクトルは、ベクトルによって指定された方向に向いたスピン 1/2 のスピノルです。

例: u = (0.8, -0.6, 0) は単位ベクトルです。これにパウリスピン行列を点在させると、次の行列が得られます。

${\displaystyle S_{u}=(0.8,-0.6,0.0)\cdot {\vec {\sigma }}=0.8\sigma _{1}-0.6\sigma _{2}+0.0\sigma _{3}={\begin{bmatrix}0.0&0.8+0.6i\\0.8-0.6i&0.0\end{bmatrix}}}$

固有ベクトルは 線型代数の通常の方法で見つけることができますが、パウリのスピン行列は逆行列であること、つまり上記の行列の2乗が単位行列であることに注意すると便利です。

したがって、固有値が±1である固有ベクトル問題の（行列）解は、単に1 ± S _uとなる。つまり、

${\displaystyle S_{u}(1\pm S_{u})=\pm 1(1\pm S_{u})}$

選択された列がゼロでなければ、固有ベクトル行列の列のいずれかをベクトル解として選択できます。上記の最初の列を取ると、2 つの固有値の固有ベクトル解は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1.0+(0.0)\\0.0+(0.8-0.6i)\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1.0-(0.0)\\0.0-(0.8-0.6i)\end{bmatrix}}}$

固有ベクトルを見つけるために使用されるトリックは、イデアルの概念に関連しています 。つまり、行列の固有ベクトル (1 ± S _u )/2 は射影演算子またはべき等性であり、したがってそれぞれが パウリ代数のイデアルを生成します。同じトリックは、どのクリフォード代数でも機能しますが、特に以下で説明するディラック代数では機能します。これらの射影演算子は、純粋な密度行列の例である密度行列理論でも見られます。

より一般的には、（ a、b、c ）方向のスピンの射影演算子は次のように与えられる。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+c&a-ib\\a+ib&1-c\end{bmatrix}}}$

ゼロ以外の任意の列を射影演算子として使用できます。2 つの列は異なっているように見えますが、a ² + b ² + c ² = 1 を使用して、これらが同じスピノルの倍数 (ゼロの可能性もあります) であることを示すことができます。

原子物理学と量子力学では、スピンの特性が重要な役割を果たします。他の特性に加えて、すべての粒子は非古典的な特性、つまり従来の物理学ではまったく対応しない特性、つまりスピン（一種の固有角運動量）を持っています。位置表現では、スピンのない波動関数ψ = ψ ( r )の代わりに、スピンのある波動関数ψ = ψ ( r , σ ) になります。ここで、σ は次の離散的な値のセットを取ります。

${\displaystyle \sigma =-S\cdot \hbar ,-(S-1)\cdot \hbar ,...,+(S-1)\cdot \hbar ,+S\cdot \hbar }$。

粒子の全角運動量演算子は 、軌道角運動量（つまり、整数のみが許可されます）と固有部分 であるスピンの合計に対応します。ボソン（S = 0、±1、±2、...）とフェルミオン（S = ±1/2、± 3 /2、±5/2、...）を区別します。 ${\displaystyle {\vec {\mathbb {J} }}}$

• ブロッホ球
• パウリ方程式