垂直

幾何学では、2 つの幾何学的オブジェクトが直交するのは、それらの交点 (足と呼ばれる) でそれらの交点が直角 ( 90度またはπ / 2 ラジアンの幅の角度)を形成する場合です。直交の条件は、垂直記号⟂ を使用してグラフィカルに表すことができます。直交交差は、2 本の直線 (または 2 つの線分) 間、直線と平面間、および 2 つの平面間で発生します。

垂直性は、より一般的な数学的概念である直交性の 1 つの特定の例です。垂直性は、古典的な幾何学的オブジェクトの直交性です。したがって、高度な数学では、「垂直」という単語は、表面とその法線ベクトルの間の直交性など、はるかに複雑な幾何学的直交性条件を説明するために使用されることがあります。

2 本の線が直角に交差する場合、その線は他の線に対して垂直であるといわれます。^[2]明示的には、(1) 2 本の線が交わり、(2) 交差点で最初の線の片側の直角が2 番目の線によって 2 つの合同な 角に切断される場合、最初の線は 2 番目の線に対して垂直です。垂直性は対称的であると示すことができます。つまり、最初の線が 2 番目の線に対して垂直であれば、2 番目の線も最初の線に対して垂直です。このため、順序を指定せずに 2 本の線が (互いに) 垂直であると言うことができます。垂直性の優れた例はどのコンパスでも見ることができます。北、東、南、西 (NESW) の基点に注目してください。線 NS は線 WE に対して垂直で、角度 NE、ES、SW、WN はすべて互いに 90° です。

垂直性は線分や放射線にも容易に拡張できます。たとえば、ある線分が別の線分に垂直であるとは、それぞれの線分を両方向に延長して無限直線を形成したときに、結果として得られる2つの線が上記の意味で垂直であることを意味します。記号では、は線分ABが線分CDに垂直であることを意味します。^[3]${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle {\overline {CD}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}\perp {\overline {CD}}}$

ある線が平面に対して垂直であるとは、その線が交差する平面上のすべての線に対して垂直であること を意味します。この定義は、線間の垂直性の定義に依存します。

空間内の 2 つの平面が交わる二面角が直角である場合、それらの 平面は垂直であると言われます。

「足」という言葉は、垂線に関連して頻繁に使用されます。この用法は、上の図とそのキャプションに例示されています。図はどの方向にも配置できます。足は必ずしも一番下にある必要はありません。

より正確には、A を点、m を直線とします。B が、 mと、 Aを通るmに垂直な唯一の直線との交点である場合、B はA を通るこの垂線の足と呼ばれます。

コンパスと定規を使った作図法で点 P を通る線分 AB に垂線を引くには、次の手順に従います (左の図を参照)。

• ステップ 1 (赤): P を中心とする円を描き、線分 AB 上にP から等距離にある点 A' と B' を作成します。
• ステップ 2 (緑): A' と B' を中心とし、半径が等しい円を作成します。Q と P をこれら 2 つの円の交点とします。
• ステップ 3 (青): Q と P を接続して、目的の垂直 PQ を構築します。

PQ が AB に垂直であることを証明するには、 QPA' と QPB' にSSS 合同定理を使用して、角 OPA' と OPB' が等しいと結論付けます。次に、三角形 OPA' と OPB' にSAS 合同定理を使用して、角 POA と POB が等しいと結論付けます。

タレスの定理を使用して、点 P でまたは点 P を通る直線 g に垂線を引くには、右のアニメーションを参照してください。

ピタゴラスの定理は、直角を作る方法の基礎として使用できます。たとえば、リンクを数えると、長さが 3:4:5 の 3 本のチェーンを作成できます。これらを配置して三角形を形成すると、最長の辺の反対側に直角ができます。この方法は、寸法が大きく、それほど正確さを必要としない庭や畑のレイアウトに役立ちます。チェーンは、必要なときにいつでも繰り返し使用できます。

2 本の線 ( aとb ) が両方とも 3 本目の線 ( c ) に垂直である場合、3 本目の線に沿って形成される角度はすべて直角です。したがって、ユークリッド幾何学では、平行公理により、3 本目の線に両方とも垂直な 2 本の線は互いに平行です。逆に、1 本の線が 2 本目の線に垂直である場合、その線は 2 本目の線に平行な任意の線にも垂直です。

右の図では、垂直角が一致し、平行線を横切る線によって形成される交互の内角が一致するため、オレンジ色で塗りつぶされた角度はすべて互いに一致し、緑色で塗りつぶされた角度はすべて互いに一致しています。したがって、線aと線bが平行である場合、次の結論のいずれかから他の結論がすべて導かれます。

• 図の角度の 1 つは直角です。
• オレンジ色で塗りつぶされた角度の 1 つは、緑色で塗りつぶされた角度の 1 つと一致します。
• 線c は線aに垂直です。
• 線c は線bに垂直です。
• 4つの角度はすべて等しい。

2次元平面では、交差する2本の直線の傾きの積が−1であれば、直角を形成できる。したがって、2つの線形関数とに対して、関数のグラフが直交するのは、 ${\displaystyle y_{1}(x)=m_{1}x+b_{1}}$${\displaystyle y_{2}(x)=m_{2}x+b_{2}}$${\displaystyle m_{1}m_{2}=-1.}$

ベクトルのドット積を使用しても同じ結果を得ることができます。まず、座標をシフトして、原点が線の交差する位置に配置されます。次に、各線に沿って 2 つの変位を定義します。ここで、垂直ベクトルでは内積がゼロになるという事実を使用します。 ${\displaystyle {\vec {r}}_{j}}$${\displaystyle (j=1,2).}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}=x_{1}{\hat {x}}+y_{1}{\hat {y}}=x_{1}{\hat {x}}+m_{1}x_{1}{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{2}=x_{2}{\hat {x}}+y_{2}{\hat {y}}=x_{2}{\hat {x}}+m_{2}x_{2}{\hat {y}}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2}=\left(1+m_{1}m_{2}\right)x_{1}x_{2}=0}$

${\displaystyle \therefore m_{1}m_{2}=-1}$（ またはが消滅しない限り）${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

両方の証明は、1 つの傾きを とし、 という極限をとれる限り、水平線と垂直線に対して有効です。1 つの傾きがゼロになると、もう 1 つの傾きは無限大になります。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0.}$

円の各直径は、直径が円と交差する点においてその円の 接線に対して垂直です。

円の中心を通り弦を二等分する線分は弦に対して垂直です。

任意の2本の直交する弦の交点が、一方の弦を長さaとbに分割し、もう一方の弦を長さcとdに分割する場合、a ² + b ² + c ² + d ^2は直径の2乗に等しくなります。^[4]

ある点で交差する任意の2本の垂直弦の長さの二乗の合計は、同じ点で交差する他の任意の2本の垂直弦の長さの二乗の合計と同じであり、8 r ² - 4 p ²で表されます（ここでrは円の半径、pは中心点から交差点までの距離です）。^[5]

タレスの定理は、円上の同じ点を通るが、直径の反対の端点を通る 2 本の線は直交するというものです。これは、円の任意の直径は、直径の 2 つの端点を除く円上の任意の点で直角をなすということと同じです。

楕円の長軸と短軸は、互いに垂直であり、軸が楕円と交差する点では楕円の接線に対しても垂直です。

楕円の長軸は準線と各直腸間膜に垂直です。

放物線では、対称軸は、軸が放物線と交差する点において、外接線、準線、接線のそれぞれに垂直になります。

放物線の頂点への接線上の点から、放物線のもう一方の接線は、その点から放物線の焦点を通る線に対して垂直になります。

放物線の正視特性は、放物線の 2 つの接線が互いに垂直である場合、それらは準線上で交差することです。逆に、準線上で交差する 2 つの接線は垂直です。これは、準線上の任意の点から見ると、どの放物線も直角を成すことを意味します。

双曲線の横軸は共役軸と各準線に垂直です。

双曲線上またはその共役双曲線上の点 P から漸近線までの垂線距離の積は、P の位置に依存しない定数です。

直角双曲線は、互いに垂直な漸近線を持ちます。離心率は${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

直角三角形の辺は互いに垂直です。

三角形の頂点は、それぞれの底辺に対して垂直です。辺の 垂直二等分線も三角形の幾何学において重要な役割を果たします。

二等辺三角形のオイラー線は三角形の底辺に対して垂直です。

ドロス・ファルニーの直線定理は、三角形の垂心で交差する 2 本の垂直線の性質に関するものです。

ハーコートの定理は、頂点を通り、三角形の内接円に接する任意の直線に垂直な線分の関係に関する定理です。

正方形やその他の長方形では、隣接する辺のすべてのペアは垂直です。直角台形は、隣接する 2 組の辺が垂直である 台形です。

四辺形の4 つの頂点はそれぞれ、反対側の 辺の中点を通る辺に対する垂直線です。

直角四辺形は、対角線が直交する四辺形です。正方形、菱形、凧形などがこれにあたります。ブラフマグプタの定理によれば、環状でもある直角四辺形において、一方の辺の中点と対角線の交点を通る直線は、反対側の辺に垂直です。

ファン・オーベルの定理によれば、四辺形の辺の外側に正方形を作図する場合、向かい合う正方形の中心を結ぶ線分は垂直で長さが等しくなります。

3 次元空間では、最大 3 本の線が互いに直交することがあります。これは、3 次元直交座標系のx 軸、 y軸、z軸に例証されます。

• 正射影
• 接線成分と法線成分

• アルトシラー・コート、ネイサン（1952）[第1版1925]、カレッジ幾何学：三角形と円の現代幾何学入門（第2版）、ニューヨーク：バーンズ＆ノーブル
• ケイ、デイビッド C. (1969)、カレッジジオメトリ、ニューヨーク：ホルト、ライナーハート、ウィンストン、LCCN  69-12075

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• 定義: インタラクティブなアニメーションによる垂直。
• コンパスと定規を使用して直線の垂直二等分線を描く方法 (アニメーションによるデモンストレーション)。
• コンパスと定規を使用して、直線の終点に垂線を描く方法 (アニメーションによるデモンストレーション)。