ユークリッド空間

ユークリッド空間は幾何学の基本的な空間であり、物理的な空間を表すことを意図している。もともとユークリッドの『原論』ではユークリッド幾何学の3次元空間であったが、現代数学では任意の正の整数次元nのユークリッド空間があり、その次元を特定したいときはユークリッドn空間と呼ばれる。 ^[1] nが1または2の場合、それらは通常それぞれユークリッド直線およびユークリッド平面と呼ばれる。修飾語「ユークリッド」は、ユークリッド空間を、後に物理学や現代数学で考慮されるようになった他の空間と区別するために使用される。

古代ギリシャの幾何学者は、物理空間をモデル化するためにユークリッド空間を導入しました。彼らの研究は古代ギリシャの数学者ユークリッドの著書『原論』^[2]にまとめられており、その著書には、公理と呼ばれるいくつかの基本的な性質から始めて、空間のすべての性質を定理として証明するという大きな革新が含まれていました。 公理は、明らかであると考えられていたもの（たとえば、 2点を通る直線は1本だけである）か、証明不可能と思われたもの（平行線公理）でした。

19世紀末に非ユークリッド幾何学が導入された後、古い公理は公理理論を通じてユークリッド空間を定義するために再定式化されました。ベクトル空間と線型代数によるユークリッド空間の別の定義は、公理的な定義と同等であることが示されています。この定義は現代数学でより一般的に使用されており、この記事で詳しく説明されています。^[3]すべての定義において、ユークリッド空間は点で構成され、点はユークリッド空間を形成するために持たなければならない特性によってのみ定義されます。

本質的に、各次元のユークリッド空間は 1 つだけです。つまり、特定の次元のユークリッド空間はすべて同型です。したがって、通常は、または で示される特定のユークリッド空間を扱うことができます。この空間は、標準のドット積を備えた実数n空間として直交座標を使用して表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {E} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ユークリッド空間は、古代ギリシャ人によって、私たちの物理的空間を抽象化して導入されました。ユークリッドの『原論』に見られる彼らの偉大な革新は、いくつかの非常に基本的な性質から始めて、すべての幾何学を構築し証明したことでした。これらの性質は物理的世界から抽象化されており、より基本的なツールがないため数学的に証明することはできません。これらの性質は、公理、または現代の言葉で公理と呼ばれます。ユークリッド空間を定義するこの方法は、総合幾何学という名前で今でも使用されています。

1637 年、ルネ・デカルトは直交座標を導入し、これによって幾何学の問題を数値による代数計算に還元できることを示しました。幾何学を代数に還元することは、それまで実数が長さと距離で定義されていたこと を考えると、観点の大きな変化でした。

ユークリッド幾何学は19世紀まで3次元以上の空間には適用されていませんでした。ルートヴィヒ・シュレーフリは合成法と代数法の両方を用いてユークリッド幾何学をn次元の空間に一般化し、あらゆる次元のユークリッド空間に存在するすべての正多面体（プラトン立体の高次元類似体）を発見しました。^[4]

解析幾何学と呼ばれたデカルトのアプローチが広く使われていたにもかかわらず、ユークリッド空間の定義は 19 世紀末まで変更されませんでした。抽象ベクトル空間の導入により、純粋に代数的な定義でユークリッド空間を定義する際にそれらを使用できるようになりました。この新しい定義は、幾何学の公理の観点から古典的な定義と同等であることが示されています。現在、ユークリッド空間を導入するために最も頻繁に使用されているのはこの代数的定義です。

ユークリッド平面を考える方法の 1 つは、距離と角度で表現できる特定の関係を満たす点の集合と考えることです。たとえば、平面上では2 つの基本的な操作 (運動と呼ばれる ) があります。1 つは並進で、これは平面を移動して、すべての点が同じ方向に同じ距離だけ移動することを意味します。もう 1 つは平面上の固定点の周りの回転で、平面上のすべての点が同じ角度でその固定点の周りを回転します。ユークリッド幾何学の基本原則の 1 つは、平面上の2 つの図形(通常は部分集合と見なされる) は、ある一連の並進、回転、および反射によって一方が他方に変換できる場合、同等 (合同) であると見なすべきであるというものです(以下を参照)。

これらすべてを数学的に正確にするためには、理論はユークリッド空間とは何か、また距離、角度、平行移動、回転といった関連する概念を明確に定義する必要があります。物理理論で使用される場合でも、ユークリッド空間は実際の物理的な場所、特定の基準フレーム、測定機器などから切り離された抽象概念です。また、ユークリッド空間の純粋に数学的な定義は、長さやその他の物理的寸法の単位に関する問題も無視します。つまり、「数学的」空間の距離は数値であり、インチやメートルで表されるものではありません。

この記事の残りの部分で行われるように、ユークリッド空間を数学的に定義する標準的な方法は、実ベクトル空間が 作用する点の集合、つまり内積を備えた並進の空間として定義することです。^[1]並進の作用により、空間はアフィン空間になり、これにより、線、平面、部分空間、次元、平行性を定義できます。内積により、距離と角度を定義できます。

ドット積を備えた実数のn組の集合は、 n次元のユークリッド空間です。逆に、原点と呼ばれる点と、平行移動空間の正規直交基底を選択することは、 n次元のユークリッド空間とユークリッド空間として見たもの との間の同型性を定義することと同等です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

したがって、ユークリッド空間について言えることはすべて、 についても言えることになります。したがって、特に初級レベルの著者の多くは、n次元の標準ユークリッド空間を^[5]、または単にn次元のユークリッド空間と呼んでいます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ユークリッド空間のこのような抽象的な定義を導入し、の代わりに を使用する理由は、座標フリーかつ原点フリーな方法 (つまり、優先基底と優先原点を選択しない)で作業する方が望ましい場合が多いためです。もう 1 つの理由は、物理世界には標準の原点も標準の基底も存在しないことです。 ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

あユークリッドベクトル空間は実数上の有限次元内積空間。^[6]

ユークリッド空間は実数上のアフィン空間であり、それに対応するベクトル空間はユークリッドベクトル空間である。ユークリッド空間はユークリッドベクトル空間と区別するためにユークリッドアフィン空間と呼ばれることもある。 ^[6]

E がユークリッド空間である場合、それに関連付けられたベクトル空間 (ユークリッド ベクトル空間) は、ユークリッド空間の次元がそれに関連付けられたベクトル空間の次元であるとよく表されます。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}.}$

Eの要素は点と呼ばれ、通常は大文字で表記されます。 の要素はユークリッド ベクトルまたは自由ベクトルと呼ばれます。これらは変換とも呼ばれますが、正確に言えば、変換とはユークリッド空間に対するユークリッド ベクトルの 作用によって生じる幾何学的変換です。${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

点Pへの並進vの作用は、 P + vで表される点を与える。この作用は次式を満たす。

$${\displaystyle P+(v+w)=(P+v)+w.}$$

注:左辺の2 番目の+ はベクトルの加算です。他の+ はそれぞれ、点に対するベクトルの作用を表します。この表記は曖昧ではありません。+の 2 つの意味を区別するには、左引数の性質を見るだけで十分です。

作用が自由かつ推移的であるということは、すべての点のペア( P , Q )に対して、 P + v = Qとなる変位ベクトル vが 1 つだけ存在することを意味します。このベクトルvはQ − Pまたは${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}{\vphantom {\frac {)}{}}}.}$

前述のように、ユークリッド空間の基本的な性質のいくつかは、アフィン空間の構造から生じます。それらは、§ アフィン構造とそのサブセクションで説明されています。内積から生じる性質は、§ メトリック構造とそのサブセクションで説明されています。

任意のベクトル空間では、加法はベクトル空間自体に自由かつ推移的に作用します。したがって、ユークリッド ベクトル空間は、それ自身を関連するベクトル空間とするユークリッド空間として見ることができます。

ユークリッドベクトル空間の典型的な例は、内積としてドット積を備えたベクトル空間として見なされます。この特定のユークリッド空間の例の重要性は、すべてのユークリッド空間がこれに同型であるという事実にあります。より正確には、 n次元のユークリッド空間Eが与えられた場合、原点と呼ばれる点と の正規直交基底を選択すると、 Eからへのユークリッド空間の同型性が定義されます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

n次元のあらゆるユークリッド空間はこれに同型であるため、ユークリッド空間はn次元の標準ユークリッド空間と呼ばれることもある。^[5]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ユークリッド空間のいくつかの基本的な性質は、ユークリッド空間がアフィン空間であるという事実のみに依存します。これらはアフィン性質と呼ばれ、直線、部分空間、平行性の概念が含まれます。これらについては次のサブセクションで詳しく説明します。

E をユークリッド空間とそれに関連するベクトル空間とします。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

Eの平坦なユークリッド部分空間またはアフィン部分空間は、 Eの部分集合Fであって、

$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}={\Bigl \{}{\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} P\in F,Q\in F{\Bigr \}}{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

Fの付随ベクトル空間は の線型部分空間(ベクトル部分空間)であるため、ユークリッド部分空間Fは、付随ベクトル空間としてを持つユークリッド空間です。この線型部分空間はFの方向とも呼ばれます。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}.}$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$

PがFの点であるならば

$${\displaystyle F={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {F}}{\Bigr \}}.}$$

逆に、PがEの点であり、 Eの線型部分空間である場合、 ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$

$${\displaystyle P+{\overrightarrow {V}}={\Bigl \{}P+v\mathrel {\Big |} v\in {\overrightarrow {V}}{\Bigr \}}}$$

は方向 のユークリッド部分空間です。(この部分空間に関連するベクトル空間は です。) ${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {V}}}$

ユークリッドベクトル空間（つまり、 に等しいユークリッド空間）には、ユークリッド部分空間と線型部分空間の 2 種類の部分空間があります。線型部分空間はユークリッド部分空間であり、ユークリッド部分空間が線型部分空間となるのは、ゼロベクトルを含む場合のみです。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

ユークリッド空間では、直線は1次元のユークリッド部分空間である。1次元のベクトル空間は任意の非零ベクトルによって張られるので、直線は次の形式の集合である。

$${\displaystyle {\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} {\Bigr \}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

ここで、PとQ は、直線の一部であるユークリッド空間の 2 つの異なる点です。

したがって、2 つの異なる点を通過する (2 つの異なる点を含む) 直線は 1 本だけ存在します。これは、2 つの異なる直線が最大で 1 つの点で交差することを意味します。

PとQを通る直線のより対称的な表現は

$${\displaystyle {\Bigl \{}O+(1-\lambda ){\overrightarrow {OP}}+\lambda {\overrightarrow {OQ}}\mathrel {\Big |} \lambda \in \mathbb {R} { \Bigr \}}、{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

ここで、O は任意の点です (線上にある必要はありません)。

ユークリッドベクトル空間では、 Oには通常零ベクトルが選ばれる。これにより、前述の式は次のように簡略化される。

$${\displaystyle {\bigl \{}(1-\lambda )P+\lambda Q\mathrel {\big |} \lambda \in \mathbb {R} {\bigr \}}.}$$

標準的な規則により、この式をあらゆるユークリッド空間で使用することができます。アフィン空間 § アフィン組み合わせと重心を参照してください。

点Pと点Qを結ぶ線分、または単に線分は、前述の式において0 ≤ 𝜆 ≤ 1となる点の部分集合である。これはPQまたはQPと表記され、

$${\displaystyle PQ=QP={\Bigl \{}P+\lambda {\overrightarrow {PQ}}\mathrel {\Big |} 0\leq \lambda \leq 1{\Bigr \}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

ユークリッド空間内の同じ次元の2 つの部分空間SとTは、同じ方向 (つまり、同じ関連するベクトル空間) を持つ場合、平行です。 ^[a]同様に、一方を他方にマッピングする 変換ベクトルvがある場合、それらは平行です。

$${\displaystyle T=S+v.}$$

点Pと部分空間Sが与えられたとき、 P を含みSに平行な部分空間がちょうど 1 つ存在します。これは です。Sが直線 (次元 1 の部分空間)の場合、この性質はプレイフェアの公理です。 ${\displaystyle P+{\overrightarrow {S}}.}$

したがって、ユークリッド平面では、2 本の線は 1 点で交わるか、平行になります。

平行部分空間の概念は、異なる次元の部分空間に拡張されています。2 つの部分空間のうちの 1 つの方向がもう 1 つの方向に含まれている場合、それらの部分空間は平行です。

ユークリッド空間Eに付随するベクトル空間は内積空間である。これは対称双線型形式を意味する。${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {E}}\times {\overrightarrow {E}}&\to \mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto \langle x,y\rangle \end{aligned}}}$$

つまり、正定値です（つまり、x ≠ 0の場合は常に正です）。 ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$

ユークリッド空間の内積はドット積と呼ばれ、x ⋅ yと表記されることが多い。これは特に直交座標系が選択された場合であり、この場合、2 つのベクトルの内積はそれらの座標ベクトルのドット積となる。このため、および歴史的な理由から、ユークリッド空間の内積には括弧表記よりもドット表記の方が一般的に使用されている。この記事ではこの用法に従い、これ以降は x ⋅ yと表記する。${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

ベクトルxのユークリッドノルムは

$${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x\cdot x}}.}$$

内積とノルムにより、ユークリッド幾何学の計量的性質と位相的性質を表現し証明することができます。次のサブセクションでは、最も基本的なものについて説明します。これらのサブセクションでは、E は任意のユークリッド空間を表し、その並進のベクトル空間を表します。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

ユークリッド空間の2点間の距離（より正確にはユークリッド距離）は、1つの点を他の点に写す平行移動ベクトルのノルムで ある。つまり、

$${\displaystyle d(P,Q)={\Bigl \|}{\overrightarrow {PQ}}{\Bigr \|}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

線分PQの長さは、その端点PとQの間の距離d ( P , Q )です。これは、 と表記されることが多いです。 ${\displaystyle |PQ|}$

距離は、正定値、対称であり、三角不等式を満たすため、計量である。

$${\displaystyle d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q).}$$

さらに、等式は、点R が線分PQに属する場合にのみ真となります。この不等式は、三角形の任意の辺の長さが、他の辺の長さの合計よりも小さいことを意味します。これが、三角形の不等式という用語の由来です。

ユークリッド距離により、すべてのユークリッド空間は完全な距離空間になります。

ユークリッド空間Eの付随ベクトル空間の2 つの非ゼロベクトルuとvは、その内積がゼロである場合に、 垂直または直交します。${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

$${\displaystyle u\cdot v=0}$$

の 2 つの線形部分空間は、最初の部分空間のすべての非ゼロ ベクトルが 2 番目の部分空間のすべての非ゼロ ベクトルに垂直である場合に直交します。これは、線形部分空間の交差がゼロ ベクトルに縮小されることを意味します。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

2 本の直線、より一般的には 2 つのユークリッド部分空間 (1 本の直線は 1 つのユークリッド部分空間とみなすことができます) は、それらの方向 (ユークリッド部分空間に関連付けられたベクトル空間) が直交する場合に直交します。交差する 2 本の直交直線は、垂直であるといわれます。

共通の端点A を共有する2 つの線分ABとAC は、ベクトルとが直交する場合、垂直または直角を形成します。 ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {)}{}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}{\vphantom {\frac {)}{}}}}$

ABとACが直角を形成する 場合、

$${\displaystyle |BC|^{2}=|AB|^{2}+|AC|^{2}.}$$

これはピタゴラスの定理です。この文脈では証明は簡単で、これを内積で表現すると、内積の双線性と対称性を使用して次の式が得られます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}|BC|^{2}&={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {BC}}{\vphantom {\frac {(}{}}}\\[2mu]&={\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\cdot {\Bigl (}{\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}{\Bigr )}\\[4mu]&={\overrightarrow {BA}}\cdot {\overrightarrow {BA}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\\[6mu]&=|AB|^{2}+|AC|^{2}.\end{aligned}}}$$

ここでは、これら 2 つのベクトルは直交しているため、が使用されます。 ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0{\vphantom {\frac {(}{}}}}$

2つの非ゼロベクトルxとyの間の（無指向の）角度 θは、 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

$${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {x\cdot y}{|x|\,|y|}}\right)}$$

ここで、arccosは逆余弦関数の主値です。コーシー・シュワルツの不等式により、逆余弦の引数は区間[−1, 1]内にあります。したがって、θは実数で、0 ≤ θ ≤ π（角度が度単位で測定されている場合は0 ≤ θ ≤ 180）です。

角度は 0 またはπのみとなるため、ユークリッド直線では役に立ちません。

方向付けられたユークリッド平面では、 2 つのベクトルの方向角を定義できます。2 つのベクトルxとyの方向角は、 yとxの方向角の反対になります。この場合、2 つのベクトルの角度は、2 πの整数倍を法とする任意の値を取ることができます。特に、反射角π < θ < 2 πは、負の角度− π < θ − 2 π < 0に等しくなります。

2つのベクトルの角度は、正の数を掛けても変化しません。より正確には、xとyが2つのベクトルで、λとμが実数である場合、

$${\displaystyle \operatorname {angle} (\lambda x,\mu y)={\begin{cases}\operatorname {angle} (x,y)\qquad \qquad {\text{if }}\lambda {\text{ and }}\mu {\text{ have the same sign}}\\\pi -\operatorname {angle} (x,y)\qquad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

A、B、Cがユークリッド空間の 3 つの点である場合、線分ABとACの角度はベクトルと の角度です。ベクトルに正の数を掛けても角度は変わらないため、始点A を持つ 2 つの半直線の角度を定義できます。これは、線分 AB と AC の角度です。ここで、 B と C は、各半直線上の任意の点です。あまり使用されませんが、始点を共有しない線分または半直線の角度を同様に定義できます。 ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}{\vphantom {\frac {(}{}}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$

2 本の直線の角度は次のように定義されます。θ が各直線上にある 2 つの線分の角度である場合、各直線上にある他の 2 つの線分の角度はθまたはπ − θ のいずれかです。これらの角度の 1 つは区間 [0, π /2]にあり、もう 1 つは[ π /2, π ]にあります。2本の直線の無指向角度は区間[0, π /2]にある角度です。有向ユークリッド平面では、 2 本の直線の有向角度は区間[− π /2, π /2]に属します。

すべてのユークリッドベクトル空間には正規直交基底（実際には、1 より高い次元では無限に多く、1 次元では 2 つ）があり、これはi ≠ jに対して2 対直交する単位ベクトル（ ）の基底 です。より正確には、任意の基底が与えられた場合、グラム・シュミット過程は、すべてのiに対して、との線形範囲が等しい正規直交基底を計算します。^[7]${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$${\displaystyle \|e_{i}\|=1}$${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=0}$ ${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{n}),}$${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{i})}$${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{i})}$

ユークリッド空間Eが与えられた場合、直交フレームは、の正規直交基底とEの点（原点と呼ばれ、多くの場合Oと表記される）で構成されるデータのセットです。直交フレームを使用すると、 Eとの両方の直交座標を次の方法で定義できます。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$${\displaystyle (O,e_{1},\dots ,e_{n})}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

のベクトルvの直交座標は、正規直交基底上のvの係数である。例えば、3次元ユークリッド空間における正規直交基底（慣例的に と名付けられる）上のベクトルの直交座標は、の場合である。基底が正規直交であるため、i番目の係数はドット積に等しい。${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}.}$${\displaystyle v}$${\displaystyle (e_{1},e_{2},e_{3})}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$${\displaystyle v=\alpha _{1}e_{1}+\alpha _{2}e_{2}+\alpha _{3}e_{3}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle v\cdot e_{i}.}$

Eの点Pの直交座標はベクトルの直交座標である。${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.{\vphantom {\frac {(}{}}}}$

ユークリッド空間はアフィン空間なので、その上にアフィンフレームを考えることができます。アフィンフレームは、基底が正規直交である必要がないことを除いて、ユークリッドフレームと同じです。これにより、アフィン座標が定義されます。これは、基底ベクトルが対直交ではないことを強調するために 、スキュー座標と呼ばれることもあります。

n次元のユークリッド空間のアフィン基底は、超平面に含まれないn + 1個の点の集合です。アフィン基底は、すべての点の重心座標を定義します。

次元nのユークリッド空間E上では、他の多くの座標系を次のように定義できます。f をEの稠密な開部分集合から の開部分集合への同相写像(または、より一般的には微分同相写像)とします。Eの点xの座標は、 f ( x )の成分です。極座標系(次元 2) と球面座標系および円筒座標系 (次元 3) は、このように定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

fの定義域外にある点については、座標は近傍点の座標の極限として定義されることがあります。ただし、これらの座標は一意に定義されず、点の近傍で連続しない場合があります。たとえば、球面座標系では、経度は極で定義されず、反子午線上では経度は -180° から +180° まで不連続になります。

この座標の定義方法は、他の数学的構造、特に多様体に簡単に拡張できます。

2つの距離空間間の等長写像は距離[ ^{b]を保存する}全単射であり、

$${\displaystyle d(f(x),f(y))=d(x,y).}$$

ユークリッドベクトル空間の場合、原点を原点に写す等長写像はノルムを保存する。

$${\displaystyle \|f(x)\|=\|x\|,}$$

ベクトルのノルムは零ベクトルからの距離である。また、内積も保存される。

$${\displaystyle f(x)\cdot f(y)=x\cdot y,}$$

以来

$${\displaystyle x\cdot y={\tfrac {1}{2}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\right).}$$

ユークリッドベクトル空間の等長写像は線型同型である。^{[c] [8]}

ユークリッド空間の等長写像は、関連するユークリッドベクトル空間の等長写像を定義する。これは、2つの等長ユークリッド空間が同じ次元を持つことを意味する。逆に、 EとFがユークリッド空間、O ∈ E、O ′ ∈ F、が等長写像である場合、次のように定義される 写像は${\displaystyle f\colon E\to F}$${\displaystyle {\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}}$${\displaystyle f\colon E\to F}$

$${\displaystyle f(P)=O'+{\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr )}{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

ユークリッド空間の等長写像です。

前述の結果から、ユークリッド空間の等長変換は直線を直線に、より一般的にはユークリッド部分空間を同じ次元のユークリッド部分空間に写像し、これらの部分空間に対する等長変換の制限はこれらの部分空間の等長変換であることが分かります。

Eがユークリッド空間である場合、それに関連するベクトル空間はユークリッド空間とみなすことができます。すべての点O ∈ Eはユークリッド空間の等長変換を定義します。 ${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

$${\displaystyle P\mapsto {\overrightarrow {OP}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

これはOを零ベクトルに写像し、関連する線型写像として恒等写像を持つ。逆等長写像は

$${\displaystyle v\mapsto O+v.}$$

ユークリッド${\displaystyle (O,e_{1},\dots ,e_{n})}$フレームは地図を定義することが できる

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&\to \mathbb {R} ^{n}\\P&\mapsto {\Bigl (}e_{1}\cdot {\overrightarrow {OP}},\dots ,e_{n}\cdot {\overrightarrow {OP}}{\Bigr )},{\vphantom {\frac {(}{}}}\end{aligned}}}$$

これはユークリッド空間の等長写像である。逆等長写像は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {R} ^{n}&\to E\\(x_{1}\dots ,x_{n})&\mapsto \left(O+x_{1}e_{1}+\dots +x_{n}e_{n}\right).\end{aligned}}}$$

これは、同型性を除いて、与えられた次元のユークリッド空間が正確に 1 つ存在することを意味します。

これは、多くの著者がn次元のユークリッド空間として語っていることを正当化します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ユークリッド空間からそれ自身への等長変換は、ユークリッド等長変換、ユークリッド変換、または剛体変換と呼ばれます。ユークリッド空間の剛体変換は、（合成の下で）群を形成します。この群はユークリッド群と呼ばれ、しばしばISO( n )のE( n )と表記されます。

最も単純なユークリッド変換は平行移動である

$${\displaystyle P\to P+v.}$$

これらはベクトルと全単射に対応しています。これが、並進空間をユークリッド空間に関連付けられたベクトル空間と呼ぶ理由です。並進はユークリッド群の 正規部分群を形成します。

ユークリッド空間Eのユークリッド等長写像fは、関連するベクトル空間の線型等長写像（線型等長写像とは、線型写像でもある等長写像を意味する）を次のように定義する：ベクトルをQ – Pで表すと、 O がEの任意の点である場合、 ${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}},{\vphantom {\frac {(}{}}}}$

$${\displaystyle {\overrightarrow {f}}{\Bigl (}{\overrightarrow {OP}}{\Bigr )}=f(P)-f(O).{\vphantom {\frac {(}{}}}}$$

これはOの選択に依存しない線形マップであることを証明するのは簡単です。

この写像は、ユークリッド群から直交群と呼ばれる線型等長写像の群への群準同型写像である。この準同型の核は並進群であり、これがユークリッド群の正規部分群であることを示す。 ${\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}}$

与えられた点P を固定する等長写像は、Pに関するユークリッド群の安定化部分群を形成します。上記の群準同型のこの安定化部分群への制限は同型写像です。したがって、与えられた点を固定する等長写像は、直交群に同型の群を形成します。

P を点、f を等長変換、t をPをf ( P )に写す変換とします。等長変換によりP は固定されます。したがって、ユークリッド群は変換群と直交群の半直積です。${\displaystyle g=t^{-1}\circ f}$${\displaystyle f=t\circ g,}$

特殊直交群は、左右性を保存する直交群の正規部分群である。これは直交群の指数2 の部分群である。群準同型によるその逆像は、ユークリッド群の指数 2 の正規部分群であり、特殊ユークリッド群または変位群と呼ばれる。その要素は、剛体運動または変位と呼ばれる。 ${\displaystyle f\to {\overrightarrow {f}}}$

剛体運動には、恒等運動、並進運動、回転運動（少なくとも 1 つの点を固定する剛体運動）、およびねじり運動が含まれます。

剛体運動ではない剛体変換の典型的な例は反射であり、これは超平面を固定し恒等変換ではない剛体変換です。また、これはユークリッドフレーム上の 1 つの座標の符号を変更する変換でもあります。

特殊ユークリッド群はユークリッド群の指数 2 の部分群であるため、反射rが与えられると、剛体運動ではないすべての剛体変換はrと剛体運動の積になります。すべり反射は、剛体運動でも反射でもない剛体変換の例です。

このセクションで検討したすべてのグループは、リー群と代数群です。

ユークリッド距離により、ユークリッド空間は距離空間になり、したがって位相空間になります。この位相はユークリッド位相と呼ばれます。この位相の場合、積位相でもあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

開集合は、各点の周りに開球を含む部分集合です。言い換えると、開球は位相の基底を形成します。

ユークリッド空間の位相次元はその次元に等しい。これは、異なる次元のユークリッド空間は同相ではないことを意味する。さらに、領域の不変性の定理は、ユークリッド空間の部分集合が（部分空間位相に対して）開集合であるためには、それが同じ次元のユークリッド空間の開部分集合に同相である必要があることを主張している。

ユークリッド空間は完全かつ局所コンパクトです。つまり、ユークリッド空間の閉じた部分集合は、それが有界である場合（つまり、球体に含まれる場合）、コンパクトです。特に、閉じた球体はコンパクトです。

この記事で説明されているユークリッド空間の定義は、ユークリッドのものと根本的に異なります。実際には、ユークリッドは空間を正式に定義しませんでした。なぜなら、空間は人間の精神とは独立して存在する物理的世界の説明であると考えられていたからです。正式な定義の必要性は、19 世紀末に非ユークリッド幾何学が導入されて初めて現れました。

2 つの異なるアプローチが使用されています。フェリックス・クラインは、対称性を通じて幾何学を定義することを提案しました。この記事で示されているユークリッド空間の表現は、基本的に彼のエアランゲン プログラムから派生したもので、平行移動と等長変換のグループに重点が置かれています。

一方、デイヴィッド・ヒルベルトはユークリッドの公準にヒントを得て、一連の公理を提唱した。これらは実数の定義を一切含まないため、総合幾何学に属する。後に、GDバーコフとアルフレッド・タルスキは、実数を使用するより単純な公理を提唱した（バーコフの公理とタルスキの公理を参照）。

エミール・アルティンは『幾何代数』の中で、ユークリッド空間のこれらすべての定義が同値であることを証明した。^[9]ユークリッド空間のすべての定義がヒルベルトの公理を満たし、実数を含む定義（上記の定義を含む）が同値であることを証明するのはかなり簡単である。アルティンの証明の難しい部分は以下の通りである。ヒルベルトの公理では、合同は線分の同値関係である。したがって、線分の長さをその同値類として定義することができる。したがって、この長さが非負の実数を特徴付ける性質を満たすことを証明しなければならない。アルティンはヒルベルトの公理と同値の公理を使ってこれを証明した。

ユークリッド空間は、古代ギリシャ時代から、物理世界の形状をモデル化するために使用されてきました。そのため、物理学、力学、天文学など、多くの科学で使用されています。また、建築、測地学、地形学、航海、工業デザイン、製図など、形状、図、場所、位置に関わるすべての技術分野で広く使用されています。

3 次元を超える空間は、いくつかの現代物理学理論に登場します。高次元を参照してください。また、物理システムの構成空間にも登場します。

ユークリッド幾何学のほかに、ユークリッド空間は数学の他の分野でも広く使用されています。微分可能多様体の接空間はユークリッドベクトル空間です。より一般的には、多様体とは、ユークリッド空間によって局所的に近似される空間です。ほとんどの非ユークリッド幾何学は、多様体によってモデル化でき、より高次元のユークリッド空間に埋め込むことができます。たとえば、楕円空間は楕円体によってモデル化できます。ユークリッド空間では、先験的に幾何学的性質を持たない数学的対象を表現することが一般的です。多くの例の1つは、通常のグラフの表現です。

19 世紀末に非ユークリッド幾何学が導入されて以来、ユークリッド空間と同じように幾何学的推論を行うことができる多くの種類の空間が検討されてきた。一般に、それらはユークリッド空間といくつかの特性を共有しているが、かなり奇妙に見える特性を持つこともある。これらの空間のいくつかは、その定義にユークリッド幾何学を使用しているか、またはより高次元のユークリッド空間の部分空間としてモデル化することができる。そのような空間が幾何学的公理によって定義されている場合、その空間をユークリッド空間に埋め込むことは、その定義の一貫性を証明する標準的な方法であり、より正確には、ユークリッド幾何学が一貫している場合 (これは証明できない)、その理論が一貫していることを証明するための標準的な方法である。

ユークリッド空間は、計量を備えたアフィン空間です。アフィン空間は数学において他の多くの用途があります。特に、任意の体 上で定義されるため、他のコンテキストで幾何学を行うことができます。

非線形の問題を検討する際には、複素数上のアフィン空間をユークリッド空間の拡張として考えることが一般的に有用です。たとえば、円と直線は、複素アフィン空間に常に 2 つの交点 (異なる可能性もある) を持ちます。したがって、代数幾何学のほとんどは、複素アフィン空間と代数的に閉じた体上のアフィン空間で構築されます。したがって、これらのアフィン空間で代数幾何学で研究される図形は、アフィン代数多様体と呼ばれます。

有理数上のアフィン空間、より一般的には代数体上のアフィン空間は、（代数）幾何学と数論を結び付ける。例えば、フェルマーの最終定理は、「2 より高い次数のフェルマー曲線は、有理数上のアフィン平面に点を持たない」 と述べることができる。

有限体上のアフィン空間における幾何学も広く研究されてきました。例えば、有限体上の楕円曲線は暗号学で広く使われています。

もともと、射影空間は、ユークリッド空間、より一般的にはアフィン空間に「無限遠点」を追加することによって導入され、「2 本の共平面線は正確に 1 点で交わる」という主張を成立させました。射影空間は、ユークリッド空間やアフィン空間と同様に、等方性という特性を持っています。つまり、2 点または 2 本の線を区別できる空間の特性はありません。したがって、より等方的な定義が一般的に使用されており、これは、射影空間を1 次元以上のベクトル空間のベクトル線の集合として定義することから成ります。

アフィン空間に関しては、射影空間は任意の体上で定義され、代数幾何学の基本空間です。

非ユークリッド幾何学は、通常、平行線公理が偽である幾何学的空間を指します。これには、三角形の角度の合計が 180° を超える楕円幾何学や、この合計が 180° 未満の双曲幾何学が含まれます。19 世紀後半のこれらの幾何学の導入と、その理論が一貫していることの証明 (ユークリッド幾何学が矛盾でない場合) は、20 世紀初頭の数学の基礎的危機の起源にあるパラドックスの 1 つであり、数学における公理理論の体系化の動機となりました。

多様体とは、各点の近傍がユークリッド空間に似ている空間のことです。専門用語では、多様体は位相空間であり、各点の近傍はユークリッド空間の開集合に同相です。多様体は、この「類似性」の度合いに応じて、位相多様体、微分可能多様体、滑らかな多様体、解析多様体に分類できます。ただし、これらのタイプの「類似性」はどれも、近似値であっても距離や角度を考慮しません。

滑らかな多様体上の距離と角度は、多様体の点における接空間(したがって、これらの接空間はユークリッド ベクトル空間です) に滑らかに変化するユークリッド計量を与えることによって定義できます。これにより、リーマン多様体が生成されます。一般に、リーマン多様体には直線は存在しませんが、2 点間の「最短経路」である測地線がその役割を果たします。これにより、測地線に沿って測定される距離と、測地線間の角度 (測地線の交点における接空間の接線の角度) を定義できます。したがって、リーマン多様体は、局所的には曲げられたユークリッド空間のように動作します。

ユークリッド空間は、自明にリーマン多様体です。これをよく示す例として、球面があります。この場合、測地線は大円の弧であり、航海の文脈では正測線と呼ばれます。より一般的には、非ユークリッド幾何学の空間は、リーマン多様体として実現できます。

実ベクトル空間の内積は正定値双線型形式 であり、したがって正定値二次形式によって特徴付けられます。擬ユークリッド空間は、非退化 二次形式（不定値の場合もある） を備えた実ベクトル空間が関連付けられたアフィン空間です。

そのような空間の基本的な例としては、アインシュタインの特殊相対論の時空であるミンコフスキー空間が挙げられる。これは4次元空間であり、計量は2次形式によって定義される。

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},}$$

ここで、最後の座標 ( t ) は時間座標であり、他の 3 つ ( x、y、z ) は空間座標です。

一般相対性理論では、重力を考慮するために、接空間としてミンコフスキー空間を持つ擬似リーマン多様体を使用します。この多様体のある点における曲率は、その点における重力場の値の関数です。

• ヒルベルト空間は、関数解析で使用される無限 次元への一般化である。
• 位置空間、物理学への応用

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