ルベーグ積分

数学において、一変数の非負関数の積分は、最も単純な場合、その関数のグラフとx軸の間の面積とみなすことができます。フランスの数学者アンリ・ルベーグにちなんで名付けられたルベーグ積分は、この概念を厳密にし、より一般的な関数に拡張する一つの方法です。

ルベーグ積分は、 20世紀前半以降、数学解析においてリーマン積分に取って代わったリーマン積分よりも一般的です。リーマン積分では扱いにくい、多くの応用分野で生じる不連続性を持つ関数にも対応できます。また、ルベーグ積分は一般的に解析的な性質も優れています。例えば、緩やかな条件下では、ルベーグ積分と極限を交換することが可能ですが、リーマン積分でこれを行うための条件は比較的厳しくなります。さらに、ルベーグ積分は、確率論などで現れるような、より一般的な空間、すなわち測度空間へと容易に一般化できます。

ルベーグ積分という用語は、ルベーグによって導入された、一般測度に関する関数の積分に関する一般理論、または、実数直線の部分領域で定義された関数のルベーグ測度に関する積分という特定の場合のいずれかを意味する。

正の実関数fの境界aとbの間の積分は、fのグラフのaとbの間の面積として解釈できます。この面積の概念は、多項式などの基本関数を含む、区分的に連続な関数など、いくつかの関数に適合します。しかし、ディリクレ関数などの他の関数のグラフは、面積の概念にうまく適合しません。後者のようなグラフは、「どのクラスの関数に対して『曲線下の面積』が意味を持つのか？」という疑問を提起します。この疑問への答えは、理論的に非常に重要です。

19世紀における数学の厳密性向上への一般的な動きの一環として、数学者たちは積分計算を確固たる基礎の上に築こうと試みた。ベルンハルト・リーマン（1826～1866）によって提唱されたリーマン積分は、そのような基礎を提供する試みとして広く成功を収めたものである。リーマンの定義は、与えられた関数の積分に収束する、計算が容易な一連の面積を構成することから始まる。この定義は、既に解決済みの多くの問題に対して期待される答えを与え、他の多くの問題に対しても有用な結果をもたらすという意味で成功している。

しかし、リーマン積分は関数列の極限を取ることとうまく相互作用しないため、そのような極限操作の解析が困難になります。これは、例えばフーリエ級数、フーリエ変換、その他のトピックの研究において重要です。ルベーグ積分は、積分記号の下で極限を取ることがいつどのように可能かをより適切に記述します（単調収束定理と優収束定理を介して）。

リーマン積分は曲線の下の面積を垂直な長方形で構成されているとみなすのに対し、ルベーグ積分は必ずしも長方形ではない水平な平板で構成されているとみなすため、より柔軟性があります。このため、ルベーグ積分ではより広いクラスの関数の積分を計算することができます。例えば、引数が有理数の場合は1、それ以外の場合は0 となるディリクレ関数は、ルベーグ積分を持ちますが、リーマン積分は持ちません。さらに、この関数のルベーグ積分はゼロであり、これは単位区間から実数を一様にランダムに選択する場合、有理数を選択する確率はゼロであるという直感と一致します。

ルベーグはポール・モンテルへの手紙の中で、統合に対する自身の考え方を次のように要約している。

私はポケットに集めた一定額を支払わなければなりません。ポケットから紙幣と硬貨を取り出し、見つけた順に債権者に渡して、合計金額に達するまで続けます。これがリーマン積分です。しかし、別の方法もあります。ポケットからすべてのお金を取り出した後、同じ額面の紙幣と硬貨を並べ、いくつかの山を順番に債権者に支払います。これが私の積分です。

重要なのは、積分値を維持しながら、関数の値を自由に並べ替えることができるようにすることである。この並べ替えのプロセスによって、非常に特殊な関数を積分の観点から「扱いやすい」関数に変換することができ、それによって、そのような特殊な関数を積分することが可能になる。

直感的な解釈

フォランド（1999）は、リーマン積分とルベーグ積分の違いを次のように要約しています。「fのリーマン積分を計算するには、定義域[ a , b ]を小区間に分割する」のに対し、ルベーグ積分では、「実際にはfの値域を分割している」のです。

リーマン積分では、定義域を区間に分割し、グラフの高さに合わせて棒グラフを作成します。これらの棒グラフの面積を合計することで、積分を近似します。これは実質的に、f ( x )を長方形の高さ、dxをその幅としたときのf ( x ) dxの形の面積を合計することによって行われます。

ルベーグ積分では、値域は区間に分割されるため、グラフの下の領域は水平方向の「平板」（連結集合ではない場合もある）に分割されます。関数fのグラフの下にある高さdyの小さな水平方向の「平板」の面積は、平板の幅にdyを掛けた値に等しくなります。 $${\displaystyle \mu \left(\{x\mid f(x)>y\}\right)\,dy.}$$ ルベーグ積分は、これらの水平な平板の面積を合計することによって定義できます。この観点から見ると、リーマン積分との重要な違いは、「平板」がもはや長方形（2つの区間の直積）ではなく、可測集合と区間の直積であるということです。

シンプルな機能

ルベーグ積分を導入する同等の方法として、リーマン積分の階段関数を一般化したいわゆる単純関数を用いる方法がある。例えば、各日の症例数を平滑化したグラフからCOVID-19の累積症例数を求める場合を考えてみよう（右図）。

リーマン・ダルブー法

対象領域（期間）を複数の区間（この例では8つ）に分割し、グラフの形状に合う高さの棒グラフを作成します。累積件数は、すべての棒グラフについて、区間幅（日数）と棒グラフの高さ（1日あたりの症例数）の積を合計することで求められます。

ルベーグのアプローチ

関数の範囲内で、有限個の目標値（例では8個）を選択します。これらの値と同じ高さで、関数より下の位置に棒グラフを作成することで、定義域が同じ数のサブセットに分割されていることを示します（例では色で示されているサブセットは、必ずしも接続されている必要はありません）。これは、後述する「単純な関数」です。累積数は、定義域のすべてのサブセットについて、そのサブセットの測定値（日数で表した合計時間）と棒グラフの高さ（1日あたりの症例数）の積を合計することで求められます。

ルベーグ積分の理論には、可測集合とその集合上の測度の理論、および可測関数とその関数上の積分の理論が必要となる。

シンプルな関数を介して

ルベーグ積分を構成する一つの方法は、いわゆる単純関数、すなわち指示関数の有限な実数線形結合を利用することです。与えられた関数fの真下にある単純関数は、fの値域を有限個の層に分割することによって構成できます。f のグラフと層の交点は、 fの定義域内の区間の集合を識別し、これらをまとめて、単純関数によるその層の下限の逆像として定義します。このようにして、fの値域の分割は、その定義域の分割を意味します。単純関数の積分は、これらの（必ずしも連結しているわけではない）定義域の部分集合について、部分集合の測度と単純関数による像（対応する層の下限）の積を合計することによって求められます。直感的には、この積は同じ高さのすべての棒の面積の合計です。非負の一般可測関数の積分は、単純関数による近似の適切な上限として定義され、(必ずしも正ではない)可測関数の積分は、2 つの非負可測関数の積分の差として定義される。^{[ 1 ]}

インジケーター機能

与えられた尺度μと整合する、可測集合Sの_指示関数1Sの積分に値を割り当てるには、次のように設定するのが唯一妥当な選択肢である。 $${\displaystyle \int 1_{S}\,d\mu =\mu (S).}$$

μが有限測度でない限り、結果は+∞になる可能性があることに注意してください。

シンプルな機能

指示関数の 有限線形結合$${\displaystyle \sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$ ここで、係数a _kは実数であり、S _kは互いに素な可測集合である。 は可測単純関数と呼ばれる。線形性による積分を非負の可測単純関数に拡張する。係数a _kが正の場合、 と設定する。 $${\displaystyle \int \left(\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}\right)\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k})}$$ この和が有限か+∞かは関係ありません。単純な関数は指示関数の線形結合としてさまざまな方法で記述できますが、尺度の加法性により積分は同じになります。

実数値の単純な関数の積分を定義する際には、未定義の式∞ − ∞を避けるために注意が必要です。表現が $${\displaystyle f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$a _k ≠ 0のとき、μ ( S _k ) < ∞ となる。この場合、 fの積分の上記の公式は意味を持ち、結果は仮定を満たすfの特定の表現に依存しない。 ^{[ 2 ]} (重要なのは、表現が有限の線形結合であること、つまりk が有限個の値しか取らないことである。)

BがEの可測部分集合であり、sが可測単純関数である 場合、次のように定義する。$${\displaystyle \int _{B}s\,\mathrm {d} \mu =\int 1_{B}\,s\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}\cap B)。}$$

非負関数

f をE上の非負可測関数とし、f が+∞ の値を取ることを許容する。言い換えれば、f は拡張実数直線上で非負の値を取る。 $${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\ s\ {\text{simple}}\,\right\}.}$$

Eが区間[ a , b ]である場合、この積分が単純関数の集合上で定義された前の積分と一致することを示す必要があります。また、これがリーマン積分の概念に何らかの形で対応するかどうかも問題となります。どちらの質問にも「はい」と答えることができることを証明できます。

E上の任意の非負拡張実数値可測関数fの積分を定義しました。いくつかの関数では、この積分は${\textstyle \int _{E}f\,d\mu }$無限です。

ルベーグ積分をよく近似する特定の単純関数列（リーマン和に類似）があると便利な場合が多い。非負の可測関数fに対して、k /2 ⁿ ≤ f ( x ) < ( k + 1)/2 ⁿのとき値がk /2 ⁿとなる単純関数をs _n ( x )とする。ここでkは、例えば4 ⁿより小さい非負の整数である。すると、次のことが直接証明できる。 $${\displaystyle \int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int s_{n}\,d\mu }$$ そして、右辺の極限が拡張された実数として存在することを示す。これは、単純な関数を用いたルベーグ積分へのアプローチと、値域の分割を用いたルベーグ積分の動機との間のつながりを繋ぐものである。

符号付き関数

符号付き関数を扱うには、さらにいくつかの定義が必要です。fが集合Eから実数 ( ±∞を含む) への可測関数である場合、次のように書くことができます。 $${\displaystyle f=f^{+}-f^{-},}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}(x)&={\begin{cases}f(x){\hphantom {-}}&{\text{if }}f(x)>0,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}\\f^{-}(x)&={\begin{cases}-f(x)&{\text{if }}f(x)<0,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

f ⁺とf ⁻はどちらも非負の可測関数であることに注意してください。また、 $${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$$

可測関数fのルベーグ積分が存在する、または定義されているとは、少なくとも次の 1 つが成り立つ場合をいう。${\textstyle \int f^{+}\,d\mu }$そして${\textstyle \int f^{-}\,d\mu }$有限である： $${\displaystyle \min \left(\int f^{+}\,d\mu ,\int f^{-}\,d\mu \right)<\infty .}$$

この場合、以下のように定義します。$${\displaystyle \int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .}$$

もし $${\displaystyle \int |f|\,\mathrm {d} \mu <\infty ,}$$fはルベーグ積分可能である と言います。つまり、fは空間L ¹に属します。^{[ 3 ]}

この定義によって、積分の望ましい性質が得られることがわかった。

有理数の指示関数1 _Q（ディリクレ関数とも呼ばれる）を考えます。この関数はどこでも連続ではありません。

• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$[ 0, 1 ]上でリーマン積分可能ではない：集合[ 0, 1 ]をどのように小区間に分割しても、実数では有理数と無理数はどちらも稠密であるため、各分割には少なくとも 1 つの有理数と少なくとも 1 つの無理数が含まれる。したがって、上側のダルブー和はすべて 1 であり、下側のダルブー和はすべて 0 である。
• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$はルベーグ測度を用いて[ 0, 1 ]上でルベーグ積分可能である。実際、これは有理数の指示関数であるため、定義により$${\displaystyle \int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0,}$$Qは可算集合だから。

ルベーグ積分における技術的な問題点は、積分領域が（測度空間の部分集合として）定義され、向きの概念がないことである。初等微積分では、積分は向きに関して定義される。 $${\displaystyle \int _{b}^{a}f=-\int _{a}^{b}f.}$$ これを高次元に一般化すると、多様体上の微分形式の積分が得られ、微積分学の基本定理の一般化としてストークスの定理が得られます。対照的に、ルベーグ積分は、測度に関する部分集合上の積分という別の一般化を提供します。これは次のように表記できます。 $${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$$部分集合A 上の積分を示す。これらの一般化の関係の詳細については、「微分形式 § 測度との関係」を参照。これらのアイデアを結びつける主な理論は、ジョルジュ・ド・ラムとハスラー・ホイットニーによって開拓されたホモロジー積分（幾何積分理論と呼ばれることもある）である。^{[ 8 ]}

フーリエ級数の出現により、積分を含む多くの解析問題が生じ、その満足のいく解決には極限操作と積分記号の交換が必要となった。しかし、積分が $$\displaystyle \sum _{k}\int f_{k}(x)\,dx\quad {\text{および}}\quad \int \left[\sum _{k}f_{k}(x)\right]dx}$$ リーマン積分では、等しい値をとることは非常に困難であることがわかっています。リーマン積分には他にもいくつかの技術的な問題があります。これらは、上で述べた極限を取る際の困難と関連しています。

2 つの関数はほとんどあらゆる場所で等しいと言われている(${\displaystyle f\ {\stackrel {\text{ae}}{=}}\ g}$（略して）${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$は空集合の部分集合である。集合の可測性 ${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$必須ではありません。

以下の定理は、測度論とルベーグ積分に関するほとんどの教科書で証明されています。^{[ 9 ]}

• fとgが非負の可測関数（+∞の値を仮定することも可能）であり、 f = gがほとんど至るところで成り立つ場合、$${\displaystyle \int f\,d\mu =\int g\,d\mu .}$$すなわち、この積分はほとんど至るところで等号が成り立つという同値関係を尊重する。
• fとgがほとんど至るところでf = gとなるような関数である場合、 fがルベーグ積分可能であるのはgがルベーグ積分可能である場合かつその場合に限り、 fとgの積分は存在すれば同じである。
• 線形性：fとgがルベーグ積分可能な関数で、aとb が実数である場合、af + bgはルベーグ積分可能であり、$${\displaystyle \int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .}$$
• 単調性：f ≤ gの場合、$${\displaystyle \int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .}$$
• 単調収束定理：{ f _k } _{k ∈ N} を非負の可測関数の列とすると、$${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,\,\forall x\in E.}$$すると、 f _kの点ごとの極限fはルベーグ可測であり、$${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$いずれの積分値も無限大とすることができる。
• ファトゥの補題：{ f _k } _{k ∈ N}が非負の可測関数の列である場合、$${\displaystyle \int \liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\int f_{k}\,d\mu .}$$繰り返しますが、いずれの積分値も無限大になる可能性があります。
• 優収束定理：{ f _k } _{k ∈ N}を点ごとの極限fを持つ複素可測関数の列とし、すべてのkに対して| f _k | ≤ gとなるようなルベーグ積分可能な関数g (すなわち、gは空間L ¹に属する)が存在するとする。このとき、fはルベーグ積分可能であり、$${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

極限と積分の交換に必要な十分条件は、レナート・カッチョッポリ、ウラジミール・ドゥブロフスキー、ガエターノ・フィチェラの以前の研究を一般化したカフィエロによって証明された。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

測度論の完全な枠組みに頼ることなく、ルベーグ測度に関して積分を展開することは可能である。そのようなアプローチの一つとして、ダニエル積分が挙げられる。

関数解析の手法を用いて積分理論を発展させる別の方法もある。リーマン積分は、R ⁿ （または固定された開集合）上で定義されたコンパクトな台を持つ任意の連続関数fに対して存在する。これらの積分を出発点として、より一般的な関数の積分を構築することができる。

C _{c を}Rのすべての実数値コンパクト台連続関数の空間とする。C c上のノルムを次のように 定義する_。$${\displaystyle \left\|f\right\|=\int |f(x)|\,dx.}$$

すると、C _cはノルム付きベクトル空間（特に、距離空間）になります。すべての距離空間はハウスドルフ完備化を持つので、L ^{1 を}その完備化とします。この空間は、積分がゼロの関数の部分空間を法とするルベーグ積分可能関数の空間と同型です。さらに、リーマン積分∫ は、 C _c上のノルムに関して一様連続な汎関数であり、 L ¹において稠密です。したがって、∫はL ¹全体に一意に拡張されます。この積分はまさにルベーグ積分です。

より一般的には、関数が定義される測度空間が局所的にコンパクトな位相空間でもある場合（実数Rの場合のように）、適切な意味で位相と互換性のある測度（ラドン測度、ルベーグ測度はその一例）に関する積分は、コンパクトな台を持つ連続関数の積分から始めて、同様の方法で定義できます。より正確には、コンパクトな台を持つ関数は自然な位相を持つベクトル空間を形成し、(ラドン)測度はこの空間上の連続線形汎関数として定義されます。コンパクトな台を持つ関数における測度の値は、定義によりその関数の積分でもあります。次に、連続性によって測度（積分）をより一般的な関数に拡張し、集合の測度をその指示関数の積分として定義します。これは、ニコラ・ブルバキ^{[ 15 ]}や他の何人かの著者が採用したアプローチです。詳細は、ラドン測度を参照してください。

ルベーグ積分の主な目的は、緩やかな仮定の下で積分の極限が成り立つような積分概念を提供することです。すべての関数がルベーグ積分可能であるという保証はありません。しかし、ルベーグ積分可能でない関数に対しても、広義積分が存在する場合があります。一例として、 sinc関数が挙げられます。 $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$$ 実数全体にわたって。この関数はルベーグ積分可能ではない。 $$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|dx=\infty .}$$ 一方で、${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$は広義積分として存在し、有限であることが計算でわかります。これはディリクレ積分の2倍であり、 πに等しくなります。

• アンリ・ルベーグによるルベーグ積分の非専門的な説明については、こちらをご覧ください。
• null セット
• 統合
• 測定
• シグマ代数
• ルベーグ空間
• ルベーグとスティルチェスの統合
• リーマン積分
• ヘンストック・クルツヴァイル積分

• バートル、ロバート・G. (1995).積分とルベーグ測度の要素. ワイリー・クラシックス・ライブラリー. ニューヨーク: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社. xii+179. ISBN 0-471-04222-6MR 1312157 .​ 
• バウアー、ハインツ (2001)。測定と積分理論。デ・グリュイターの数学研究 26. ベルリン: デ・グリュイテル。 236.ISBN​ 978-3-11-016719-1。
• ブルバキ、ニコラ（2004）。積分。I. 第1章～第6章。1959年、1965年、1967年のフランス語原著からのスターリング・K・ベルベリアンによる翻訳。数学の基礎（ベルリン）。ベルリン：シュプリンガー・フェルラーク。xvi+472。ISBN 3-540-41129-1. MR 2018901 . 
• ダドリー、リチャード・M. (1989).実解析と確率論. ワズワース＆ブルックス/コール数学シリーズ. パシフィックグローブ、カリフォルニア州: ワズワース＆ブルックス/コール・アドバンスト・ブックス＆ソフトウェア. xii+436. ISBN 0-534-10050-3. MR 0982264 . 非常に綿密な解説で、特に確率論の研究者にとって有益であり、優れた注釈と歴史的参考文献も含まれている。
• フォランド、ジェラルド・B. (1999).実解析：現代の手法とその応用. 純粋・応用数学（ニューヨーク）（第2 版）. ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0MR 1681462 .​ 
• ハルモス、ポール R. (1950)。測定理論。ニューヨーク州ニューヨーク: D. Van Nostorm Company, Inc. pp.  xi+304。MR 0033869。 古典的ではあるが、やや時代遅れなプレゼンテーション。
• 「ルベーグ積分」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ルベーグ、アンリ(1904)、Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives、パリ: Gauthier-Villars
• アンリ・ルベーグ(1972)。Oeuvres scientifiques (en cinq volume) (フランス語)。ジュネーブ: ジュネーブ大学数学研究所。 p.  405.MR 0389523。​ 
• リープ、エリオット；ロス、マイケル（ 2001）。解析学。大学院数学研究。第 14巻（第2 版）。アメリカ数学会。ISBN 978-0821827833。
• ルーミス、リン・H. (1953).抽象調和解析入門. トロント-ニューヨーク-ロンドン: D. ヴァン・ノストランド社. pp.  x+190. MR 0054173 . ダニエル積分に関する解説が含まれています。
• マースデン（1974）『初等古典解析』WHフリーマン
• Munroe, ME (1953).計測と積分入門. Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc. pp.  x+310. MR 0053186 . 外測度論に関する優れた解説。
• ロイデン、HL （ 1988）。実解析（第3 版）。ニューヨーク：マクミラン出版。pp.  xx+444。ISBN 0-02-404151-3. MR 1013117 . 
• ルディン、ウォルター（1976）。数学解析の原理。国際純粋応用数学シリーズ（第3 版）。ニューヨーク：マグロウヒルブック社。pp. x  +342。MR 0385023。 「小ルーディン」 として知られるこの本には、ルベーグ理論の基礎が記されているが、フビニの定理のような内容は扱われていない。
• ルーディン、ウォルター（1966）。実解析と複素解析。ニューヨーク：マグロウヒルブック社。pp. xi  +412。MR 0210528。 通称「ビッグ・ルーディン」。理論を網羅的かつ丁寧に解説している。リース拡張定理の解説も優れている。ただし、（初版では）拡張定理の一つ証明に軽微な欠陥があり、その発見が第2章の演習問題21となっている。
• サックス、スタニスワフ(1937)。インテグラルの理論。モノグラフィー・マテマティチュネ。 Vol.  7（第2 版）。ワルシャワ-ルヴフ: GE Stechert & Co. JFM 63.0183.05。Zbl 0017.30004。  英語訳はローレンス・チザム・ヤング、ステファン・バナッハによる注釈が2つ追加されている。
• Shilov, GE; Gurevich, BL (1977).積分、測度、微分：統一的アプローチ。ロシア語からの翻訳、Richard A. Silverman 編。ドーバー高等数学シリーズ。ニューヨーク：ドーバー出版。xiv+233。ISBN 0-486-63519-8MR 0466463 .​ ダニエル積分を強調する。
• ジークムント＝シュルツェ、ラインハルト（2008）、「アンリ・ルベーグ」、ティモシー・ガワーズ著。ジューン・バロー・グリーン。 Imre Leader (編)、Princeton Companion to Mathematics、プリンストン大学出版局
• テシュル、ジェラルド。「実解析と関数解析のトピックス」（講義ノート）。
• Whitney, H. (1957), Geometric Integration Theory , Princeton Mathematical Series, vol.  21, Princeton, NJ and London: Princeton University Press and Oxford University Press , pp.  XV+387, MR 0087148 , Zbl 0083.28204  
• Yeh, James (2006).実解析：測度論と積分論 第2版 ペーパーバックシンガポール：World Scientific Publishing Company Pte. Ltd. p.  760. ISBN 978-981-256-6。