対称関係

対称関係は二項関係の一種である。正式には、集合X上の二項関係Rが対称的であるとは、次の場合である: ^[1]

\forall a,b\in X(aRb\Leftrightarrow bRa),

ここでaRbという表記は( a , b )∈Rを意味します。

一例としては、「等しい」という関係が挙げられます。なぜなら、a = bが真であれば、b = aも真となるからです。R ^{T が}Rの逆を表す場合、R はR = R ^Tの場合にのみ対称となります。^[2]

対称性は、反射性および推移性とともに、同値関係を定義する3つの特性です。^[1]

例

定義により、空でない関係は対称と非対称の両方になることはできません(つまり、a がbと関連している場合、b はaと (同じように) 関連付けられません)。ただし、関係は対称でも非対称でもない可能性があり、これは「以下」や「捕食する」の場合に当てはまります)。

これらの例が示すように、対称と反対称( a がbに関連し、b がaに関連できる唯一の方法はa = bの場合) は実際には互いに独立しています。

対称的かつ推移的な関係は常に準反射的である。^[a]
n個の要素の対称関係を数える一つの方法は、それらの二進行列表現において右上の三角形が関係を完全に決定し、それが任意に与えられるということである。したがって、対称関係はn × n二進上三角行列の数と同じ数、つまり^{2n ( n +1)/2}存在する。^[3]

S ( n , k )は第2種スターリング数を指すことに注意してください。