楕円偏微分方程式

数学において、楕円型偏微分方程式は偏微分方程式(PDE)の一種です。数学的モデリングでは、放物型偏微分方程式や双曲型偏微分方程式が一般に時間とともに変化する現象をモデル化するのに対し、楕円型偏微分方程式は定常状態をモデル化するために頻繁に使用されます。楕円型偏微分方程式は純粋数学でも重要であり、微分幾何学や最適輸送などのさまざまな研究分野の基礎となっています。

楕円微分方程式は、さまざまなコンテキストと一般性のレベルで現れます。

まず、 の形式で記述される 2 変数の 2 次線形 PDE を考えます。 ここで、A、B、C、D、E、F、およびG は、偏導関数に下付き表記法を使用したxおよびyの関数です。 の命名規則により、 の PDE は楕円型と呼ばれます。 の方程式は放物型、 の方程式は 双曲型と呼ばれます。 $${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+Fu+G=0,}$$$${\displaystyle B^{2}-AC<0,}$$${\displaystyle B^{2}-AC=0}$${\displaystyle B^{2}-AC>0}$

一般的な線形 2 次偏微分方程式では、「未知」の関数u は、任意の数の独立変数x ₁、...、x _nの関数である可能性があります。方程式は、 a i _{、 j 、} b i _、 c 、およびfが、対称性a _i、j = a _j、iに従うドメイン上で定義された関数である形式です。この方程式は、 a をn × n対称行列の空間で評価されるドメイン上の関数として見た場合、すべての固有値がある設定された正の数よりも大きい場合、楕円型と呼ばれます。同様に、これは、ドメイン内の任意の点x ₁、...、x _nと任意の実数ξ ₁、...、ξ _n に対して、正の数θが存在することを意味します 。^{[1] [2]}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}(x_{1},\ldots ,x_{n})u_{x_{i}x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})u_{x_{i}}+c(x_{1},\ldots ,x_{n})u=f(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x_{1},\ldots ,x_{n})\xi _{i }\xi _{j}\geq \theta (\xi _{1}^{2}+\cdots +\xi _{n}^{2}),}$$

2 次線形楕円型 PDE の最も単純な例はラプラス方程式で、ここでa _{i , j は}i ≠ jの場合は 0 、それ以外の場合は 1 となり、 b _i = c = f = 0となります。ポアソン方程式は、もう少し一般的な 2 次線形楕円型 PDE で、fがゼロである必要はありません。これらの方程式の両方で、楕円率定数θ は1とすることができます。

楕円偏微分方程式という用語は、文献全体で一貫して使用されているわけではない。ある著者が「楕円」と呼ぶものを、他の著者は厳密に楕円または一様楕円と呼ぶ。^[3]

楕円性は、より一般的なクラスの方程式に対しても定式化できる。最も一般的な2階偏微分方程式は、次の形式である。

${\displaystyle F(D^{2}u,Du,u,x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

ある関数Fに対して、方程式を線形化し、上記の線形定義を適用することで楕円度が定義されます。線形化は特定の関数uで行われるため、非線形 2 次偏微分方程式の楕円度は方程式自体だけでなく、検討中の解にも依存します。たとえば、最も単純なモンジュ・アンペール方程式では、関数の ヘッセ行列の行列式は次のように規定されます。

${\displaystyle \det D^{2}u=f.}$

行列式の微分に関するヤコビの公式から分かるように、 fが正の関数であり、解が一様凸であるという制約を満たす場合、この方程式は楕円型である。^[4]

高階の楕円型偏微分方程式もあり、最も単純な例は4階の重調和方程式です。^{[5]さらに一般的には、複数の「未知」の関数に対する結合された偏微分方程式で構成される重要な}楕円システムのクラスがあります。^[6]たとえば、複素解析からのコーシー-リーマン方程式は、 2変数関数のペアに対する1階の楕円システムとして考えることができます。^[7]

さらに、楕円型偏微分方程式（任意の次数、系を含む）のクラスは、さまざまな弱解の概念、つまり、物理法則に従いながら、解がさまざまな不規則性（たとえば、微分不可能性、特異点、不連続性）を持つように上記の方程式を再定式化するという概念の対象となります。^{[8]さらに、これらのタイプの解は}変分法でも重要であり、直接法ではオイラー方程式の楕円系の弱解が頻繁に生成されます。^[9]

2階楕円偏微分方程式を考える

${\displaystyle A(x,y)u_{xx}+2B(x,y)u_{xy}+C(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$

2変数関数u = u ( x , y )の場合。この方程式は「主要次数項」では線形ですが、関数値とその1次導関数を含む非線形表現が可能です。これは準線形方程式と呼ばれることもあります。

標準形は、領域の変換w = w ( x , y )およびz = z ( x , y )を要求するので、 u をwおよびzの関数として見ると、上記の式は次の形になります。

${\displaystyle u_{ww}+u_{zz}+F(u_{w},u_{z},u,w,z)=0}$

何らかの新しい関数Fに対して、このような変換の存在は、A、B、Cが実解析関数である場合に局所的に証明することができ、より精巧な作業により、これらが連続的に微分可能な場合でも証明できる。局所性とは、必要な座標変換がuの領域全体で定義できない場合があるが、領域の任意の特定の点を囲む小さな領域では定義できることを意味する。^[10]

このような変換の存在を形式的に証明するには、ベルトラミ方程式の解の存在を利用する。微分幾何学の観点からは、標準形の存在は、関連するリーマン計量の等温座標の存在と同義である。

${\displaystyle A(x,y)dx^{2}+2B(x,y)\,dx\,dy+C(x,y)dy^{2}}$

（偏微分方程式の楕円性条件、すなわち関数AC – B ²の正値は、このテンソルまたはその否定が実際にリーマン計量であることを保証するものである。）一般に、2つ以上の変数の関数に対する2次準線型楕円偏微分方程式には、標準形は存在しない。これは、2次元のリーマン計量では等温座標が一般的に存在するが、高次元のリーマン計量では非常に特殊な場合にのみ存在するという事実に対応する。^[11]

一般的な2次線形偏微分方程式では、特性は関連するテンソルのヌル方向として定義される^[12]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx^{i}\,dx^{j},}$

主記号と呼ばれる。波面集合の技術を使用すると、特性は、 fの不規則な点がPDE の解uにどのように伝播するかを理解するのに重要になります。非公式には、関数の波面集合は、滑らかさの欠如を引き起こす周波数空間の方向に加えて、滑らかでない点で構成されます。滑らかな係数を持つ線形微分演算子を適用しても、波面集合から点を削除する効果しか持たないというのは基本的な事実です。^[13]ただし、元の波面集合のすべての点 (およびそれ以上の点) は、演算子の (実際の) 特性方向に追加することで回復されます。^[14]

滑らかな係数を持つ線型楕円作用素Pの場合、主な記号はリーマン計量であり、実数の特性方向は存在しない。前の段落によれば、解uの波面集合はPu = fの波面集合と正確に一致する。これにより、 fが滑らかであれば（つまりその波面集合が空であれば）、解uも滑らかであるという基本的な正則性定理が成立する。より一般的には、 u が滑らかでない点は、fが滑らかでない点と一致する。^[15]この正則性現象は、例えば、方程式のすべての係数が滑らかであっても不連続性が形成される可能性がある双曲型 PDEとは対照的である。

楕円型偏微分方程式の解は、当然のことながら、放物型偏微分方程式または双曲型偏微分方程式の時間独立解と関連付けられます。たとえば、熱方程式の時間独立解は、ラプラス方程式を解きます。つまり、放物型および双曲型偏微分方程式が動的システムのモデリングに関連付けられている場合、楕円型偏微分方程式の解は定常状態に関連付けられます。非公式には、定常状態は一般に真に動的な解の平滑化されたバージョンであるため、これは上記の正則性定理を反映しています。ただし、モデリングで使用される偏微分方程式は非線形であることが多く、上記の正則性定理は線形楕円方程式にのみ適用されます。さらに、非線形楕円方程式の正則性理論ははるかに微妙で、解が常に滑らかであるとは限りません。

• 楕円境界値問題
• 楕円演算子
• 双曲偏微分方程式
• 放物型偏微分方程式
• 最大原理（解の性質）
• ソボレフ空間

• 「楕円偏微分方程式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「楕円偏微分方程式、数値計算法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「楕円偏微分方程式」。MathWorld。