予備知識と表記法 させてH {\displaystyle H} ヒルベルト空間 であるF 、 {\displaystyle \mathbb {F} ,} F {\displaystyle \mathbb {F} } R {\displaystyle \mathbb {R} } C 。 {\displaystyle \mathbb {C} .} F = C {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} } F = R {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} } H {\displaystyle H} は複素ヒルベルト空間 （または実ヒルベルト空間 ）と呼ばれます。すべての実ヒルベルト空間は、一意の（全単射等長 変換 を除いて）複素ヒルベルト空間の稠密な部分集合に拡張することができ、これを 複素化 と呼びます。そのため、ヒルベルト空間はしばしば自動的に複素であると仮定されます。実ヒルベルト空間と複素ヒルベルト空間は、多くの性質や結果／定理を共有していますが、すべてではありません。
この記事は数学者 と物理学者の 両方を対象としており、両方の分野における定理について説明します。数学と物理学の両方において、ヒルベルト空間が実数であると仮定すると（つまり、F = R {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} } または 複素数のヒルベルト空間を意味します。
数学と物理学における内積の表記法と定義 ヒルベルト空間 H {\displaystyle H} 関連する内積 を持つH × H → F {\displaystyle H\times H\to \mathbb {F} } H {\displaystyle H} F {\displaystyle \mathbb {F} } H {\displaystyle H} F = C {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} } F = R {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} } 対称写像 ( 双線形 ) なので、そのような混乱は起こり得ません。
数学 において、ヒルベルト空間上の内積H {\displaystyle H} ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle } ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ H {\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle _{H}} 物理学 では、ブラケット記法は ⟨ ⋅ ∣ ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle } ⟨ ⋅ ∣ ⋅ ⟩ H {\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle _{H}}
⟨ x 、 y ⟩ := ⟨ y ∣ x ⟩ すべての人々のために x 、 y ∈ H 。 {\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle :=\left\langle y\mid x\right\rangle \quad {\text{すべての }}x,y\in H に対して}
地図⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle } は最初の座標に関して線形で ある。同等に、マップは⟨ ⋅ ∣ ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle } は、その第2座標に関して線形で ある。つまり、固定されたy ∈ H 、 {\displaystyle y\in H,} ⟨ y ∣ ⋅ ⟩ = ⟨ ⋅ 、 y ⟩ : H → F {\displaystyle \left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot \,,y\,\right\rangle :H\to \mathbb {F} } h ↦ ⟨ y ∣ h ⟩ = ⟨ h 、 y ⟩ {\textstyle h\mapsto \left\langle \,y\mid h\,\right\rangle =\left\langle \,h,y\,\right\rangle } H 。 {\displaystyle H.} ⟨ y ∣ ⋅ ⟩ = ⟨ ⋅ 、 y ⟩ ∈ H * 。 {\displaystyle \left\langle \,y\mid \cdot \,\right\rangle =\left\langle \,\cdot ,y\,\right\rangle \in H^{*}.} 地図⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle } その 第２の 座標に関して 反線形で ⟨ ⋅ ∣ ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle } は、その第一 座標 に関して反線形である。つまり、固定されたに対してy ∈ H 、 {\displaystyle y\in H,} ⟨ ⋅ ∣ y ⟩ = ⟨ y 、 ⋅ ⟩ : H → F {\displaystyle \left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle :H\to \mathbb {F} } h ↦ ⟨ h ∣ y ⟩ = ⟨ y 、 h ⟩ {\textstyle h\mapsto \left\langle \,h\mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,h\,\right\rangle } H 。 {\displaystyle H.} ⟨ ⋅ ∣ y ⟩ = ⟨ y 、 ⋅ ⟩ ∈ H ¯ * 。 {\displaystyle \left\langle \,\cdot \mid y\,\right\rangle =\left\langle \,y,\cdot \,\right\rangle \in {\overline {H}}^{*}.} 計算においては、数学表記法を一貫して使用しなければならない。⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle } ⟨ ⋅ ∣ ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdot \mid \cdot \right\rangle }
双対空間および反双対空間における正準ノルムと内積 もしx = y {\displaystyle x=y} ⟨ x ∣ x ⟩ = ⟨ x 、 x ⟩ {\displaystyle \langle \,x\mid x\,\rangle =\langle \,x,x\,\rangle } ‖ x ‖ := ⟨ x 、 x ⟩ = ⟨ x ∣ x ⟩ {\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {\langle x\mid x\rangle }}}
正準ノルム を定義するH {\displaystyle H} H {\displaystyle H} ノルム空間 へ。 すべてのノルム空間と同様に、（連続）双対空間H * {\displaystyle H^{*}} は、双対ノルム ‖ f ‖ H * := すする ‖ x ‖ ≤ 1 、 x ∈ H | f （ x ） | すべての f ∈ H * 。 {\displaystyle \|f\|_{H^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in H^{*}.}
（連続的な）反双対空間 上の正準ノルムH ¯ * 、 {\displaystyle {\overline {H}}^{*},} ‖ f ‖ H ¯ * 、 {\displaystyle \|f\|_{{\overline {H}}^{*}},} ‖ f ‖ H ¯ * := すする ‖ x ‖ ≤ 1 、 x ∈ H | f （ x ） | すべての f ∈ H ¯ * 。 {\displaystyle \|f\|_{{\overline {H}}^{*}}~:=~\sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|\quad {\text{ for every }}f\in {\overline {H}}^{*}.}
この規範はH * {\displaystyle H^{*}} は平行四辺形の法則 を満たすので、偏極恒等式を用いて 上の正準内積 を定義できる。H * 、 {\displaystyle H^{*},} ⟨ f 、 g ⟩ H * := ⟨ g ∣ f ⟩ H * 、 {\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{H^{*}}:=\left\langle g\mid f\right\rangle _{H^{*}},} H * {\displaystyle H^{*}} H * : {\displaystyle H^{*}:} f ↦ ⟨ f 、 f ⟩ H * {\displaystyle f\mapsto {\sqrt {\left\langle f,f\right\rangle _{H^{*}}}}} 双対ノルム（閉じた 単位球 上の上限として定義される）があります。これらのノルムは同じです。具体的には、これはすべてのに対して以下が成り立つことを意味します。f ∈ H * : {\displaystyle f\in H^{*}:} すする ‖ x ‖ ≤ 1 、 x ∈ H | f （ x ） | = ‖ f ‖ H * = ⟨ f 、 f ⟩ H * = ⟨ f ∣ f ⟩ H * 。 {\displaystyle \sup _{\|x\|\leq 1,x\in H}|f(x)|=\|f\|_{H^{*}}~=~{\sqrt {\langle f,f\rangle _{H^{*}}}}~=~{\sqrt {\langle f\mid f\rangle _{H^{*}}}}.}
後述するように、リース表現定理は、正準ノルムと正準内積の等価な定義を与えるために使用できる。H * 。 {\displaystyle H^{*}.}
上記で使用したのと同じ方程式を使用して、ノルムと内積を定義することもできます。H {\displaystyle H} 反デュアル空間 H ¯ * 。 {\displaystyle {\overline {H}}^{*}.}
双対と反双対間の正準等長性
複合共役体 f ¯ {\displaystyle {\overline {f}}} f 、 {\displaystyle f,} ‖ f ‖ H * = ‖ f ¯ ‖ H ¯ * そして ‖ g ¯ ‖ H * = ‖ g ‖ H ¯ * {\displaystyle \|f\|_{H^{*}}~=~\left\|{\overline {f}}\right\|_{{\overline {H}}^{*}}\quad {\text{ and }}\quad \left\|{\overline {g}}\right\|_{H^{*}}~=~\|g\|_{{\overline {H}}^{*}}} f ∈ H * {\displaystyle f\in H^{*}} g ∈ H ¯ * 。 {\displaystyle g\in {\overline {H}}^{*}.} 全単射が 議会 : H * → H ¯ * f ↦ f ¯ {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Cong} :\;&&H^{*}&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&{\overline {f}}\\\end{alignedat}}} 議会 − 1 : H ¯ * → H * {\displaystyle \operatorname {Cong} ^{-1}~:~{\overline {H}}^{*}\to H^{*}} 写像 であり、したがって同相写像 でもある。双対空間上の内積H * {\displaystyle H^{*}} H ¯ * 、 {\displaystyle {\overline {H}}^{*},} ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ H * {\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{H^{*}}} ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ H ¯ * 、 {\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{{\overline {H}}^{*}},} ⟨ f ¯ | g ¯ ⟩ H ¯ * = ⟨ f | g ⟩ H * ¯ = ⟨ g | f ⟩ H * すべての人々のために f 、 g ∈ H * {\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{H^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{H^{*}}\qquad {\text{ for all }}f,g\in H^{*}} ⟨ f ¯ | g ¯ ⟩ H * = ⟨ f | g ⟩ H ¯ * ¯ = ⟨ g | f ⟩ H ¯ * すべての人々のために f 、 g ∈ H ¯ * 。 {\displaystyle \langle \,{\overline {f}}\,|\,{\overline {g}}\,\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle \,f\,|\,g\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}}}=\langle \,g\,|\,f\,\rangle _{{\overline {H}}^{*}}\qquad {\text{ for all }}f,g\in {\overline {H}}^{*}.}
もしF = R {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} } H * = H ¯ * {\displaystyle H^{*}={\overline {H}}^{*}} 議会 : H * → H ¯ * {\displaystyle \operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}}
リース表現定理 2つのベクトルx {\displaystyle x} y {\displaystyle y} 直交して ⟨ x 、 y ⟩ = 0 、 {\displaystyle \langle x,y\rangle =0,} ‖ y ‖ ≤ ‖ y + s x ‖ {\displaystyle \|y\|\leq \|y+sx\|} s 。 {\displaystyle s.} 補集合 X ⊆ H {\displaystyle X\subseteq H} X ⊥ := { y ∈ H : ⟨ y 、 x ⟩ = 0 すべての人々のために x ∈ X } 、 {\displaystyle X^{\bot }:=\{\,y\in H:\langle y,x\rangle =0{\text{ for all }}x\in X\,\},} 閉じた ベクトル部分空間であるH 。 {\displaystyle H.} 射影定理は、 任意の空でない 閉凸部分集合 に対して、C {\displaystyle C} ヒルベルト空間 には一意のベクトルが存在するm ∈ C {\displaystyle m\in C} ‖ m ‖ = 情報 c ∈ C ‖ c ‖ ; {\displaystyle \|m\|=\inf _{c\in C}\|c\|;} m ∈ C {\displaystyle m\in C} グローバル最小値である。 C → [ 0 、 ∞ ） {\displaystyle C\to [0,\infty )} c ↦ ‖ c ‖ 。 {\displaystyle c\mapsto \|c\|.}
声明 系 — 標準マップH {\displaystyle H} H * {\displaystyle H^{*}} は単射 反 線形作用素等長性 である[ 注 2 ] Φ : H → H * y ↦ ⟨ ⋅ 、 y ⟩ = ⟨ y | ⋅ ⟩ {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \,,y\rangle =\langle y|\,\cdot \,\rangle \\\end{alignedat}}} 次の場合に全射 （したがって全単射 ）H {\displaystyle H} 全単射等長 反線形 同型写像 である。Φ − 1 : H * → H φ ↦ f φ 。 {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi ^{-1}:\;&&H^{*}&&\;\to \;&H\\[0.3ex]&&\varphi &&\;\mapsto \;&f_{\varphi }\\\end{alignedat}}.} すべての連続線形汎関数は H {\displaystyle H} ⟨ y | ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle y\,|\,\cdot \,\rangle } ‖ ⟨ y | ⋅ ⟩ ‖ H * = ‖ y ‖ H {\displaystyle \|\langle y\,|\cdot \rangle \|_{H^{*}}=\|y\|_{H}} y ∈ H 。 {\displaystyle y\in H.} y ↦ ⟨ y 、 ⋅ ⟩ = ⟨ ⋅ | y ⟩ {\displaystyle y\mapsto \langle y,\cdot \rangle =\langle \cdot \,|\,y\rangle } 全単射線形 等長写像と見なすこともできるH → H ¯ * {\displaystyle H\to {\overline {H}}^{*}} 反二元 空間へH 、 {\displaystyle H,} 連続双対空間 の複素共役ベクトル空間 H * 。 {\displaystyle H^{*}.}
内部製品H {\displaystyle H} H * {\displaystyle H^{*}} ⟨ Φ h 、 Φ k ⟩ H * = ⟨ h 、 k ⟩ ¯ H = ⟨ k 、 h ⟩ H すべての人々のために h 、 k ∈ H {\displaystyle \left\langle \Phi h,\Phi k\right\rangle _{H^{*}}={\overline {\langle h,k\rangle }}_{H}=\langle k,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}h,k\in H} ⟨ Φ − 1 φ 、 Φ − 1 ψ ⟩ H = ⟨ φ 、 ψ ⟩ ¯ H * = ⟨ ψ 、 φ ⟩ H * すべての人々のために φ 、 ψ ∈ H * 。 {\displaystyle \left\langle \Phi ^{-1}\varphi ,\Phi ^{-1}\psi \right\rangle _{H}={\overline {\langle \varphi ,\psi \rangle }}_{H^{*}}=\left\langle \psi ,\varphi \right\rangle _{H^{*}}\quad {\text{ for all }}\varphi ,\psi \in H^{*}.}
セットC := φ − 1 （ ‖ φ ‖ 2 ） {\displaystyle C:=\varphi ^{-1}\left(\|\varphi \|^{2}\right)} C = f φ + カー φ {\displaystyle C=f_{\varphi }+\ker \varphi } C − f φ = カー φ {\displaystyle C-f_{\varphi }=\ker \varphi } f φ ≠ 0 {\displaystyle f_{\varphi }\neq 0} C {\displaystyle C} アフィン超平面 [ 注3 ] カー φ {\displaystyle \ker \varphi } f φ 。 {\displaystyle f_{\varphi }.}
のためにy ∈ H 、 {\displaystyle y\in H,} Φ （ y ） ∈ H * {\displaystyle \Phi (y)\in H^{*}} ⟨ y | 、 {\displaystyle \langle y|,} ⟨ y | := Φ （ y ） 、 {\displaystyle \langle y|:=\Phi (y),} | y ⟩ {\displaystyle |y\rangle } | y ⟩ := y 。 {\displaystyle |y\rangle :=y.} 量子力学 の数学的扱いにおいて、この定理は、広く用いられているブラケット記法 の正当化と見なすことができる。この定理は、すべてのブラケットが :=y であると述べている。⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi \,|} | ψ ⟩ 、 {\displaystyle |\,\psi \rangle ,}
歴史的には、この定理は1907年にリース とフレシェ によって同時に発見されたとされることが多い（参考文献を参照）。
表現ベクトルの構成 上記の定理の記法を用いると、いくつかの構築方法があります。f φ {\displaystyle f_{\varphi }} φ ∈ H * {\displaystyle \varphi \in H^{*}} φ = 0 {\displaystyle \varphi =0} f φ := 0 {\displaystyle f_{\varphi }:=0} f 0 = 0. {\displaystyle f_{0}=0.}
この特別なケースではφ = 0 {\displaystyle \varphi =0} φ ≠ 0. {\displaystyle \varphi \neq 0.}
核の直交補空間
もしφ ≠ 0 {\displaystyle \varphi \neq 0} 0 ≠ u ∈ （ カー φ ） ⊥ 、 {\displaystyle 0\neq u\in (\ker \varphi )^{\bot },} f φ := φ （ u ） ¯ u ‖ u ‖ 2 。 {\displaystyle f_{\varphi }:={\frac {{\overline {\varphi (u)}}u}{\|u\|^{2}}}.}
もしu ∈ （ カー φ ） ⊥ {\displaystyle u\in (\ker \varphi )^{\bot }} は単位ベクトル です（つまり、‖ u ‖ = 1 {\displaystyle \|u\|=1} f φ := φ （ u ） ¯ u {\displaystyle f_{\varphi }:={\overline {\varphi (u)}}u} φ = 0 {\displaystyle \varphi =0} f φ = φ （ u ） ¯ u = 0 ¯ u = 0 {\displaystyle f_{\varphi }={\overline {\varphi (u)}}u={\overline {0}}u=0} u {\displaystyle u} − u 、 {\displaystyle -u,} （ カー φ ） ⊥ 。 {\displaystyle (\ker \varphi )^{\bot }.} φ （ − u ） ¯ （ − u ） = φ （ u ） ¯ u = f φ {\displaystyle {\overline {\varphi (-u)}}(-u)={\overline {\varphi (u)}}u=f_{\varphi }} f φ 。 {\displaystyle f_{\varphi }.}
カーネルへの直交射影
もしx ∈ H {\displaystyle x\in H} φ （ x ） ≠ 0 {\displaystyle \varphi (x)\neq 0} x K {\displaystyle x_{K}} 、 x {\displaystyle x} カー φ {\displaystyle \ker \varphi } [ 証明1 ] f φ = ‖ φ ‖ 2 φ （ x ） （ x − x K ） 。 {\displaystyle f_{\varphi }={\frac {\|\varphi \|^{2}}{\varphi (x)}}\left(x-x_{K}\right).}
正規直交基底
正規直交基底 が与えられた場合{ e 私 } 私 ∈ 私 {\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i\in I}} H {\displaystyle H} φ ∈ H * 、 {\displaystyle \varphi \in H^{*},} f φ ∈ H {\displaystyle f_{\varphi }\in H} f φ = ∑ 私 ∈ 私 φ （ e 私 ） ¯ e 私 {\displaystyle f_{\varphi }=\sum _{i\in I}{\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}e_{i}} φ （ e 私 ） {\displaystyle \varphi \left(e_{i}\right)} 0 {\displaystyle 0} f φ {\displaystyle f_{\varphi }} H {\displaystyle H} y ∈ H {\displaystyle y\in H} y = ∑ 私 ∈ 私 1 私 e 私 {\displaystyle y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}} φ （ y ） = ∑ 私 ∈ 私 φ （ e 私 ） 1 私 = ⟨ f φ | y ⟩ {\displaystyle \varphi (y)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right)a_{i}=\langle f_{\varphi }|y\rangle } ‖ f φ ‖ 2 = φ （ f φ ） = ∑ 私 ∈ 私 φ （ e 私 ） φ （ e 私 ） ¯ = ∑ 私 ∈ 私 | φ （ e 私 ） | 2 = ‖ φ ‖ 2 。 {\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\sum _{i\in I}\varphi \left(e_{i}\right){\overline {\varphi \left(e_{i}\right)}}=\sum _{i\in I}\left|\varphi \left(e_{i}\right)\right|^{2}=\|\varphi \|^{2}.}
正規直交基底{ e 私 } 私 ∈ 私 = { e 私 } 私 = 1 ∞ {\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i\in I}=\left\{e_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }} f φ = φ （ e 1 ） ¯ e 1 + φ （ e 2 ） ¯ e 2 + ⋯ {\displaystyle f_{\varphi }={\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}e_{1}+{\overline {\varphi \left(e_{2}\right)}}e_{2}+\cdots } y ∈ H {\displaystyle y\in H} y = ∑ 私 ∈ 私 1 私 e 私 = 1 1 e 1 + 1 2 e 2 + ⋯ {\displaystyle y=\sum _{i\in I}a_{i}e_{i}=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots } φ （ y ） = φ （ e 1 ） 1 1 + φ （ e 2 ） 1 2 + ⋯ = ⟨ f φ | y ⟩ 。 {\displaystyle \varphi (y)=\varphi \left(e_{1}\right)a_{1}+\varphi \left(e_{2}\right)a_{2}+\cdots =\langle f_{\varphi }|y\rangle .}
特殊なケースを考えてみましょうH = C n {\displaystyle H=\mathbb {C} ^{n}} n > 0 {\displaystyle n>0} 整数 ）標準内積 ⟨ z ∣ w ⟩ := z → ¯ T w → すべての人々のために w 、 z ∈ H {\displaystyle \langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}\qquad {\text{すべての}}\;w,z\in Hについて} w そして z {\displaystyle w{\text{ and }}z} 列行列 として表現されるw → := [ w 1 ⋮ w n ] {\displaystyle {\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}} z → := [ z 1 ⋮ z n ] {\displaystyle {\vec {z}}:={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}} e 1 、 … 、 e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} H {\displaystyle H} e 私 {\displaystyle e_{i}} 1 {\displaystyle 1} 私 {\displaystyle i} th 座標と0 {\displaystyle 0} H * {\displaystyle H^{*}} 双対基底 に関連付けられる)そしてz → ¯ T := [ z 1 ¯ 、 … 、 z n ¯ ] {\displaystyle {\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }:=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right]} 共役転置 を表すz → 。 {\displaystyle {\vec {z}}.} φ ∈ H * {\displaystyle \varphi \in H^{*}} φ 1 、 … 、 φ n ∈ C {\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\in \mathbb {C} } φ （ w 1 、 … 、 w n ） = φ 1 w 1 + ⋯ + φ n w n すべての人々のために w := （ w 1 、 … 、 w n ） ∈ H 、 {\displaystyle \varphi \left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}\qquad {\text{ for all }}\;w:=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,} φ 私 = φ （ e 私 ） {\displaystyle \varphi _{i}=\varphi \left(e_{i}\right)} 私 = 1 、 … 、 n 。 {\displaystyle i=1,\ldots ,n.} φ {\displaystyle \varphi } f φ := φ 1 ¯ e 1 + ⋯ + φ n ¯ e n = （ φ 1 ¯ 、 … 、 φ n ¯ ） ∈ H 。 {\displaystyle f_{\varphi }~:=~{\overline {\varphi _{1}}}e_{1}+\cdots +{\overline {\varphi _{n}}}e_{n}~=~\left({\overline {\varphi _{1}}},\ldots ,{\overline {\varphi _{n}}}\right)\in H.} w = （ w 1 、 … 、 w n ） {\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)} H {\displaystyle H} w → := [ w 1 ⋮ w n ] {\displaystyle {\vec {w}}:={\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}} f φ {\displaystyle f_{\varphi }} f φ → := [ φ 1 ¯ ⋮ φ n ¯ ] = [ φ （ e 1 ） ¯ ⋮ φ （ e n ） ¯ ] 。 {\displaystyle {\vec {f_{\varphi }}}:={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}}\\\vdots \\{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}\end{bmatrix}}.} φ {\displaystyle \varphi } 行列 （行行列） φ → := [ φ 1 、 … 、 φ n ] {\displaystyle {\vec {\varphi }}:=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]} f φ → := φ → ¯ T {\displaystyle {\vec {f_{\varphi }}}:={\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }} φ {\displaystyle \varphi } w → ↦ φ → w → 、 {\displaystyle {\vec {w}}\mapsto {\vec {\varphi }}\,{\vec {w}},} 行列乗算 である。するとすべてのw = （ w 1 、 … 、 w n ） ∈ H 、 {\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)\in H,} φ （ w ） = φ 1 w 1 + ⋯ + φ n w n = [ φ 1 、 … 、 φ n ] [ w 1 ⋮ w n ] = [ φ 1 ¯ ⋮ φ n ¯ ] ¯ T w → = f φ → ¯ T w → = ⟨ f φ ∣ w ⟩ 、 {\displaystyle \varphi (w)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]{\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}={\overline {\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}={\overline {\,{\vec {f_{\varphi }}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}=\left\langle \,\,f_{\varphi }\,\mid \,w\,\right\rangle ,} f φ {\displaystyle f_{\varphi }} φ 。 {\displaystyle \varphi .} Φ : H → H * {\displaystyle \Phi :H\to H^{*}} z = （ z 1 、 … 、 z n ） ∈ H {\displaystyle z=\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)\in H} Φ （ z ） ∈ H * {\displaystyle \Phi (z)\in H^{*}} H {\displaystyle H} w = （ w 1 、 … 、 w n ） ↦ ⟨ z ∣ w ⟩ = z 1 ¯ w 1 + ⋯ + z n ¯ w n 、 {\displaystyle w=\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)~\mapsto ~\langle \,z\,\mid \,w\,\rangle ={\overline {z_{1}}}w_{1}+\cdots +{\overline {z_{n}}}w_{n},} H {\displaystyle H} H * {\displaystyle H^{*}} Φ {\displaystyle \Phi } z → = [ z 1 ⋮ z n ] ↦ z → ¯ T = [ z 1 ¯ 、 … 、 z n ¯ ] 。 {\displaystyle {\vec {z}}={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right].} Φ {\displaystyle \Phi } Φ − 1 : H * → H {\displaystyle \Phi ^{-1}:H^{*}\to H} φ ↦ f φ 、 {\displaystyle \varphi \mapsto f_{\varphi },} φ ↦ f φ := （ φ （ e 1 ） ¯ 、 … 、 φ （ e n ） ¯ ） ; {\displaystyle \varphi ~\mapsto ~f_{\varphi }~:=~\left({\overline {\varphi \left(e_{1}\right)}},\ldots ,{\overline {\varphi \left(e_{n}\right)}}\right);} Φ − 1 {\displaystyle \Phi ^{-1}} φ → = [ φ 1 、 … 、 φ n ] ↦ φ → ¯ T = [ φ 1 ¯ ⋮ φ n ¯ ] 。 {\displaystyle {\vec {\varphi }}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}.} Φ : H → H * {\displaystyle \Phi :H\to H^{*}} Φ − 1 : H * → H {\displaystyle \Phi ^{-1}:H^{*}\to H} これは共役転置 の操作にすぎない。v → ↦ v → ¯ T {\displaystyle {\vec {v}}\mapsto {\overline {\,{\vec {v}}\,}}^{\operatorname {T} }} H {\displaystyle H} H * {\displaystyle H^{*}}
この例では、標準内積、つまり写像を使用しました。⟨ z ∣ w ⟩ := z → ¯ T w → 、 {\displaystyle \langle z\mid w\rangle :={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}},} ⟨ z ∣ w ⟩ M := z → ¯ T M w → {\displaystyle \langle z\mid w\rangle _{M}:={\overline {\,{\vec {z}}\,\,}}^{\operatorname {T} }\,M\,{\vec {w}}\,} M {\displaystyle M} は任意の エルミート正定値行列 であり、異なる正規直交基底が使用される場合は、変換行列、したがって上記の式も異なります。
関連する実ヒルベルト空間との関係 と仮定するH {\displaystyle H} ⟨ ⋅ ∣ ⋅ ⟩ 。 {\displaystyle \langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle .} H {\displaystyle H} H R 、 {\displaystyle H_{\mathbb {R} },} H R {\displaystyle H_{\mathbb {R} }} H {\displaystyle H} ⟨ x 、 y ⟩ R := 再 ⟨ x 、 y ⟩ 。 {\displaystyle \langle x,y\rangle _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \langle x,y\rangle .}
標準H R {\displaystyle H_{\mathbb {R} }} ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ R {\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle _{\mathbb {R} }} H {\displaystyle H} H R {\displaystyle H_{\mathbb {R} }} は、すべての実 数値有界の集合です。R {\displaystyle \mathbb {R} } H R {\displaystyle H_{\mathbb {R} }} 偏極恒等式 に関する記事を参照してください。）ψ R := 再 ψ {\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \psi } ψ 私 := 私は ψ {\displaystyle \psi _{i}:=\operatorname {im} \psi } ψ 、 {\displaystyle \psi ,} ψ = 再 ψ + 私 私は ψ = ψ R + 私 ψ 私 。 {\displaystyle \psi =\operatorname {re} \psi +i\operatorname {im} \psi =\psi _{\mathbb {R} }+i\psi _{i}.} 線形汎関数を その実部で 表す 式は次のとおりです。ψ （ h ） = ψ R （ h ） − 私 ψ R （ 私 h ） のために h ∈ H 、 {\displaystyle \psi (h)=\psi _{\mathbb {R} }(h)-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)\quad {\text{ for }}h\in H,} ψ 私 （ h ） = − 私 ψ R （ 私 h ） {\displaystyle \psi _{i}(h)=-i\psi _{\mathbb {R} }(ih)} h ∈ H 。 {\displaystyle h\in H.} カー ψ R = ψ − 1 （ 私 R ） 、 {\displaystyle \ker \psi _{\mathbb {R} }=\psi ^{-1}(i\mathbb {R} ),} ψ = 0 {\displaystyle \psi =0} ψ R = 0. {\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }=0.} ‖ ψ ‖ = ‖ ψ R ‖ = ‖ ψ 私 ‖ {\displaystyle \|\psi \|=\left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|=\left\|\psi _{i}\right\|} ‖ ψ R ‖ := すする ‖ h ‖ ≤ 1 | ψ R （ h ） | {\displaystyle \left\|\psi _{\mathbb {R} }\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{\mathbb {R} }(h)\right|} ‖ ψ 私 ‖ := すする ‖ h ‖ ≤ 1 | ψ 私 （ h ） | {\displaystyle \left\|\psi _{i}\right\|:=\sup _{\|h\|\leq 1}\left|\psi _{i}(h)\right|} 演算子ノルム である。特に、線形汎関数ψ {\displaystyle \psi } ψ R {\displaystyle \psi _{\mathbb {R} }}
機能とその実部を表す
連続線形関数のリース表現φ {\displaystyle \varphi } 再 φ {\displaystyle \operatorname {re} \varphi }
具体的には、φ ∈ H * {\displaystyle \varphi \in H^{*}} f φ ∈ H {\displaystyle f_{\varphi }\in H} φ {\displaystyle \varphi } （ H 、 ⟨ 、 ⋅ 、 ⋅ ⟩ ） 、 {\displaystyle (H,\langle ,\cdot ,\cdot \rangle ),} φ （ x ） = ⟨ f φ ∣ x ⟩ {\displaystyle \varphi (x)=\left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle } x ∈ H 。 {\displaystyle x\in H.} φ {\displaystyle \varphi } H R {\displaystyle H_{\mathbb {R} }} φ R := 再 φ {\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }:=\operatorname {re} \varphi } （ H R 、 ⟨ 、 ⋅ 、 ⋅ ⟩ R ） {\displaystyle \left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)} f φ R 。 {\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}.} f φ R {\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}} H R {\displaystyle H_{\mathbb {R} }} φ R （ x ） = ⟨ f φ R ∣ x ⟩ R {\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(x)=\left\langle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }} x ∈ H 。 {\displaystyle x\in H.} f φ R = f φ 。 {\displaystyle f_{\varphi _{\mathbb {R} }}=f_{\varphi }.} カー φ R = φ − 1 （ 私 R ） {\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }=\varphi ^{-1}(i\mathbb {R} )} x ∈ H {\displaystyle x\in H} ⟨ f φ ∣ x ⟩ R = 再 ⟨ f φ ∣ x ⟩ = 再 φ （ x ） = φ R （ x ） {\displaystyle \left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle _{\mathbb {R} }=\operatorname {re} \left\langle f_{\varphi }\mid x\right\rangle =\operatorname {re} \varphi (x)=\varphi _{\mathbb {R} }(x)} m ∈ カー φ R {\displaystyle m\in \ker \varphi _{\mathbb {R} }} ⟨ f φ ∣ m ⟩ R = 0 、 {\displaystyle \left\langle f_{\varphi }\mid m\right\rangle _{\mathbb {R} }=0,} f φ ∈ （ カー φ R ） ⊥ R 。 {\displaystyle f_{\varphi }\in (\ker \varphi _{\mathbb {R} })^{\perp _{\mathbb {R} }}.} φ （ f φ ） = ‖ φ ‖ 2 {\displaystyle \varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}} φ R （ f φ ） = 再 φ （ f φ ） = ‖ φ ‖ 2 。 {\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }(f_{\varphi })=\operatorname {re} \varphi (f_{\varphi })=\|\varphi \|^{2}.} H {\displaystyle H} H R {\displaystyle H_{\mathbb {R} }} φ {\displaystyle \varphi } 再 φ {\displaystyle \operatorname {re} \varphi } f φ = f 再 φ 。 {\displaystyle f_{\varphi }=f_{\operatorname {re} \varphi }.} f φ {\displaystyle f_{\varphi }} （ H R 、 ⟨ 、 ⋅ 、 ⋅ ⟩ R ） {\displaystyle \left(H_{\mathbb {R} },\langle ,\cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }\right)} 再 φ {\displaystyle \operatorname {re} \varphi } （ H 、 ⟨ 、 ⋅ 、 ⋅ ⟩ ） {\displaystyle \left(H,\left\langle ,\cdot ,\cdot \right\rangle \right)} φ {\displaystyle \varphi }
さらに、もしφ ≠ 0 {\displaystyle \varphi \neq 0} f φ {\displaystyle f_{\varphi }} カー φ R {\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }} ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ R {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }} φ {\displaystyle \varphi } 真 部分空間である。φ R 。 {\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }.} φ ≠ 0. {\displaystyle \varphi \neq 0.} f φ ∉ カー φ R {\displaystyle f_{\varphi }\not \in \ker \varphi _{\mathbb {R} }} φ R （ f φ ） = φ （ f φ ） = ‖ φ ‖ 2 ≠ 0 {\displaystyle \varphi _{\mathbb {R} }\left(f_{\varphi }\right)=\varphi \left(f_{\varphi }\right)=\|\varphi \|^{2}\neq 0} カー φ {\displaystyle \ker \varphi } カー φ R 。 {\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }.} カー φ {\displaystyle \ker \varphi } 1 {\displaystyle 1} カー φ R 、 {\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} },} カー φ R {\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }} 実 次元を持つ1 {\displaystyle 1} H R 、 {\displaystyle H_{\mathbb {R} },} ⟨ f φ 、 カー φ R ⟩ R = 0. {\displaystyle \left\langle f_{\varphi },\ker \varphi _{\mathbb {R} }\right\rangle _{\mathbb {R} }=0.} f φ {\displaystyle f_{\varphi }} カー φ R {\displaystyle \ker \varphi _{\mathbb {R} }} ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ R 。 {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathbb {R} }.}
双対と反双対への正準注入 誘導線形写像から反双対へ
配置によって定義されるマップy {\displaystyle y} 線形 座標に変数を代入し、h ∈ H {\displaystyle h\in H} 反線形 座標に関して変化すると、反線形 関数⟨ ⋅ ∣ y ⟩ = ⟨ y 、 ⋅ ⟩ : H → F 定義される h ↦ ⟨ h ∣ y ⟩ = ⟨ y 、 h ⟩ 。 {\displaystyle \langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle :H\to \mathbb {F} \quad {\text{ defined by }}\quad h\mapsto \langle \,h\mid y\,\rangle =\langle \,y,h\,\rangle .}
この地図はH ¯ * 、 {\displaystyle {\overline {H}}^{*},} 反双対空間 であるH 。 {\displaystyle H.} マップH {\displaystyle H} H ¯ * {\displaystyle {\overline {H}}^{*}} は線形 演算子 であるで H H ¯ * : H → H ¯ * y ↦ ⟨ ⋅ ∣ y ⟩ = ⟨ y 、 ⋅ ⟩ {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}:\;&&H&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle \\[0.3ex]\end{alignedat}}} 単射等 長写像 でもある。リース表現定理に関連するヒルベルト空間の基本定理に よれば、この写像は全射（したがって全単射 ）である。したがって、上のすべての反線形汎関数はH {\displaystyle H}
もし議会 : H * → H ¯ * {\displaystyle \operatorname {Cong} :H^{*}\to {\overline {H}}^{*}} 反 線形全単射等 長写像である f ↦ f ¯ {\displaystyle f\mapsto {\overline {f}}} 議会 ∘ で H H * = で H H ¯ * 。 {\displaystyle \operatorname {Cong} ~\circ ~\operatorname {In} _{H}^{H^{*}}~=~\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}.}
させて（ H 、 ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ H ） {\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)} ⟨ y | x ⟩ H := ⟨ x 、 y ⟩ H 。 {\displaystyle \langle y\,|\,x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}.} Φ : H → H * g ↦ ⟨ g ∣ ⋅ ⟩ H = ⟨ ⋅ 、 g ⟩ H {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\left\langle \,g\mid \cdot \,\right\rangle _{H}=\left\langle \,\cdot ,g\,\right\rangle _{H}\\\end{alignedat}}} （ Φ h ） g = ⟨ h ∣ g ⟩ H = ⟨ g 、 h ⟩ H すべての人々のために g 、 h ∈ H 。 {\displaystyle (\Phi h)g=\langle h\mid g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}g,h\in H.}
ブラジャー
ベクトルが与えられた場合h ∈ H 、 {\displaystyle h\in H,} ⟨ h | {\displaystyle \langle h\,|} Φ h {\displaystyle \Phi h} ⟨ h | := Φ h {\displaystyle \langle h\,|~:=~\Phi h} ⟨ h | {\displaystyle \langle h\,|} g ↦ ⟨ h ∣ g ⟩ H 。 {\displaystyle g\mapsto \left\langle \,h\mid g\,\right\rangle _{H}.} ⟨ h ∣ ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle h\mid \cdot \,\right\rangle }
課題h ↦ ⟨ h | {\displaystyle h\mapsto \langle h|} Φ : H → H * 、 {\displaystyle \Phi ~:~H\to H^{*},} ⟨ c g + h | = c ¯ ⟨ g ∣ + ⟨ h | {\displaystyle ~\langle cg+h\,|~=~{\overline {c}}\langle g\mid ~+~\langle h\,|~} g 、 h ∈ H {\displaystyle g,h\in H} c 。 {\displaystyle c.} g ∈ H {\displaystyle g\in H} ⟨ h | {\displaystyle \langle h\,|} ⟨ h | g ⟩ H = ⟨ g 、 h ⟩ H 、 {\displaystyle \langle h\,|\,g\rangle _{H}=\langle g,h\rangle _{H},} ⟨ h ∣ g ⟩ 。 {\displaystyle \langle h\mid g\rangle .} [ 注6 ]
線形関数のブラ
連続線形関数が与えられた場合ψ ∈ H * 、 {\displaystyle \psi \in H^{*},} ⟨ ψ ∣ {\displaystyle \langle \psi \mid } Φ − 1 ψ ∈ H {\displaystyle \Phi ^{-1}\psi \in H} ⟨ ψ ∣ := Φ − 1 ψ 。 {\displaystyle \langle \psi \mid ~:=~\Phi ^{-1}\psi .}
課題ψ ↦ ⟨ ψ ∣ {\displaystyle \psi \mapsto \langle \psi \mid } Φ − 1 : H * → H 、 {\displaystyle \Phi ^{-1}~:~H^{*}\to H,} ⟨ c ψ + ϕ ∣ = c ¯ ⟨ ψ ∣ + ⟨ ϕ ∣ {\displaystyle ~\langle c\psi +\phi \mid ~=~{\overline {c}}\langle \psi \mid ~+~\langle \phi \mid ~} ϕ 、 ψ ∈ H * {\displaystyle \phi ,\psi \in H^{*}} c 。 {\displaystyle c.}
ベクトルの定義条件⟨ ψ | ∈ H {\displaystyle \langle \psi |\in H} ⟨ ⟨ ψ ∣ ∣ g ⟩ H = ψ g すべての人々のために g ∈ H 、 {\displaystyle \left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}~=~\psi g\quad {\text{ for all }}g\in H,} ⟨ ψ ∣ g ⟩ {\displaystyle \left\langle \psi \mid g\right\rangle } ⟨ ⟨ ψ ∣ ∣ g ⟩ H = ⟨ g 、 ⟨ ψ ∣ ⟩ H 。 {\displaystyle \left\langle \,\langle \psi \mid \,\mid g\right\rangle _{H}=\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H}.} ⟨ ψ ∣ g ⟩ = ψ g すべての人々のために g ∈ H 。 {\displaystyle \left\langle \psi \mid g\right\rangle ~=~\psi g\quad {\text{ for all }}g\in H.}
ケッツ
任意のベクトルに対してg ∈ H 、 {\displaystyle g\in H,} | g ⟩ {\displaystyle |\,g\rangle } g {\displaystyle g} ∣ g ⟩ := g 。 {\displaystyle \mid g\rangle :=g.}
課題g ↦ | g ⟩ {\displaystyle g\mapsto |\,g\rangle } ID H : H → H 、 {\displaystyle \operatorname {Id} _{H}:H\to H,} ∣ c g + h ⟩ = c ∣ g ⟩ + ∣ h ⟩ {\displaystyle ~\mid cg+h\rangle ~=~c\mid g\rangle ~+~\mid h\rangle ~} g 、 h ∈ H {\displaystyle g,h\in H} c 。 {\displaystyle c.}
表記法⟨ h ∣ g ⟩ {\displaystyle \langle h\mid g\rangle } ⟨ ψ ∣ g ⟩ {\displaystyle \langle \psi \mid g\rangle } ⟨ h ∣ ∣ g ⟩ ⟩ H = ⟨ ∣ g ⟩ 、 h ⟩ H {\displaystyle \left\langle h\mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle \mid g\rangle ,h\right\rangle _{H}} ⟨ ψ ∣ ∣ g ⟩ ⟩ H = ⟨ g 、 ⟨ ψ ∣ ⟩ H 、 {\displaystyle \left\langle \psi \mid \,\mid g\rangle \,\right\rangle _{H}~=~\left\langle g,\,\langle \psi \mid \right\rangle _{H},} ⟨ ψ ∣ g ⟩ = ψ g {\displaystyle ~\langle \psi \mid g\rangle =\psi g~} ⟨ h ∣ g ⟩ {\displaystyle ~\langle h\mid g\rangle ~} ⟨ h ∣ g ⟩ H = ⟨ g 、 h ⟩ H 。 {\displaystyle ~\langle h\mid g\rangle _{H}~=~\langle g,h\rangle _{H}.}
随伴と転置 させてA : H → Z {\displaystyle A:H\to Z} ヒルベルト空間 間の連続線形作用素 である（ H 、 ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ H ） {\displaystyle \left(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}\right)} （ Z 、 ⟨ ⋅ 、 ⋅ ⟩ Z ） 。 {\displaystyle \left(Z,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Z}\right).} ⟨ y ∣ x ⟩ H := ⟨ x 、 y ⟩ H {\displaystyle \langle y\mid x\rangle _{H}:=\langle x,y\rangle _{H}} ⟨ y ∣ x ⟩ Z := ⟨ x 、 y ⟩ Z 。 {\displaystyle \langle y\mid x\rangle _{Z}:=\langle x,y\rangle _{Z}.}
で表す Φ H : H → H * g ↦ ⟨ g ∣ ⋅ ⟩ H そして Φ Z : Z → Z * y ↦ ⟨ y ∣ ⋅ ⟩ Z {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi _{H}:\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\langle \,g\mid \cdot \,\rangle _{H}\\\end{alignedat}}\quad {\text{ and }}\quad {\begin{alignedat}{4}\Phi _{Z}:\;&&Z&&\;\to \;&Z^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,y\mid \cdot \,\rangle _{Z}\\\end{alignedat}}} （ Φ H g ） h = ⟨ g ∣ h ⟩ H すべての人々のために g 、 h ∈ H そして （ Φ Z y ） z = ⟨ y ∣ z ⟩ Z すべての人々のために y 、 z ∈ Z 。 {\displaystyle \left(\Phi _{H}g\right)h=\langle g\mid h\rangle _{H}\quad {\text{ for all }}g,h\in H\qquad {\text{ and }}\qquad \left(\Phi _{Z}y\right)z=\langle y\mid z\rangle _{Z}\quad {\text{ for all }}y,z\in Z.}
仮定するZ = H {\displaystyle Z=H} Φ := Φ H = Φ Z 。 {\displaystyle \Phi :=\Phi _{H}=\Phi _{Z}. A : H → H {\displaystyle A:H\to H}
かどうかA : H → H {\displaystyle A:H\to H} 自己共役 、正規 、またはユニタリ であるかどうかは、A {\displaystyle A} 随伴転置 t A : H * → H * 。 {\displaystyle {}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.} A {\displaystyle A} H {\displaystyle H} A 、 {\displaystyle A,} ⟨ ⋅ ∣ ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \,\cdot \mid \cdot \,\rangle } H 、 {\displaystyle H,} h ∈ H 。 {\displaystyle h\in H.} ⟨ A h ∣ ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle } ⟨ h ∣ A （ ⋅ ） ⟩ {\displaystyle \langle h\mid A(\cdot )\rangle } [ 注 ] ⟨ A h ∣ ⋅ ⟩ = Φ （ A h ） = （ Φ ∘ A ） h そして ⟨ h ∣ A （ ⋅ ） ⟩ = （ t A ∘ Φ ） h 。 {\displaystyle \left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle =\Phi (Ah)=(\Phi \circ A)h\quad {\text{ and }}\quad \langle h\mid A(\cdot )\rangle =\left({}^{t}A\circ \Phi \right)h.}
自己共役演算子
連続線形演算子A : H → H {\displaystyle A:H\to H} が自身の随伴と等しい場合、自己随伴 と呼ばれます。つまり、A = A * 。 {\displaystyle A=A^{*}.} 随伴転置 Φ ∘ A = t A ∘ Φ {\displaystyle \Phi \circ A={}^{t}A\circ \Phi } A = Φ − 1 ∘ t A ∘ Φ または t A = Φ ∘ A ∘ Φ − 1 。 {\displaystyle A=\Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi \quad {\text{ or }}\quad {}^{t}A=\Phi \circ A\circ \Phi ^{-1}.}
表記法と定義を解き明かすと、前述の連続線形汎関数を用いて自己共役演算子を以下のように特徴づけることができる。A {\displaystyle A} z ∈ H 、 {\displaystyle z\in H,} ⟨ z ∣ A （ ⋅ ） ⟩ {\displaystyle \langle z\mid A(\cdot )\rangle } [ 注7 ] ⟨ A z ∣ ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle Az\mid \cdot \,\rangle }
ここで、ブラケット表記法が使用される場合、これは ⟨ z ∣ A = ⟨ A z ∣ すべての人々のために z ∈ H 。 {\displaystyle \langle z\mid A~=~\langle Az\mid \quad {\text{ for all }}z\in H.}
通常のオペレーター
連続線形演算子A : H → H {\displaystyle A:H\to H} 正常と 呼ばれるのはA A * = A * A 、 {\displaystyle AA^{*}=A^{*}A,} z 、 h ∈ H 、 {\displaystyle z,h\in H,} ⟨ A A * z ∣ h ⟩ = ⟨ A * A z ∣ h ⟩ 。 {\displaystyle \left\langle AA^{*}z\mid h\right\rangle =\left\langle A^{*}Az\mid h\right\rangle .}
（随伴転置 [ 証明2 ] A {\displaystyle A}
ここで左辺も等しい⟨ A h ∣ A z ⟩ ¯ H = ⟨ A z ∣ A h ⟩ H 。 {\displaystyle {\overline {\langle Ah\mid Az\rangle }}_{H}=\langle Az\mid Ah\rangle _{H}.} のみが含まれる。 ⟨ A h ∣ ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle Ah\mid \cdot \,\rangle } のみが含まれる。 ⟨ h ∣ A （ ⋅ ） ⟩ {\displaystyle \langle h\mid A(\cdot )\rangle } [ 注 7 ] 正規性汎関数 正規であると言います (同じベクトルを使用します)。 z 、 h ∈ H {\displaystyle z,h\in H} A {\displaystyle A} ⟨ A h ∣ ⋅ ⟩ ↦ ⟨ h | A （ ⋅ ） ⟩ {\displaystyle \langle Ah\mid \cdot \,\rangle ~\mapsto ~\langle h|A(\cdot )\rangle } ⟨ h | A （ ⋅ ） ⟩ ↦ ⟨ A h ∣ ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle h|A(\cdot )\rangle ~\mapsto ~\langle Ah\mid \cdot \,\rangle } h {\displaystyle h} H 、 {\displaystyle H,} A {\displaystyle A} H * 。 {\displaystyle H^{*}.}
すべての自己共役有界線形作用素が正規であるという事実は、直接代入することで容易に導かれる。A * = A {\displaystyle A^{*}=A} A * A = A A * 。 {\displaystyle A^{*}A=AA^{*}.} 自己共役汎関数）を（ 正規性汎関数
あるいは、複素ヒルベルト空間の場合、連続線形演算子A {\displaystyle A} ‖ A z ‖ = ‖ A * z ‖ {\displaystyle \|Az\|=\left\|A^{*}z\right\|} z ∈ H 、 {\displaystyle z\in H,} ‖ A z ‖ H = ‖ ⟨ z | A （ ⋅ ） ⟩ ‖ H * すべての z ∈ H 。 {\displaystyle \|Az\|_{H}=\|\langle z\,|\,A(\cdot )\rangle \|_{H^{*}}\quad {\text{ for every }}z\in H.}
ユニタリ演算子
可逆な有界線形演算子A : H → H {\displaystyle A:H\to H} ユニタリで あると言われる。A − 1 = A * 。 {\displaystyle A^{-1}=A^{*}.} （随伴転置 Φ ∘ A − 1 = t A ∘ Φ 。 {\displaystyle \Phi \circ A^{-1}={}^{t}A\circ \Phi .} A {\displaystyle A} ⟨ A − 1 z ∣ ⋅ ⟩ = ⟨ z ∣ A （ ⋅ ） ⟩ すべての人々のために z ∈ H 。 {\displaystyle \langle A^{-1}z\mid \cdot \,\rangle =\langle z\mid A(\cdot )\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H.}
有界な可逆線形演算子であるという事実A : H → H {\displaystyle A:H\to H} A * A = ID H {\displaystyle A^{*}A=\operatorname {Id} _{H}} t A ∘ Φ ∘ A = Φ {\displaystyle {}^{t}A\circ \Phi \circ A=\Phi } A {\displaystyle A} ⟨ A z ∣ A （ ⋅ ） ⟩ = ⟨ z ∣ ⋅ ⟩ すべての人々のために z ∈ H 。 {\displaystyle \langle Az\mid A(\cdot )\,\rangle =\langle z\mid \cdot \,\rangle \quad {\text{ for all }}z\in H.}
なぜならA : H → H {\displaystyle A:H\to H} t A : H * → H * 。 {\displaystyle {}^{t}A:H^{*}\to H^{*}.} z ∈ H {\displaystyle z\in H} A z {\displaystyle Az} A − 1 z 、 {\displaystyle A^{-1}z,} ⋅ {\displaystyle \,\cdot \,} A （ ⋅ ） {\displaystyle A(\cdot )} A − 1 （ ⋅ ） 。 {\displaystyle A^{-1}(\cdot ).}
注記 ↑ もしF = R {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} } y {\displaystyle y} F = C {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} } 0 {\displaystyle 0} 反線形汎 関数H {\displaystyle H} 線形汎関数 とは全く異なるH 、 {\displaystyle H,} y {\displaystyle y} 非常に 重要です。ゼロ以外の場合y ∈ H {\displaystyle y\in H} 線形 汎関数（反 線形汎関数ではなく）を誘導するために、y {\displaystyle y} は内積の反 線形座標に配置する必要があります 。反線形座標ではなく線形座標に誤って配置した場合、結果として得られるマップは反線形マップになります。h ↦ ⟨ y 、 h ⟩ = ⟨ h ∣ y ⟩ 、 {\displaystyle h\mapsto \langle y,h\rangle =\langle h\mid y\rangle ,} はない H {\displaystyle H} ない。 H * 。 {\displaystyle H^{*}.} ↑ これは、すべてのベクトルに対してy ∈ H : {\displaystyle y\in H:} Φ : H → H * {\displaystyle \Phi :H\to H^{*}} は単射で ある。(2)のノルム y {\displaystyle y} Φ （ y ） {\displaystyle \Phi (y)} ‖ Φ （ y ） ‖ = ‖ y ‖ 。 {\displaystyle \|\Phi (y)\|=\|y\|.} Φ {\displaystyle \Phi } これは加法マップ です。つまり、Φ （ x + y ） = Φ （ x ） + Φ （ y ） {\displaystyle \Phi (x+y)=\Phi (x)+\Phi (y)} x 、 y ∈ H 。 {\displaystyle x,y\in H.} Φ {\displaystyle \Phi } 共役同次で ある：Φ （ s y ） = s ¯ Φ （ y ） {\displaystyle \Phi (sy)={\overline {s}}\Phi (y)} s 。 {\displaystyle s.} Φ {\displaystyle \Phi } 真に均質で ある：Φ （ r y ） = r Φ （ y ） {\displaystyle \Phi (ry)=r\Phi (y)} r ∈ R 。 {\displaystyle r\in \mathbb {R} .} 1 2 この脚注では、定義方法を説明します - のみを使用してH {\displaystyle H} H {\displaystyle H} H # {\displaystyle H^{\#}} 代数的双対空間 を表す。A := { φ − 1 （ 1 ） : φ ∈ H # } {\displaystyle {\mathcal {A}}:=\left\{\varphi ^{-1}(1):\varphi \in H^{\#}\right\}} ⋅ ^ {\displaystyle \,{\hat {\cdot }}\,} + ^ {\displaystyle \,{\hat {+}}\,} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 私 : H # → A {\displaystyle I:H^{\#}\to {\mathcal {A}}} φ ↦ φ − 1 （ 1 ） {\displaystyle \varphi \mapsto \varphi ^{-1}(1)} ベクトル空間同型 写像に。φ − 1 （ 1 ） = ∅ {\displaystyle \varphi ^{-1}(1)=\varnothing } φ = 0 、 {\displaystyle \varphi =0,} ∅ {\displaystyle \varnothing } （ A 、 + ^ 、 ⋅ ^ ） {\displaystyle \left({\mathcal {A}},{\hat {+}},{\hat {\cdot }}\right)} 私 − 1 （ ∅ ） = 0 {\displaystyle I^{-1}(\varnothing )=0} H # {\displaystyle H^{\#}} 私 {\displaystyle I} A ∈ A 、 {\displaystyle A\in {\mathcal {A}},} カー A = H {\displaystyle \ker A=H} A = ∅ {\displaystyle A=\varnothing } カー A = A − A {\displaystyle \ker A=A-A} A = 私 （ φ ） = φ − 1 （ 1 ） {\displaystyle A=I(\varphi )=\varphi ^{-1}(1)} カー A = カー φ {\displaystyle \ker A=\ker \varphi } A 、 B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}} 並列 である場合カー A = カー B 、 {\displaystyle \ker A=\ker B,} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 私 − 1 （ A ） {\displaystyle I^{-1}(A)} 私 − 1 （ B ） {\displaystyle I^{-1}(B)} A {\displaystyle {\mathcal {A}}} のみ を含む方法で記述される。H {\displaystyle H} H # {\displaystyle H^{\#}} A 、 B ∈ A 。 {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}.} s {\displaystyle s} s ⋅ ^ A = { h ∈ H : s h ∈ A } 。 {\displaystyle s{\hat {\cdot }}A=\left\{h\in H:sh\in A\right\}.} A + ^ B {\displaystyle A{\hat {+}}B} A = φ − 1 （ 1 ） {\displaystyle A=\varphi ^{-1}(1)} B = ψ − 1 （ 1 ） {\displaystyle B=\psi ^{-1}(1)} A + ^ B = 私 （ φ ） + ^ 私 （ ψ ） := 私 （ φ + ψ ） = （ φ + ψ ） − 1 （ 1 ） 。 {\displaystyle A{\hat {+}}B=I(\varphi ){\hat {+}}I(\psi ):=I(\varphi +\psi )=(\varphi +\psi )^{-1}(1).} A = ∅ {\displaystyle A=\varnothing } B = ∅ {\displaystyle B=\varnothing } A + ^ B {\displaystyle A{\hat {+}}B} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} A ≠ ∅ {\displaystyle A\neq \varnothing } B ≠ ∅ 。 {\displaystyle B\neq \varnothing .} A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} r {\displaystyle r} A = r B 、 {\displaystyle A=rB,} A + ^ B = { h ∈ H : （ 1 + r ） h ∈ B } ; {\displaystyle A{\hat {+}}B=\left\{h\in H:(1+r)h\in B\right\};} r = − 1 {\displaystyle r=-1} 私 − 1 （ A ） {\displaystyle I^{-1}(A)} 私 − 1 （ B ） {\displaystyle I^{-1}(B)} A + ^ B = ∅ {\displaystyle A{\hat {+}}B=\varnothing } r ≠ − 1 {\displaystyle r\neq -1} A + ^ B = 1 1 + r B = r 1 + r A 。 {\displaystyle A{\hat {+}}B={\frac {1}{1+r}}B={\frac {r}{1+r}}A.} カー A ≠ カー B 。 {\displaystyle \ker A\neq \ker B.} A + ^ B {\displaystyle A{\hat {+}}B} A ∩ カー B {\displaystyle A\cap \ker B} B ∩ カー A {\displaystyle B\cap \ker A} カー （ A + ^ B ） = スパン （ A ∩ カー B − B ∩ カー A ） {\displaystyle \ker \left(A{\hat {+}}B\right)=\operatorname {span} \left(A\cap \ker B-B\cap \ker A\right)} A + ^ B = A ∩ カー B + カー （ A + ^ B ） = B ∩ カー A + カー （ A + ^ B ） 。 {\displaystyle A{\hat {+}}B=A\cap \ker B+\ker \left(A{\hat {+}}B\right)=B\cap \ker A+\ker \left(A{\hat {+}}B\right).} A + ^ B {\displaystyle A{\hat {+}}B} H := R 3 、 {\displaystyle H:=\mathbb {R} ^{3},} A := φ − 1 （ 1 ） 、 {\displaystyle A:=\varphi ^{-1}(1),} B := ψ − 1 （ 1 ） 、 {\displaystyle B:=\psi ^{-1}(1),} φ （ x 、 y 、 z ） := x {\displaystyle \varphi (x,y,z):=x} ψ （ x 、 y 、 z ） := x + y {\displaystyle \psi (x,y,z):=x+y} ψ （ x 、 y 、 z ） := y {\displaystyle \psi (x,y,z):=y} A + ^ B := （ φ + ψ ） − 1 （ 1 ） {\displaystyle A{\hat {+}}B:=(\varphi +\psi )^{-1}(1)} カー （ A + ^ B ） := （ φ + ψ ） − 1 （ 0 ） 。 {\displaystyle \ker \left(A{\hat {+}}B\right):=(\varphi +\psi )^{-1}(0).} A ∩ カー B = φ − 1 （ 1 ） ∩ ψ − 1 （ 0 ） ⊆ （ φ + ψ ） − 1 （ 1 ） {\displaystyle A\cap \ker B~=~\varphi ^{-1}(1)\cap \psi ^{-1}(0)~\subseteq ~(\varphi +\psi )^{-1}(1)} は余次元 のアフィン部分空間である2 {\displaystyle 2} H {\displaystyle H} z {\displaystyle z} { （ 0 、 0 ） } × R {\displaystyle \{(0,0)\}\times \mathbb {R} } B ∩ カー A 。 {\displaystyle B\cap \ker A.} x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} z = {\displaystyle z=} ker A , ker B , A {\displaystyle \ker A,\ker B,A} B {\displaystyle B} ( φ + ψ ) − 1 ( 1 ) {\displaystyle (\varphi +\psi )^{-1}(1)} A ∩ ker B {\displaystyle A\cap \ker B} B ∩ ker A {\displaystyle B\cap \ker A} ( φ + ψ ) − 1 ( 0 ) = ker ( A + ^ B ) {\displaystyle (\varphi +\psi )^{-1}(0)=\ker \left(A{\hat {+}}B\right)} A + ^ B = ( φ + ψ ) − 1 ( 1 ) . {\displaystyle A{\hat {+}}B=(\varphi +\psi )^{-1}(1).} ker ( A + ^ B ) := ( φ + ψ ) − 1 ( 0 ) {\displaystyle \ker \left(A{\hat {+}}B\right):=(\varphi +\psi )^{-1}(0)} A + ^ B := ( φ + ψ ) − 1 ( 1 ) {\displaystyle A{\hat {+}}B:=(\varphi +\psi )^{-1}(1)} ↑ Showing that there is a non-zero vector v {\displaystyle v} K ⊥ {\displaystyle K^{\bot }} ϕ {\displaystyle \phi } Cauchy completeness of H . {\displaystyle H.} ↑ Technically, H = K ⊕ K ⊥ {\displaystyle H=K\oplus K^{\bot }} K × K ⊥ → H {\displaystyle K\times K^{\bot }\to H} ( k , p ) ↦ k + p {\displaystyle (k,p)\mapsto k+p} linear isomorphism and homeomorphism . See the article on complemented subspaces for more details. ↑ The usual notation for plugging an element g {\displaystyle g} F {\displaystyle F} F ( g ) {\displaystyle F(g)} F g . {\displaystyle Fg.} F {\displaystyle F} ⟨ h ∣:= Φ h {\displaystyle \langle h\mid :=~\Phi h} ⟨ h ∣ ( g ) {\displaystyle \langle h\mid (g)} ⟨ h ∣ g , {\displaystyle \langle h\mid g,} ⟩ {\displaystyle \,\rangle \,} ⟨ h ∣ g ⟩ {\displaystyle \langle h\mid g\rangle } ( Φ h ) g . {\displaystyle (\Phi h)g.} 1 2 3 4 5 The notation ⟨ z ∣ A ( ⋅ ) ⟩ Z {\displaystyle \left\langle z\mid A(\cdot )\right\rangle _{Z}} g ↦ ⟨ z ∣ A g ⟩ Z . {\displaystyle g\mapsto \left\langle z\mid Ag\right\rangle _{Z}.} Proofs
↑ This is because x K = x − ⟨ x , f φ ⟩ ‖ f φ ‖ 2 f φ . {\displaystyle x_{K}=x-{\frac {\left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle }{\left\|f_{\varphi }\right\|^{2}}}f_{\varphi }.} ‖ f φ ‖ 2 = ‖ φ ‖ 2 {\displaystyle \left\|f_{\varphi }\right\|^{2}=\|\varphi \|^{2}} ⟨ x , f φ ⟩ = φ ( x ) {\displaystyle \left\langle x,f_{\varphi }\right\rangle =\varphi (x)} f φ . {\displaystyle f_{\varphi }.} ◼ {\displaystyle \blacksquare } ↑ ⟨ A ∗ A z ∣ h ⟩ = ⟨ A z ∣ A h ⟩ H = ⟨ Φ A h ∣ Φ A z ⟩ H ∗ {\displaystyle \left\langle A^{*}Az\mid h\right\rangle =\left\langle \,Az\mid Ah\,\right\rangle _{H}=\left\langle \,\Phi Ah\mid \Phi Az\,\right\rangle _{H^{*}}} Φ A h := ⟨ A h ∣ ⋅ ⟩ {\displaystyle \Phi Ah:=\left\langle Ah\mid \cdot \,\right\rangle } Φ A z := ⟨ A z ∣ ⋅ ⟩ . {\displaystyle \Phi Az:=\left\langle Az\mid \cdot \,\right\rangle .} ⟨ A ∗ h ∣ A ∗ z ⟩ = ⟨ h ∣ A A ∗ z ⟩ {\displaystyle \left\langle A^{*}h\mid A^{*}z\,\right\rangle =\left\langle h\mid AA^{*}z\,\right\rangle } ⟨ A A ∗ z ∣ h ⟩ = ⟨ A ∗ z ∣ A ∗ h ⟩ . {\displaystyle \left\langle AA^{*}z\mid h\right\rangle =\left\langle A^{*}z\mid A^{*}h\right\rangle .} A ∗ = Φ − 1 ∘ t A ∘ Φ , {\displaystyle A^{*}=\Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi ,} ⟨ A A ∗ z | h ⟩ H = ⟨ A ∗ z ∣ A ∗ h ⟩ H = ⟨ Φ − 1 ∘ t A ∘ Φ z ∣ Φ − 1 ∘ t A ∘ Φ h ⟩ H = ⟨ t A ∘ Φ h ∣ t A ∘ Φ z ⟩ H ∗ {\displaystyle \left\langle AA^{*}z\,|\,h\right\rangle _{H}=\left\langle A^{*}z\mid A^{*}h\right\rangle _{H}=\left\langle \Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi z\mid \Phi ^{-1}\circ {}^{t}A\circ \Phi h\right\rangle _{H}=\left\langle \,{}^{t}A\circ \Phi h\mid {}^{t}A\circ \Phi z\right\rangle _{H^{*}}} ( t A ∘ Φ ) h = ⟨ h | A ( ⋅ ) ⟩ {\displaystyle \left({}^{t}A\circ \Phi \right)h=\langle h\,|\,A(\cdot )\rangle } ( t A ∘ Φ ) z = ⟨ z | A ( ⋅ ) ⟩ . {\displaystyle \left({}^{t}A\circ \Phi \right)z=\langle z\,|\,A(\cdot )\rangle .} ◼ {\displaystyle \blacksquare }
Bibliography Bachman, George; Narici, Lawrence (2000). Functional Analysis (Second ed.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0486402512 . OCLC 829157984. Fréchet, M. (1907). "Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires". Les Comptes rendus de l'Académie des sciences 144 : 1414– 1416. P. Halmos Measure Theory , D. van Nostrand and Co., 1950.P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book , Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems) . Riesz, F. (1907). "Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables". Comptes rendus de l'Académie des Sciences (in French). 144 : 1409– 1411. Riesz, F. (1909). "Sur les opérations fonctionnelles linéaires". Comptes rendus de l'Académie des Sciences (in French). 149 : 974– 977.
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Cong} :\;&&H^{*}&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&f&&\;\mapsto \;&{\overline {f}}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb36a0b08c384fe66f94574963188c0a1dad6df3)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \,,y\rangle =\langle y|\,\cdot \,\rangle \\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e27af5a34637fbf79504e8525a73a7685d4c0d8)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi ^{-1}:\;&&H^{*}&&\;\to \;&H\\[0.3ex]&&\varphi &&\;\mapsto \;&f_{\varphi }\\\end{alignedat}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7275beb1d1c30539ac8568a3eb02920a56ae97c)
![{\displaystyle {\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }:=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22bd4da85e46f1fe1f5a7e0b6abdb1300f468fb4)
![{\displaystyle {\vec {\varphi }}:=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147d47a10aa6e42bb6e9d8d0014bcdb1ad0c6e84)
![{\displaystyle \varphi (w)=\varphi _{1}w_{1}+\cdots +\varphi _{n}w_{n}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]{\begin{bmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}={\overline {\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}={\overline {\,{\vec {f_{\varphi }}}\,\,}}^{\operatorname {T} }{\vec {w}}=\left\langle \,\,f_{\varphi }\,\mid \,w\,\right\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99680b4b0812733c07934b441cb0be264bc4468b)
![{\displaystyle {\vec {z}}={\begin{bmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{bmatrix}}~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {z}}\,}}^{\operatorname {T} }=\left[{\overline {z_{1}}},\ldots ,{\overline {z_{n}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a23fdc50c15c7972194c18a3ff989ce4fe8f221)
![{\displaystyle {\vec {\varphi }}=\left[\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}\right]~\mapsto ~{\overline {\,{\vec {\varphi }}\,\,}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}{\overline {\varphi _{1}}}\\\vdots \\{\overline {\varphi _{n}}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01fd9a7811a1f9ca97c5511f5dac42e49159ecff)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {In} _{H}^{{\overline {H}}^{*}}:\;&&H&&\;\to \;&{\overline {H}}^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,\cdot \mid y\,\rangle =\langle \,y,\cdot \,\rangle \\[0.3ex]\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62715e4539051f8805373fa3099e08644e8577df)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi :\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\left\langle \,g\mid \cdot \,\right\rangle _{H}=\left\langle \,\cdot ,g\,\right\rangle _{H}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028e18a1c1d3520d98292b413c114482174776d1)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\Phi _{H}:\;&&H&&\;\to \;&H^{*}\\[0.3ex]&&g&&\;\mapsto \;&\langle \,g\mid \cdot \,\rangle _{H}\\\end{alignedat}}\quad {\text{ および }}\quad {\begin{alignedat}{4}\Phi _{Z}:\;&&Z&&\;\to \;&Z^{*}\\[0.3ex]&&y&&\;\mapsto \;&\langle \,y\mid \cdot \,\rangle _{Z}\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779c55ea574305ef9fcab3fef4790eb65bb7451c)
